1、34-1,2020/7/30,二階線性微分方程的理論及解法,一、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu),二、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu),三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法,四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法,第三節(jié),34-2,2020/7/30,二階線性微分方程：,時(shí), 稱(chēng)為二階非齊次線性微分方程.,時(shí), 稱(chēng)為二階齊次線性微分方程；,復(fù)習(xí): 一階非齊次線性微分方程：,通解:,非齊次方程特解,齊次方程通解Y,34-3,2020/7/30,證畢.,一、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu),是二階線性齊次微分方程,的兩個(gè)解,也是該方程的解.,證:,代入方程左邊, 得,（解的疊加原理）,定理1.,34-4,2

2、020/7/30,注：,未必是已知方程的通解.,例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解,并不是通解！,但是,則,為解決通解的判別問(wèn)題,下面引入函數(shù)的線性,相關(guān)性的概念.,34-5,2020/7/30,定義:,是定義在區(qū)間 I 上的,n 個(gè)函數(shù),使得,則稱(chēng)這 n 個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān),否則稱(chēng)為線性無(wú)關(guān).,例如，,在 ( , ) 上都有,故它們?cè)谌魏螀^(qū)間 I 上都線性相關(guān);,又如，,若在某區(qū)間 I 上,則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,必須全為 0 ,可見(jiàn),在任何區(qū)間 I 上都 線性無(wú)關(guān).,若存在不全為 0 的常數(shù),34-6,2020/7/30, 兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的充要條件：,線性相

3、關(guān),線性無(wú)關(guān),常數(shù),注：,0 與任意函數(shù),必線性,相關(guān),成比例！,不成比例！,即,34-7,2020/7/30,定理 2.,是二階線性齊次方程的兩個(gè)線,性無(wú)關(guān)特解, 則,為該方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,故方程的通解為,推論*.,是 n 階齊次線性微分方程,的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解,則該方程的通解為,34-8,2020/7/30,二、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu),是二階非齊次方程,的一個(gè)特解,Y (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理 3.,則,是非齊次方程的通解 .,證: 將,代入方程左端, 得,證畢！,又Y 中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)，,即y 是的解.,34-9,2020/7/30,例如,

4、 方程,有特解,而對(duì)應(yīng)齊次方程,的通解為,因此該方程的通解為,34-10,2020/7/30,推廣*.,是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性,無(wú)關(guān)特解,給定 n 階非齊次線性方程,是非齊次方程的特解,則非齊次方程,的通解為,齊次線性微分方程通解,非齊次線性微分方程特解,34-11,2020/7/30,定理 4.,分別是方程,的特解,是方程,的特解.,（非齊次方程之解的疊加原理）,34-12,2020/7/30,常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).,設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù),都是二階非齊次線,性方程,的解,是任意,例1.,提示:,線性無(wú)關(guān). （反證法可證）,（89 考研）,34-13,2020/7/30,例2.,已

5、知微分方程,個(gè)解,求此方程滿(mǎn)足初始條件,的特解 .,解:,是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,且,常數(shù),因而線性無(wú)關(guān),故原方程通解為,代入初始條件,故所求特解為,有三,34-14,2020/7/30,三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法,和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)倍,代入得,稱(chēng)為微分方程的特征方程,1. 當(dāng),時(shí), 有兩個(gè)相異實(shí)根,方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解:,因此方程的通解為,( r 為待定常數(shù) ),所以令的解為,則微分,其根稱(chēng)為特征根.,34-15,2020/7/30,2. 當(dāng),時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根,則微分方程有一個(gè)特解,設(shè)另一特解,，u (x) 待定.,代入方程得:,是特征方程的二重根,取 u = x ,

6、則得,因此原方程的通解為,常數(shù)變易法,34-16,2020/7/30,3. 當(dāng),時(shí), 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根,此時(shí)微分方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:,利用解的疊加原理，得原方程的線性無(wú)關(guān)特解:,因此原方程的通解為,在第十三章 中介紹,34-17,2020/7/30,小結(jié):,特征方程:,實(shí)根,此表必背！,34-18,2020/7/30, 若含 k 重復(fù)根, 若含 k 重實(shí)根 r , 則其通解中必含,則其通解中必含,特征方程:,推廣*：,n 階常系數(shù)齊次線性微分方程,34-19,2020/7/30,例3.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解為,例4. 求解初值問(wèn)題,解: 特征方程,有重根,因

7、此原方程的通解為,利用初始條件得,于是所求初值問(wèn)題的解為,2020/7/30,四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法,根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理，其通解為,已經(jīng)解決,面臨解決,34-21,2020/7/30,求特解 的方法,根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) ., 待定系數(shù)法,1、,2、,34-22,2020/7/30,1、,設(shè)特解為,其中 為待定多項(xiàng)式,則,化簡(jiǎn)得,34-23,2020/7/30,(1) 若 非特征方程的根，,故特解形式為,則Q(x) 為 m 次多項(xiàng)式，,(2) 若 是特征方程的單根，,為m 次多項(xiàng)式,故特解形式為,(3) 若 是特征方程

8、的重根,為 m 次多項(xiàng)式,故特解形式為,即,即,34-24,2020/7/30,結(jié)論,對(duì)方程,*注：此結(jié)論可推廣到高階情形！,當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時(shí),可設(shè),特解,34-25,2020/7/30,例5.,的一個(gè)特解.,解：本題,而特征方程為,不是特征方程的根 .,故設(shè)所求特解為,代入方程 :,比較系數(shù), 得,于是所求特解為,34-26,2020/7/30,例6.,的通解.,解：,特征方程為,其根為,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,設(shè)非齊次方程特解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程得,所求通解為,解得,34-27,2020/7/30,例7*. 求解,解：,特征方程為,其根為,設(shè)非齊次方程特解為

9、,代入方程得,對(duì)應(yīng)齊次方程通解為,故原方程通解為,34-28,2020/7/30,2、,第二步 求出如下兩個(gè)方程的特解,分析思路*:,第一步 將 f (x) 轉(zhuǎn)化為,第三步 利用疊加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特點(diǎn),（歐拉公式）,34-29,2020/7/30,結(jié)論:,對(duì)于非齊次線性微分方程,則可設(shè)特解:,其中,為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),*注：此結(jié)論可推廣到高階情形！,34-30,2020/7/30,例8.,的一個(gè)特解.,解：,特征方程為,故設(shè)特解為,不是特征方程的根,代入方程得,比較系數(shù)，得,故一個(gè)特解為,因?yàn)?34-31,2020/7/30,例9.,的通解.,解:,特征方程為,其根為,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,比較系數(shù)，得,因此特解為,代入得,通解為,為特征方程的單根 ,故設(shè)非齊次方程特解,34-32,2020/7/30,例10*.,解: (1) 特征方程,有二重根,所以設(shè)非齊次方程特解為,(2) 特征方程,有根,利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為,構(gòu)造下列微分方程的特解形式：,34-33,2020/7/30,內(nèi)容小結(jié), 為特征方程的 k (0,