1、第3課時導數(shù)與函數(shù)的綜合問題題型一導數(shù)與不等式命題點1證明不等式典例 (2017貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)1，g(x)xln x.(1)證明：g(x)1；(2)證明：(xln x)f(x)1.證明(1)由題意得g(x)(x0)，當0x1時，g(x)1時，g(x)0，即g(x)在(0,1)上是減少的，在(1，)上是增加的所以g(x)g(1)1，得證(2)由f(x)1，得f(x)，所以當0x2時，f(x)2時，f(x)0，即f(x)在(0,2)上是減少的，在(2，)上是增加的，所以f(x)f(2)1(當且僅當x2時取等號)又由(1)知xln x1(當且僅當x1時取等號)，且等號不同時取得，所以(x

2、ln x)f(x)1.命題點2不等式恒成立或有解問題典例 (2018大同模擬)已知函數(shù)f(x).(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上存在極值，求正實數(shù)a的取值范圍；(2)如果當x1時，不等式f(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍解(1)函數(shù)的定義域為(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.當x(0,1)時，f(x)0，f(x)是增加的；當x(1，)時，f(x)0，f(x)是減少的所以x1為函數(shù)f(x)的極大值點，且是唯一極值點，所以0a1a，故a0，所以g(x)是增加的，所以g(x)g(1)2，故k2，即實數(shù)k的取值范圍是(，2引申探究本例(2)中若改為：存在x1，e，使不等式f(x)成立，求實數(shù)k的取

3、值范圍解當x1，e時，k有解，令g(x)(x1，e)，由例(2)解題知，g(x)是增加的，所以g(x)maxg(e)2，所以k2，即實數(shù)k的取值范圍是.思維升華 (1)利用導數(shù)證明不等式的方法證明f(x)1時，h(x)0，h(x)是增加的，當0x1時，h(x)0)易求f(x)xln x(x0)的最小值為f，設(x)(x0)，則(x)，當x(0,1)時，(x)0，(x)是增加的；當x(1，)時，(x)恒成立，即F(x)0恒成立，函數(shù)F(x)無零點思維升華 利用導數(shù)研究方程的根(函數(shù)的零點)的策略研究方程的根或曲線的交點個數(shù)問題，可構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的零點個數(shù)問題可利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最

4、值、單調(diào)性、變化趨勢等，從而畫出函數(shù)的大致圖像，然后根據(jù)圖像判斷函數(shù)的零點個數(shù)跟蹤訓練 (1)(2017貴陽聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域為1,4，部分對應值如下表：x10234f(x)12020f(x)的導函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示當1a2時，函數(shù)yf(x)a的零點的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案D解析根據(jù)導函數(shù)圖像知，2是函數(shù)的極小值點，函數(shù)yf(x)的大致圖像如圖所示由于f(0)f(3)2,1a0，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，2)解析當a0時，f(x)3x21有兩個零點，不合題意，故a0，f(x)3ax26x3x(ax2)，令f(x)0，得x10，x2.若a0，由三次函數(shù)圖像知

5、f(x)有負數(shù)零點，不合題意，故a0知，f0，即a33210，化簡得a240，又a0，所以a2.題型三利用導數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題典例 某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)10(x6)2，其中3x6，a為常數(shù)已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大解(1)因為當x5時，y11，所以1011，解得a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為y10(x6)2.所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)(x3

6、)210(x3)(x6)2,3x0)，為使耗電量最小，則速度應定為_答案40解析令yx239x400，得x1或x40，由于當0x40時，y40時，y0.所以當x40時，y有最小值一審條件挖隱含典例 (12分)設f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；(2)如果對于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求實數(shù)a的取值范圍(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M(正確理解“存在”的含義)g(x1)g(x2)maxM挖掘g(x1)g(x2)max的隱含實質(zhì)g(x)maxg(x)minM求得M的最大

7、整數(shù)值(2)對任意s，t都有f(s)g(t)(理解“任意”的含義)f(x)ming(x)max求得g(x)max1xln x1恒成立分離參數(shù)aaxx2ln x恒成立求h(x)xx2ln x的最大值ah(x)maxh(1)1a1規(guī)范解答解(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等價于g(x1)g(x2)maxM.2分由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x.令g(x)0，得x，又x0,2，所以g(x)在區(qū)間上是減少的，在區(qū)間上是增加的，所以g(x)ming，g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，則滿足條件的最大整數(shù)M4.5分

8、(2)對于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等價于在區(qū)間上，函數(shù)f(x)ming(x)max.7分由(1)可知在區(qū)間上，g(x)的最大值為g(2)1.在區(qū)間上，f(x)xln x1恒成立等價于axx2ln x恒成立設h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知h(x)在區(qū)間上是減少的，又h(1)0，所以當1x2時，h(x)0；當x0.10分即函數(shù)h(x)xx2ln x在區(qū)間上是增加的，在區(qū)間(1,2)上是減少的，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即實數(shù)a的取值范圍是1，)12分1方程x36x29x100的實根個數(shù)是()A3 B2 C1 D0答案C解析設f(x)x36x29

9、x10，則f(x)3x212x93(x1)(x3)，由此可知函數(shù)的極大值為f(1)60，極小值為f(3)100，則()A3f(1)f(3)C3f(1)f(3) Df(1)f(3)答案B解析由于f(x)xf(x)，則0恒成立，因此在R上是減少的，f(3)故選B.3若不等式2xln xx2ax3對x(0，)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)答案B解析ax2ln x(x0)恒成立，設yx2ln x，則y1，當0x1時，y1時，y0.當x1時，ymin4.a4.4若函數(shù)f(x)2x39x212xa恰好有兩個不同的零點，則a可能的值為()A4 B6 C7 D8答案A

10、解析由題意得f(x)6x218x126(x1)(x2)，由f(x)0，得x2，由f(x)0，得1x2，所以函數(shù)f(x)在(，1)，(2，)上是增加的，在(1,2)上是減少的，從而可知f(x)的極大值和極小值分別為f(1)，f(2)若函數(shù)f(x)恰好有兩個不同的零點，則f(1)0或f(2)0，解得a5或a4，故選A.5某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總營業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的關系是R(x)則總利潤最大時，年產(chǎn)量是()A100 B150C200 D300答案D解析由題意得，總成本函數(shù)為C(x)20 000100x，總利潤P(x)又P(x)令P(x

11、)0，得x300，易知當x300時，總利潤P(x)最大6(2018廈門調(diào)研)已知f(x)x2c(b，c是常數(shù))和g(x)x是定義在Mx|1x4上的函數(shù)，對于任意的xM，存在x0M使得f(x)f(x0)，g(x)g(x0)，且f(x0)g(x0)，則f(x)在M上的最大值為()A. B5C6 D8答案B解析因為當x1,4時，g(x)x21(當且僅當x2時等號成立)，所以f(2)2cg(2)1，所以c1，所以f(x)x21，所以f(x)x.因為f(x)在x2處有最小值，且x1,4，所以f(2)0，即b8，所以c5，經(jīng)檢驗，b8，c5符合題意所以f(x)x25，f(x)，所以f(x)在1,2)上是減

12、少的，在(2,4上是增加的，而f(1)85，f(4)8255，所以函數(shù)f(x)在M上的最大值為5，故選B.7(2017安徽江南名校聯(lián)考)已知x(0,2)，若關于x的不等式0.即kx22x對任意x(0,2)恒成立，從而k0，因此由原不等式，得k0，函數(shù)f(x)在(1,2)上是增加的，當x(0,1)時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0,1)上是減少的，所以k0，即|AB|的最小值是42ln 2.9(2018鄭州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)ax33x1對x(0,1總有f(x)0成立，則實數(shù)a的取值范圍是_答案4，)解析當x(0,1時，不等式ax33x10可化為a，設g(x)，x(0,1，則g(x).易知當x

13、時，g(x)max4，實數(shù)a的取值范圍是4，)10(2018佛山質(zhì)檢)定義在R上的奇函數(shù)yf(x)滿足f(3)0，且不等式f(x)xf(x)在(0，)上恒成立，則函數(shù)g(x)xf(x)lg|x1|的零點個數(shù)為_答案3解析定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：f(0)0f(3)f(3)，f(x)f(x)，當x0時，f(x)xf(x)，即f(x)xf(x)0，xf(x)0，即h(x)xf(x)在x0時是增加的，又h(x)xf(x)xf(x)，h(x)xf(x)是偶函數(shù)，當x0時，h(x)是減少的，結(jié)合函數(shù)的定義域為R，且f(0)f(3)f(3)0，可得函數(shù)y1xf(x)與y2lg|x1|的大致圖像如圖，

14、由圖像可知，函數(shù)g(x)xf(x)lg|x1|的零點的個數(shù)為3.11(2017全國)已知函數(shù)f(x)x1aln x.(1)若f(x)0，求a的值；(2)設m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，m，求m的最小值解(1)f(x)的定義域為(0，)，若a0，因為faln 20，由f(x)1知，當x(0，a)時，f(x)0，所以f(x)在(0，a)上是減少的，在(a，)上是增加的，故xa是f(x)在x(0，)上的唯一極小值點也是最小值點由于f(1)0，所以當且僅當a1時，f(x)0，故a1.(2)由(1)知當x(1，)時，x1ln x0，令x1，得ln，從而lnlnln11.故2，所以m的最小值為3.12(2

15、017廣州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)exmx，其中m為常數(shù)(1)若對任意xR有f(x)0恒成立，求m的取值范圍；(2)當m1時，判斷f(x)在0,2m上零點的個數(shù)，并說明理由解(1)由題意，可知f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故當x(，m)時，exm1，f(x)1，f(x)0，f(x)是增加的故當xm時，f(m)為極小值也為最小值令f(m)1m0，得m1，即對任意xR，f(x)0恒成立時，m的取值范圍是(，1(2)f(x)在0,2m上有兩個零點，理由如下：當m1時，f(m)1m0，f(0)f(m)1時，g(m)em20，g(m)在(1，)上是增加的g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f

16、(m)f(2m)0時，易知y1|ln x|與y2ax的圖像在區(qū)間(0,1)上有一個交點，所以只需要y1|ln x|與y2ax的圖像在區(qū)間(1,4)上有兩個交點即可，此時|ln x|ln x，由ln xax，得a.令h(x)，x(1,4)，則h(x)，故函數(shù)h(x)在(1，e)是增加的，在(e,4)是減少的，h(e)，h(1)0，h(4)，所以a，故選D.14若函數(shù)f(x)2xsin x對任意的m2,2，f(mx3)f(x)0，則f(x)在定義域內(nèi)是增加的，所以f(mx3)f(x)0可變形為f(mx3)f(x)，所以mx3x，將其看作關于m的一次函數(shù)，則g(m)xm3x，m2,2，可得當m2,2

17、時，g(m)0恒成立所以即解得3x1.15已知函數(shù)f(x)x3ax24在x2處取得極值，若m，n1,1，則f(m)f(n)的最小值是_答案13解析f(x)3x22ax，由題意知f(2)0，得a3，f(x)x33x24，令f(x)3x26x3x(x2)0，解得x10，x22(舍去)，f(1)0，f(0)4，f(1)2，f(x)min4，f(x)3x26x3(x1)23，f(x)minf(1)9，f(m)f(n)的最小值是4913.16(2016全國)設函數(shù)f(x)ln xx1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當x(1，)時，11，證明：當x(0,1)時，1(c1)xcx.(1)解由題設知