1、12.2參數(shù)方程梳理知識(shí)1.曲線的參數(shù)方程通常，在平面直角坐標(biāo)系中，曲線任意點(diǎn)的坐標(biāo)x，y是變量t的函數(shù)，對(duì)于t的每個(gè)允許值，在由牙齒表達(dá)式確定的點(diǎn)M(x，y)牙齒曲線上，牙齒表達(dá)式稱為牙齒曲線的參數(shù)表達(dá)式，連接x，y的變量t稱為參數(shù)變量2.公共曲線的參數(shù)方程和一般方程注意：在善意參數(shù)方程式中，只有參數(shù)t的系數(shù)平方和為1時(shí)，t才有幾何意義，幾何意義如下：|t|是善意隨機(jī)點(diǎn)M(x，y)到M0(x0，y0)的距離。診斷自檢1.概念推測(cè)(1)直線(t是參數(shù))的拔模斜度為30。（）(2)如果超過M0(x0，y0)，則線l的拔模角度為的參數(shù)方程式為(t是參數(shù))。參數(shù)t的幾何意義表示從直線l上的點(diǎn)M0開始

2、到任意點(diǎn)M(x，y)結(jié)束的乳香線段數(shù)。（）(3)方程式表示以點(diǎn)(0，1)為中心且半徑為2的圓。（）(4)已知橢圓的參數(shù)方程式(t為參數(shù))，點(diǎn)m位于橢圓上，其參數(shù)t=，點(diǎn)o為原點(diǎn)時(shí)，線OM的坡度比為。（）答案(1)-300；(2)-300；(3)-7300；(4)2.教材進(jìn)化(1)(選擇a4-4p39t1)直線(t是參數(shù))使用圓x2 y2=9修剪的弦長(zhǎng)()A.b.c.d .答案b解析線的一般方程式為x-2y 3=0。圓的中心為(0，0)，半徑r=3。中心到直線的距離d=。弦長(zhǎng)為2=。所以b(2)(選取A4-4P 24范例2)已知點(diǎn)(x，y)如果符合牙齒曲線方程式(為參數(shù))，則最小值為()A.b.

3、c.d.1答案d將分析曲線方程式(為參數(shù))轉(zhuǎn)換為一般方程式(x-4) 2 (y-6) 2=2。曲線是以C(4，6)為中心且具有半徑的圓。原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)之間連接的斜率。如果原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)連接為切線OA，則取最小值并通過原點(diǎn)的切線方程式為Y=KX，如圖所示。從中心C(4，6)到切線y=kx的距離：D=，即7k2-24k 17=0，K=1或K=，最小值為1。因此，請(qǐng)選擇d。3.解小問題，解身(1)(2014安徽高考)設(shè)定極座標(biāo)系統(tǒng)，以平面直角座標(biāo)系統(tǒng)的原點(diǎn)為極，以X軸的正半軸為極軸。在兩個(gè)坐標(biāo)系中采用相同的長(zhǎng)度單位。已知直線L的參數(shù)方程式為(T為參數(shù))，圓C的極座標(biāo)方程式為=4 COS ，直線L修剪

4、為圓CA.b.2 c.d.2答案d分析將刪除t，得到x-y-4=0。=4 cos2=4 cos，c:x2 y2=4x，即(x-2) 2 y2=4，c(2，0)點(diǎn)c到直線l的距離d=、所需弦長(zhǎng)=2=2。所以請(qǐng)選擇d(2)(2015湖北高考)將正交坐標(biāo)系xOy中的O設(shè)置為極，將X軸的正半軸設(shè)置為極軸。已知線L的極座標(biāo)方程式為 (Sin -3C OS )=0，曲線C的參數(shù)方程式為(T為參數(shù))，L回答2解析線L的直角座標(biāo)方程式為Y-3X=0，曲線C的一般方程式為Y2-X2=4。從中獲得的x2=，即x=，然后| ab |=| xa-XB |=2。問題1參數(shù)方程和一般方程的相互化(2014年全國(guó)圈I)已知

5、曲線C:=1，直線L: (T是參數(shù))。(1)建立曲線C的參數(shù)方程式，直線L的一般方程式。(2)通過曲線C的任意點(diǎn)P，與L成30度的直線，L與點(diǎn)A相交，以獲得|PA|的最大值和最小值。(1)使用公式方法替換刪除方法。(2)PHl，垂直h，|PH|最大值，|PA|最大值。解(1)曲線c的參數(shù)方程是(為參數(shù))。線l的一般方程式為2x y-6=0。(2)曲線c上任意點(diǎn)P(2 Coss，3sin)到l的距離為D=| 4 cos 3s in -6 |時(shí)| pa |=| 5s in ( )-6 |其中是銳角，tan =.Sin ( )=-1時(shí)|PA|最大導(dǎo)入，最大。Sin ( )=1時(shí)，|PA|獲取最小值，

6、最小值為.方法技巧如何使參數(shù)方程成為一般方程1.要使參數(shù)方程式成為一般方程式，必須根據(jù)參數(shù)方程式的結(jié)構(gòu)特性，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)移除方法。典型的參數(shù)刪除方法如下：替代參數(shù)剔除方法、正負(fù)參數(shù)法、平方參數(shù)剔除方法等，對(duì)于具有三角函數(shù)的參數(shù)方程，sin 2 cos2 =2.用一般方程替換參數(shù)方程時(shí)，要注意是什么楊怡參數(shù)，以及參數(shù)值對(duì)一般方程中x和y值范圍的影響，必須保持東海變形。沖破關(guān)卡，瞄準(zhǔn)訓(xùn)練已知直線L的方程式為Y=X 4；圓C的參數(shù)方程式為(為參數(shù))；原點(diǎn)為極；X軸正半軸為極軸；設(shè)定極座標(biāo)系統(tǒng)。(1)求直線l和圓c交點(diǎn)的極坐標(biāo)。(2)如果p是圓c的轉(zhuǎn)至點(diǎn)，則獲取點(diǎn)p到直線l的距離d的最大值。解決方案

7、(1)稱為直線l: y=x 4，圓c: x2 (y-2) 2=4。聯(lián)立海得島州其極座標(biāo)分別為。(2)解法1: P(2cos，2 sin )、D=、Cos=1時(shí)，d最多為2。解決方案2:從圓心C(0，2)到直線l的距離為=，圓的半徑為2，因此點(diǎn)p到直線l的距離d的最大值為2。問題2參數(shù)方程的應(yīng)用(2017年全國(guó)范圍I)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程式為(為參數(shù))，直線L的參數(shù)方程式為(T為參數(shù))。(1)如果a=-1，則取得c和l的交叉座標(biāo)。(2) c上的點(diǎn)到l距離的最大值為a(1)方程法；(2)代入點(diǎn)到點(diǎn)大選的距離公式，利用分類討論思想進(jìn)行求解。解法(1)曲線c的一般方程式為y2=1。如

8、果A=-1，則線l的一般方程式為x 4y-3=0。在中海得島州因此，c和l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，(2)直線l的一般方程式為x 4y-a-4=0，因此c的點(diǎn)(3cos，sin)到l的距離為d=。A -4時(shí)，d的最大值為.在問題中=，所以a=8；如果A -4，則d的最大值為.在標(biāo)題中設(shè)置=、所以a=-16?？傊琣=8或a=-16。方法技巧直線的參數(shù)方程在交叉問題中的應(yīng)用1.M1，M2是線l的兩點(diǎn)，其參數(shù)為t1，T2，則| | |=| t1 T2 |，| |=| T2-t1 |=。2.如果線段M1M2的中點(diǎn)為M3，點(diǎn)M1、M2、M3的對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1、T2、T3，則T3=。3.如果直線l上直線

9、段M1M2的中點(diǎn)為m0 (x0，y0)，則t1 T2=t1t20。通知：形式(T是參數(shù))的情況下，當(dāng)A2 B2 1時(shí)，首先要變成標(biāo)準(zhǔn)形式，這樣才能利用T的幾何意義來解決問題。見突擊相關(guān)訓(xùn)練。沖破關(guān)卡，瞄準(zhǔn)訓(xùn)練(2017 Xiangxi模擬)直角座標(biāo)系統(tǒng)的原點(diǎn)o為極，x軸的正半軸為極軸，兩個(gè)座標(biāo)系統(tǒng)具有相同的長(zhǎng)度單位。已知線l的參數(shù)方程式為(t為參數(shù)，0)，曲線c的極座標(biāo)方程式為sin2 =2 cos 。(1)求曲線c的笛卡爾坐標(biāo)方程。(2)設(shè)定直線L和曲線C在A，B兩點(diǎn)相交，如果變更，則取得|AB|的最小值。解(1)為 sin2 =2 cos ，結(jié)果( sin ) 2=2 cos ，即y2=2

10、x。曲線c的直角座標(biāo)方程式為y2=2x。(2)將直線L的參數(shù)方程式指定為y2=2X即可。T2sin2 -2 tcos -1=0。a，B如果兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、T2T1 T2=、t1+t2=-、| ab |=| t1-T2 |=，如果=，則|AB|的最小值為2。1.(2016全局體積I)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)表達(dá)式為(T為參數(shù)，A0)。極座標(biāo)原點(diǎn)為極，X軸的正半軸為極座標(biāo)，曲線C2: =4 COS 。(1) C1牙齒描述哪條曲線，并將C1的方程式轉(zhuǎn)換為極座標(biāo)方程式。(2)線C3的極座標(biāo)方程式為=0。其中 0滿足tan 0=2。如果曲線C1和C2的公共點(diǎn)都在C3上，則得到A。

11、解(1)消除參數(shù)T得到C1的一般方程式X2 (Y-1) 2=A2。因此，C1以(0，1)為中心，A是半徑的圓。將X=cos ，y= sin (y= sin )賦給C1的一般方程式，C1的極座標(biāo)方程式就會(huì)牙齒為 2-2 sin 1-a2=0。(2)曲線C1，C2公共點(diǎn)的極座標(biāo)滿足方程式0時(shí)，從方程得到16 cos2 -8 sin cos 1-a2=0，從已知tan =2得到16 cos2 -8 sin cos =0，得到1-a2A=1時(shí)，極點(diǎn)也是C1，C2的公共點(diǎn)，位于C3上。所以a=1。2.(2017河南洛陽(yáng)某)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程設(shè)置為(是參數(shù))，O設(shè)置為極，X軸的非負(fù)半軸設(shè)

12、置為極軸。(1)求圓c的一般方程。(2)線l的極座標(biāo)方程式為2 sin=5，射線om: =與圓c的交點(diǎn)為o，p，與線l的交點(diǎn)為q，得出線段PQ的長(zhǎng)度。解決方案(1)圓c的參數(shù)方程式為(是參數(shù))，因此中心c的座標(biāo)為(0，2)，半徑為2，圓c的一般方程式為x2 (y-2) 2=4。(2)將x=cos ，y= sin 替換為x2 (y-2) 2=4。得到圓c的極坐標(biāo)方程是=4 s in 。設(shè)定P(1，1)后，中的 1=2， 1=。設(shè)定Q(2，2)，由 2=5， 2=。所以| pq |=3?；窘回浰俣忍岣忒偪穹鬯⒕毩?xí)1.(2017山西太原模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)表達(dá)式(其中是參數(shù))

13、，曲線C2: x2 y2-2y=0，將原點(diǎn)o設(shè)定為極，將x軸的正半軸設(shè)定為極軸。光線l:(1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程。(2) 0 時(shí)，求| OA | 2 | ob | 2的值范圍。解(1)C1的一般方程式為Y2=1，C1的極座標(biāo)方程式為2C OS22=2sin2-2=0，C2的極座標(biāo)方程式為=2sin。(2)聯(lián)立= ( 0)和C1的極坐標(biāo)方程為| OA | 2=，聯(lián)立= ( 0)和C2的極坐標(biāo)方程為| ob | 2=4 s in 2 ，然后| OA | 2 | ob | 2=4sin2=4 (1 sin2)-4，T=1 sin2，然后，| OA | 2 | ob | 2=4t-4，0 時(shí)

14、，t(1，2)。如果設(shè)定f(t)=4t-4，則設(shè)定f(；| OA | 2 | ob | 2(2，5)。2.(2017遼寧模擬)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極，X軸的正半軸為極軸，兩個(gè)坐標(biāo)系采用相同的長(zhǎng)度單位。已知線L的參數(shù)方程式為(T為參數(shù)，0)，曲線C的極座標(biāo)方程式為Sin2 =4 COS 。(1)求曲線c的笛卡爾坐標(biāo)方程。(2)點(diǎn)P的笛卡爾坐標(biāo)為P(2，1)，直線l與曲線c和a，b兩點(diǎn)相交，得出| pa | | Pb |=，tan Alan的值。解(1)方程 sin2 =4 cos 任一側(cè)乘以即可 2 sin 2 =4 cos 、X=cos ，y= sin ，y2=4x。經(jīng)過測(cè)試，極的笛卡爾坐標(biāo)(

15、0，0)也滿足了這個(gè)公式。因此，曲線c的直角座標(biāo)方程式為y2=4x。將替換為(2) y2=4x。得到了Sin2 T2 (2 sin -4 cos ) t-7=0。因?yàn)镻(2，1)位于直線l上所以| t1t2 |=，所以sin2=，=或=，也就是tan =或tan =-。3.(2017湖南將軍初中6型)已知曲線C1:(t是參數(shù))，C2: (是參數(shù))。(1) C1，C2的方程式是一般方程式，說明分別代表什么曲線。(2)如果C1的點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)參數(shù)為T=，Q是C2的移動(dòng)點(diǎn)，則從PQ的中點(diǎn)M取得線C3: (T是參數(shù))距離的最小值。分析(1) C1: (x 4) 2 (y-3) 2=1，C2:=1，C1是圓

16、心為(-4，3)、半徑為1的圓、C2是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)位于x軸上、長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度為8、短半軸長(zhǎng)度為3的橢圓。(2) t=時(shí)p (-4，4)，Q(8 Coss，3sin)，所以M，另外，C3的一般方程式為x-2y-7=0時(shí)，m到C3的距離d=| 4 cos-3s in-13 |=| 3s in-4 cos13 |=| 5s in()13 |，d的最小值是。4.(2017線性2模式)已知極與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓c的極坐標(biāo)方程為=asin ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。(1)如果a=2，則直線l和x軸的交點(diǎn)為m，n是圓c的上一點(diǎn)，得到|MN|的最大值。(2)直線l牙齒

17、圓c修剪的弦長(zhǎng)是圓c半徑的兩倍，得到a的值。解決方案(1) a=2時(shí)，圓c的笛卡爾坐標(biāo)表達(dá)式為x2 y2=2y，即x2 (y-1) 2=1。圓C的中心坐標(biāo)為C(0，1)，半徑r=1。使Y=t=0成為t=0，t=0使x=-t 2成為x=2。以m (2，0)代入。| MC |=。| | Mn |的最大值為| MC | r=1。(2) =Asin 中， 2=A Sin ，圓C的笛卡爾坐標(biāo)方程為X2 Y2=Ay，即X2 2 2=。圓c的中心是c，半徑是，線l的一般方程式為4x 3y-8=0。由直線L牙齒圓C修剪的弦長(zhǎng)等于圓C半徑的兩倍。中心c到直線l的距離是圓c半徑的一半。=、a=32或a=。5.(2017錦州阿姨)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為=4 COS 。設(shè)定極點(diǎn)為平面直角座標(biāo)系統(tǒng)的原點(diǎn)，極軸為X軸的正半軸，平面直角座標(biāo)系統(tǒng)。線L的參數(shù)方程式為(T為參數(shù))。(1)將曲線c的極座標(biāo)方程式轉(zhuǎn)換為直角座標(biāo)方程式。(2)線L牙齒曲線C與A，B兩點(diǎn)相交