1、二、三重積分的計(jì)算,一、三重積分的概念,21.5 三重積分,一、三重積分的概念,類似二重積分解決問題的思想, 采用,引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的,物質(zhì),求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的,可得,“分割,近似, 求和, 精確取極限”,解決方法:,質(zhì)量 M .,密度函數(shù)為,設(shè)f(x y z)是三維空間可求體積的有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)。用任意曲面網(wǎng)T將分割成n個(gè)小閉區(qū)域 v1 v2 vn ，其中vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域的體積 在每個(gè)小閉區(qū)域vi上任取一點(diǎn)(i i i) 作積分和,一、三重積分的定義,如果|T|=maxvi的直徑趨于零時(shí) 上述積分和的極限 總存在 則稱此極限為函數(shù)f(x y z)在

2、閉區(qū)域上的三重積分，,稱為體積元素,在直角坐標(biāo)系下常寫作,三重積分的性質(zhì),類似于二重積分,1 . 連續(xù)函數(shù)必可積。,2 . 有界函數(shù)f(x.y.z)的不連續(xù)點(diǎn)集中在體積為0 的曲面上。,3 . 可積必有界。,二、三重積分的計(jì)算,1. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),方法3 . 三次積分法,方法1. 投影法 (“先一后二” ),該物體的質(zhì)量為,細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為,線密度,方法1. 投影法 (“先一后二” ),該物體的質(zhì)量為,細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為,線密度,方法1. 投影法 (“先一后二” ),該物體的質(zhì)量為,細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量

3、為,線密度,方法1. 投影法 (“先一后二” ),該物體的質(zhì)量為,細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為,線密度,（化成一個(gè)定積分和一個(gè)二重積分）,方法2. 截面法 (“先二后一”),為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為,該物體的質(zhì)量為,面密度,方法2. 截面法 (“先二后一”),為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為,該物體的質(zhì)量為,面密度,方法2. 截面法 (“先二后一”),為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為,該物體的質(zhì)量為,面密度,方法2. 截面法 (“先二后一”),為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為,該物體的質(zhì)量為,面密度,方法2. 截面法 (“先二后一”),為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為,該物

4、體的質(zhì)量為,面密度,=,方法特別適用于，當(dāng)被 積函數(shù)為的一元函數(shù)時(shí)，而截面的圖形非常清楚且 面積易知(記為S(z)的情況。,投影法,方法3. 三次積分法,設(shè)區(qū)域,利用投影法結(jié)果 ,把二重積分化成二次積分即得:,小結(jié): 三重積分的計(jì)算方法,方法1. “先一后二”,方法2. “先二后一”,方法3. “三次積分”,具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù),三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇.,特別的：對(duì)稱性的應(yīng)用,若f(x,y,z)為關(guān)于x(或y,z)的連續(xù)奇函數(shù),且關(guān)于yoz面 (或xoz面,xoy面)對(duì)稱則,=0,(A),(B),(C),(D),又如：,1,x+ y=1,1,z=xy,.

5、,1,x+ y=1,1,z=xy,.,1,1,x+ y=1,。,。,z=xy,.,Dxy:,z =0,1,1,。,。,Dxy,雙曲拋物面,：平面 x= 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所圍成的區(qū)域,先畫圖,1,1,Dxy,Dxy:,x = 0, y = 0, x+2y =1 圍成,z = 0,1,.,.,.,例2.計(jì)算三重積分,x + 2y + z =1,Dxy,I =,Dxy:,z = 0,4,4,。,。,Dxy,例3.,1,4,x+ y = 4,.,例3.,1,4,x+ y = 4,1,.,例3.,4,x+ y = 4,.,D,.,.,o,1,例3.,Dz,.,.,

6、b,c,.,=,.,例4 計(jì)算,D0,a,.,z,例5. 計(jì)算三重積分,解:,(橢圓的面積),則,如圖,例6. 設(shè),計(jì)算,解: 利用對(duì)稱性,原式 =,奇函數(shù),被積函數(shù)關(guān)于z的奇函數(shù),且積分域,恰關(guān)于xoy面對(duì)稱,所以原式=0.,事實(shí)上,利用投影法,2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分,就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).,直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:,坐標(biāo)面分別為,圓柱面,半平面,平面,如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為,因此,其中,適用范圍:,1) 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單 ;,2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.,其中為由,例7. 計(jì)算三重積分,所圍,解: 在柱面坐標(biāo)系下,及平面,柱面,成半圓

7、柱體.,1,Dxy,.,Dxy:,z = 1,錐面化為:,1,.,用哪種坐標(biāo)？,柱面坐標(biāo),例8.,.,.,3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分,M(r,),r,N,y,x,z,球面坐標(biāo),直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,坐標(biāo)面分別為,S,r,M,r =常數(shù):, =常數(shù):,球面S,動(dòng)點(diǎn)M(r,),球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面,球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面,C,r =常數(shù):, =常數(shù):,S,球面S,半平面P,動(dòng)點(diǎn)M(r,),M,P, =常數(shù):,錐面C,.,3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分,直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為,因此有,其中,適用范圍:,1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;,2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.,例8. 計(jì)算三重積分,解: 在球面坐標(biāo)系下,所圍立體.,其中,與球面,例9 求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積,解,該立體所占區(qū)域可表示為,0r2acos,于是所求立體的體積為,此球面的方程為x2y2(za)2a