1、6.全概率公式與貝葉斯公式,解：B=AB+B且AB與B互不相容。,P(B)=P(AB+B),=P(AB)+P(B),=P(A)P(B|A)+P()P(B|),=0.70.95+0.30.8,=0.905,例1 市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70，乙廠占 30，甲廠產(chǎn)品的合格率是95，乙廠的合格率是80 若用事件A，分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，B表示產(chǎn)品 為合格品。求市場上買一個燈泡的合格率，及買到合格 燈泡是甲廠生產(chǎn)的概率。,1,學(xué)習(xí)交流PPT,定理1 (全概率公式)若事件A1,A2,構(gòu)成一個完備事件組 并且都具有正概率，則對任何一個事件B,有,證：A1,A2,兩兩互斥，故A1B,A2B,兩兩互

2、斥,由加法法則,再由乘法法則,2,學(xué)習(xí)交流PPT,定理2 (貝葉斯公式)若事件A1,A2,構(gòu)成一個完備事件組， 且都具有正概率，則對任何一個概率不為零的事件B,有,各原因下條件概率已知 求事件發(fā)生概率,求是某種原因造成得概率 事件已發(fā)生,全概率,貝葉斯,3,學(xué)習(xí)交流PPT,例2 設(shè)5支槍中有2支未經(jīng)試射校正，3支已校正。 一射手用校正過的槍射擊，中靶率為0.9，用未校 正過的槍射擊，中靶率為0.4。 (1)該射手任取一支槍射擊，中靶的概率是多少？ (2)若任取一支槍射擊，結(jié)果未中靶，求該槍未校 正的概率。,解：設(shè)A表示槍已校正，B表示射擊中靶,4,學(xué)習(xí)交流PPT,例3 有三個同樣的箱子，A箱中

3、有4個黑球1個白球， B箱中有3個黑球3個白球，C箱中有3個黑球5個白球。 現(xiàn)任取一箱，再從中任取一球，求 (1)此球是白球的概率 (2)若取出的是白球，求它取自B箱的概率。,解：用A、B、C表示A、B、C三個箱子取球,用D表示取出的是白球。,則A、B、C是完備事件組。,5,學(xué)習(xí)交流PPT,例4 (抽簽的公正性)設(shè)10支簽中有4支難簽。甲、乙、丙 依次不放回的抽取。求各人抽到難簽的概率。,解：分別用A、B、C表示甲、乙、丙抽到難簽。,6,學(xué)習(xí)交流PPT,例5 設(shè)驗(yàn)血診斷某種疾病的誤診率僅為5，即若用A表 示驗(yàn)血陽性，B表示受驗(yàn)者患病，則,若有10000人受檢，患病者僅50人，其中驗(yàn)血陽性約47

4、.5人,而9950健康人中，驗(yàn)血陽性者為99500.05497.5人,7,學(xué)習(xí)交流PPT,7 獨(dú)立試驗(yàn)概型,(一)事件的獨(dú)立性,故若A獨(dú)立于B，則B也獨(dú)立于A,稱事件A與事件B相互 獨(dú)立。,關(guān)于獨(dú)立性有如下性質(zhì)：,定義1 若事件發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的影響， 即P(A|B)=P(A),則稱事件A獨(dú)立于事件B。,定義2 若n (n2)個事件A1,An中任何一個事件發(fā)生的 可能性都不受其它一個或幾個事件發(fā)生與否的影響， 稱A1,A2,An相互獨(dú)立。,8,學(xué)習(xí)交流PPT,(1)事件A與B獨(dú)立的充分必要條件是P(AB)=P(A)P(B),證：必要性,若A與B中有一個事件概率為零，結(jié)論成立。,設(shè)

5、A與B的概率都不為零，由獨(dú)立性,P(B|A)=P(B),而由乘法法則可得,P(AB)=P(A)P(B|A),=P(A)P(B),充分性,設(shè)P(B)0,則,=P(A),即A與B獨(dú)立。,9,學(xué)習(xí)交流PPT,證：,類似可證其它兩對事件獨(dú)立。,10,學(xué)習(xí)交流PPT,(3)若事件A1,A2,An相互獨(dú)立，則有 P(A1An)=P(A1)P(An),證：P(A1An)P(A1)P(A2|A1)P(An|A1An-1),而P(A2|A1)=P(A2),P(An|A1An-1)=P(An),故P(A1An)P(A1)P(A2)P(An),11,學(xué)習(xí)交流PPT,例1 設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中

6、目標(biāo)的概率分別為0.9和0.8。求一次射擊中，目標(biāo)被 擊中的概率。,解：分別用A,B表示甲、乙擊中目標(biāo)。,目標(biāo)被擊中，即至少有一人擊中，即A+B,A與B獨(dú)立。故,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),=P(A)+P(B)-P(A)P(B),=0.9+0.8-0.90.8,=0.98,或由性質(zhì)(4),=0.98,=1-0.10.2,12,學(xué)習(xí)交流PPT,例2 一名士兵用步槍射擊飛機(jī)，命中率為0.004。求： (1)若250名士兵同時射擊，飛機(jī)被擊中的概率。 (2)多少名士兵同時射擊，才能使飛機(jī)被擊中的概率達(dá) 到99？,解：用Ai表示第i名士兵擊中飛機(jī)，P(Ai)0.004,0.99,即0

7、.996n0.01,13,學(xué)習(xí)交流PPT,例3 甲、乙、丙3部機(jī)床獨(dú)立工作，由一個工人照管， 某段時間內(nèi)它們不需要工人照管的概率分別為0.9， 0.8及0.85。求在這段時間內(nèi)有機(jī)床需要工人照管的概 率以及機(jī)床因無人照管而停工的概率。,解：用A、B、C分別表示在這段時間內(nèi)機(jī)床甲、乙、 丙不需要照管。,則A、B、C相互獨(dú)立，且,P(A)=0.9P(B)=0.8P(C)=0.85,14,學(xué)習(xí)交流PPT,例4 圖中開關(guān)a、b、c開或關(guān) 的概率都是0.5，且各開關(guān)是 否關(guān)閉相互獨(dú)立。求燈亮的 概率以及若已見燈亮，開關(guān)a 與b同時關(guān)閉的概率。,解：令A(yù)、B、C分別表示開關(guān)a、b、c關(guān)閉，D表示燈亮,P(

8、D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC),=P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C),=0.50.5+0.5-0.50.50.5,=0.625,ABD=AB,=0.4,a,b,c,15,學(xué)習(xí)交流PPT,例5 甲、乙、丙三人獨(dú)立射擊一個目標(biāo)，命中率分別為 0.4，0.5，0.7，若只有一人擊中，目標(biāo)被摧毀的概率是 0.2，若二人擊中，則目標(biāo)被摧毀的概率是0.6，若三人 都擊中，目標(biāo)一定被摧毀。若目標(biāo)被摧毀，求它是一人 摧毀的概率。,解：用Ai表示有i個人擊中目標(biāo)，i=0,1,2,3,用B表示目標(biāo)被摧毀。,P(B|A0)=0P(B|A1)=0.2P(B|A2)=0.6P

9、(B|A3)=1,P(A0)=0.60.50.3,=0.09,P(A1)=0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7,=0.36,P(A2)=0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7,=0.41,P(A3)=0.40.50.7,=0.14,0.458,16,學(xué)習(xí)交流PPT,(二)獨(dú)立試驗(yàn)序列概型,進(jìn)行n次試驗(yàn)，若任何一次試驗(yàn)中各結(jié)果發(fā)生的可能性 都不受其它各次試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生情況的影響，則稱這n次 試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。,在同樣條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為獨(dú)立試驗(yàn)序 列概型。,若在每次試驗(yàn)中只關(guān)心某事件A發(fā)生或不發(fā)生，且每次 試驗(yàn)結(jié)果與其它各次試驗(yàn)結(jié)果無關(guān)，即在每

10、次試驗(yàn)中事 件A發(fā)生的概率都是p(0p1)。,這樣的n次重復(fù)試驗(yàn)稱為n重貝努里試驗(yàn)。,17,學(xué)習(xí)交流PPT,例6 一批產(chǎn)品的廢品率為p,(0p1)重復(fù)抽取n次， 求有k次取到廢品的概率。,解：設(shè)所求事件的概率為P(B),事件B由下列m個互 不相容的事件組成：,B1=(廢，廢，正，正),B2=(廢，廢，正，廢，正，正),Bm=(正，正，廢，廢),P(B1)=P(B2)=P(Bm)=pk(1-p)n-k,18,學(xué)習(xí)交流PPT,一般地，有如下的定理：,解：設(shè)B表示至少有兩件一級品,1-P10(0)-P10(1),例7 一條自動生產(chǎn)線上產(chǎn)品的一級品率為0.6，現(xiàn) 在檢查了10件，求至少有兩件一級品的概

11、率。,19,學(xué)習(xí)交流PPT,例8 某藥物對某病的治愈率為0.8，求10位服藥的 病人中至少有6人治愈的概率。,解：設(shè)A表示至少有6人治愈。,P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10),而正好有8人治愈的概率為,=0.302,20,學(xué)習(xí)交流PPT,例9 在四次獨(dú)立試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率 為0.59，求A至多出現(xiàn)一次的概率。,解：設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p,則A至少出現(xiàn)一次的概率為,故(1-p)4=0.41,1-p=0.8,p=0.2,A至多出現(xiàn)一次的概率為：,P4(0)+P4(1),=0.82,21,學(xué)習(xí)交流PPT,例10 (分賭注問題)甲、乙各下注a元，以猜硬幣方式 賭博，五局三勝，勝者獲得全部賭注。若甲贏得第 一局后，賭博被迫中止，賭注該如何分？,解法一：,應(yīng)按照比賽雙方最終獲勝的可能性分賭注。,即在余下的四局中甲贏得2局以上即可。,甲最終獲勝的概率為,P4(2)+P4(3)+P4(4),22,學(xué)習(xí)交流PPT,解法二：,一般情況下不必比到第五局，有一方贏得三局即中止。,甲方在第三局結(jié)束賭博獲得勝利的概率為,甲方在第四局結(jié)束賭博獲勝的概率為,甲方在第五局結(jié)束賭博獲勝的概率為,故甲方最終獲勝的概率為,P(B3+B4+B5),=P(B3)+P(B4)+P(B5),賭注應(yīng)按11：5的比