1、第二章 數(shù)列自我校對(duì)無窮數(shù)列常數(shù)列通項(xiàng)公式法前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列 等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1，d(q)，an，Sn，n的方程組，利用方程的思想求出需要的量，當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會(huì)更好，這樣可以化繁為簡，減少運(yùn)算量，同時(shí)還要注意整體代入思想方法的運(yùn)用.等比數(shù)列an中，已知a12，a416.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列bn的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.

2、【精彩點(diǎn)撥】(1)由a1，a4求出公比q，寫出an的通項(xiàng)公式.(2)列出關(guān)于b1，d的方程組，求解b1，d，進(jìn)而寫出bn，Sn.【規(guī)范解答】(1)設(shè)an的公比為q，由已知得162q3，解得q2.an22n12n.(2)由(1)得a38，a532，則b38，b532.設(shè)bn的公差為d，則有解得所以bn1612(n1)12n28.所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn6n222n.再練一題1.已知等差數(shù)列an的公差d1，前n項(xiàng)和為Sn.(1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1；(2)若S5a1a9，求a1的取值范圍.【解】(1)因?yàn)閿?shù)列an的公差d1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，所以a1(a12)，即aa12

3、0，解得a11或a12.(2)因?yàn)閿?shù)列an的公差d1，且S5a1a9，所以5a110a8a1，即a3a1100，解得5a11時(shí)，anSnSn1k(cncn1)，則a6k(c6c5)，a3k(c3c2)，c38，c2.a24，即k(c2c1)4，解得k2，an2n.當(dāng)n1時(shí)，a1S12.綜上所述，an2n(nN).(2)nann2n，則Tn2222323n2n，2Tn122223324(n1)2nn2n1，兩式作差得Tn222232nn2n1.Tn2(n1)2n1.再練一題3.已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a11，點(diǎn)(，an1)(nN)在函數(shù)yx21的圖象上，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn2bn.(1)求數(shù)列an

4、和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn，求cn的前n項(xiàng)和Tn.【解】(1)點(diǎn)(nN)在函數(shù)yx21的圖象上，an1an1，數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列.a11，an1(n1)n，Sn2bn，Sn12bn1，兩式相減得：bn1bn1bn，即，由S12b1，即b12b1，得b11.數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，bn.(2)log2bn1log2n，cn，Tnc1c2cn1.函數(shù)思想求解數(shù)列問題數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時(shí)，若涉及參數(shù)取值范圍，最值問題或單調(diào)性時(shí)，均可考慮采用函數(shù)的思想解題.值得注意的是數(shù)列定義域是正整數(shù)集或其真子集，這一特殊性對(duì)問題結(jié)果可能造成影響.已知a12，點(diǎn)(an，

5、an1)在函數(shù)f(x)x22x的圖象上，其中n1,2,3，.(1)求證：數(shù)列l(wèi)g(1an)是等比數(shù)列；(2)設(shè)Tn(1a1)(1a2)(1an)，求Tn及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)記bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn，并說明Sn1.【精彩點(diǎn)撥】對(duì)于(1)，由條件知an1a2an，變形為an11(an1)2，兩邊取對(duì)數(shù)即可得證.對(duì)于(3)，由條件知an1a2anan(an2)，變形得，即得，所以bn2，由此Sn可求.【規(guī)范解答】(1)證明：由已知得an1a2an，an11(an1)2.a12，an11，兩邊取對(duì)數(shù)得lg(1an1)2lg(1an)，即2.數(shù)列l(wèi)g(1an)是公比為2的等比數(shù)列.(2)

6、由(1)知lg(1an)2n1lg(1a1)2n1lg 3lg 32n1，1an3.(*)Tn(1a1)(1a2)(1an)333332223由(*)式得an31. (3)an1a2an，an1an(an2)，.又bn，bn2，Snb1b2bn22.an32n11，an132n1，又a12，Sn1.又Tn32n1，Sn11.再練一題4.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d0，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(nN)，Snb1b2bn，是否存在t，使得對(duì)任意的n均有Sn總成立？若存在，求出最大的整數(shù)t；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解】(1)由題意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2.d0，d2.a11.an2n1(nN).(2)bn，Snb1b2bn.假