1、1.3 波的疊加,1.3.1 波的獨(dú)立傳播與疊加原理 ： 1.3.2 同頻率簡(jiǎn)諧波疊加的一般分析及干涉概念 1.3.3 兩列同頻率 同向振動(dòng)的平面波的疊加 1.3.4 兩列同頻率 同向振動(dòng) 反向傳播的平面波的疊加光駐波,1.3 波的疊加,1.3.5 兩列同頻率、振動(dòng)方向互相垂直、同向傳播的平面波的疊加橢圓偏振光的形成及特征 1.3.6 兩列頻率相近、同向振動(dòng)、同向傳播的平面波的疊加光學(xué)拍,1.3.1 波的獨(dú)立傳播與疊加原理 ：,由于任何復(fù)雜的光波都可以分解為一組由余弦函數(shù)和正弦函數(shù)表示的單色光波，因此討論兩個(gè)（或多個(gè)）光波在空間某一區(qū)域相遇時(shí)，所發(fā)生的光波的疊加問(wèn)題是有意義的。同時(shí)，頻率、振幅

2、和位相都不相同的光波的疊加，情形很復(fù)雜。,本節(jié)只限于討論頻率相同或頻率相差很小的單色光波的疊加，這種情況下可以寫(xiě)出結(jié)果的數(shù)學(xué)表達(dá)式。,本節(jié)所討論內(nèi)容的理論基礎(chǔ)：,一、波的獨(dú)立傳播定律：,兩列光波在空間交迭時(shí)，它的傳播互不干擾,亦即每列波如何傳播，就像另一列波完全不存在一樣各自獨(dú)立進(jìn)行。此即波的獨(dú)立傳播定律。,必須注意的是：此定律并不是普遍成立的，例，光通過(guò)變色玻璃時(shí)是不服從獨(dú)立傳播定律的。,二、波的疊加原理：,當(dāng)兩列(或多列)波在同一空間傳播時(shí)，空間各點(diǎn)都參與每列波在該點(diǎn)引起的振動(dòng)。若波的獨(dú)立傳播定律成立，則當(dāng)兩列(或多列)波同時(shí)存在時(shí)，在它們的交迭區(qū)域內(nèi)每點(diǎn)的振動(dòng)是各列波單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生振動(dòng)的

3、合成.此即波的迭加原理。,與獨(dú)立傳播定律相同，疊加原理適用性也是有條件的。這條件，一是媒質(zhì),二是波的強(qiáng)度。,光在真空中總是獨(dú)立傳播的，從而服從疊加原理。 光在普通玻璃中，只要不是太強(qiáng)，也服從疊加原理。,波在其中服從疊加原理的媒質(zhì)稱(chēng)為“線(xiàn)性媒質(zhì)”。 此時(shí)，對(duì)于非相干光波：,即N列波的強(qiáng)度滿(mǎn)足線(xiàn)性迭加關(guān)系。,1.3.1 波的獨(dú)立傳播與疊加原理,對(duì)于相干光波 ：,即N列波的振幅滿(mǎn)足線(xiàn)性迭加關(guān)系。 由于振動(dòng)量通常是矢量，所以一般情況下此處之“和”應(yīng)理解為矢量和.,波在其中不服從迭加原理的媒質(zhì)稱(chēng)為“非線(xiàn)性媒質(zhì)”。,1.3.1 波的獨(dú)立傳播與疊加原理,1.3.2 同頻率簡(jiǎn)諧波疊加的一般分析及干涉概念,1.

4、3.2 同頻率簡(jiǎn)諧波疊加的一般分析及干涉概念,設(shè)兩列同頻率簡(jiǎn)諧波在其波場(chǎng)交疊區(qū)某點(diǎn)P各自產(chǎn)生的復(fù)振幅分別為,P點(diǎn)合振動(dòng)的復(fù)振幅矢量為,P點(diǎn)合光強(qiáng)為,1.3.2 同頻率簡(jiǎn)諧波疊加的一般分析及干涉概念,令,則,若在兩波的交疊區(qū)波場(chǎng)的強(qiáng)度分布不是簡(jiǎn)單地等于每列波單獨(dú)產(chǎn)生的強(qiáng)度之和，即 一般地,則稱(chēng)這兩列波發(fā)生了干涉。 易見(jiàn)對(duì)干涉的貢獻(xiàn)來(lái)自合強(qiáng)度式中的第三項(xiàng)干涉項(xiàng)。 為使該項(xiàng)具有不為零的穩(wěn)定貢獻(xiàn)，必須有,（1） E10 E20 =0，即E10不垂直于E20 ； （2）對(duì)給定點(diǎn)P，相差（P )恒定，不隨時(shí)間而變化。,對(duì)理想單色簡(jiǎn)諧波，只要振動(dòng)方向不互相正交，總是相干的。,設(shè)兩列三維平面波的頻率相同，振動(dòng)

5、方向相同(故可用標(biāo)量波表示)， 其復(fù)振幅分別為,此時(shí),可得到光場(chǎng)中的光強(qiáng)分布為,或?qū)憺?其中,1.3.2 同頻率簡(jiǎn)諧波疊加的一般分析及干涉概念,光強(qiáng)僅隨位置r變化而變化。在某些特定位置，使得,(m = 0，l，2，),光強(qiáng)I 取得極大值,這時(shí)稱(chēng)兩列波發(fā)生了相長(zhǎng)干涉；,在另一些特定位置，使得,(m = 0，l，2，),光強(qiáng)I 取得極小值,這時(shí)稱(chēng)兩列波發(fā)生了相消干涉。,1.3.3 兩列同頻率 同向振動(dòng)的平面波的疊加,相同的點(diǎn)的集合構(gòu)成了三維空間中的等強(qiáng)度面， 這種等強(qiáng)度面的方程是,我們把兩列(或多列)相干波的交疊區(qū)稱(chēng)為干涉場(chǎng)， 將干涉場(chǎng)中光強(qiáng)隨空間位置的分布稱(chēng)為干涉圖樣。 由以上分析可知，兩列同頻

6、率平面波的干涉圖樣是三維空間中一族光強(qiáng)極大與極小相間排列的平行平面。 由于在I1、I2 給定時(shí)，光強(qiáng)I僅取決于cos，而cos隨x,y,z的變化具有周期性， 故，干涉場(chǎng)的強(qiáng)度變化亦具有空間周期性。,1.3.3 兩列同頻率 同向振動(dòng)的平面波的疊加,由于,可知，光強(qiáng)分布在x ,y ,z 方向的空間頻率分別為,上式亦可寫(xiě)成矢量形式,式中f1，f2 分別是第一列波、第二列波的空間頻率矢量，f 是干涉圖樣(在垂直于等強(qiáng)度面方向)的空間頻率矢量。,1.3.3 兩列同頻率 同向振動(dòng)的平面波的疊加,1.3.3 兩列同頻率 同向振動(dòng)的平面波的疊加,由于f1=f2=1/, f 的方向?yàn)榈葟?qiáng)度面的法線(xiàn)方向， 可知等

7、強(qiáng)度面位于f1、f2 (亦即k1、k2)的角平分面， 且有,式中為k1、k2夾角。 對(duì)fx fy fz 取倒數(shù)可以得到干涉圖樣在x,y,z方向的空間周期dx,dy,dz 相鄰光強(qiáng)極大(或極小)平面的間距則為,1.3.4 兩列同頻率 同向振動(dòng) 反向傳播的平面波的疊加 光駐波,設(shè)兩列波的傳播方向分別沿z軸的負(fù)方向和正方向, 采用實(shí)波函數(shù)來(lái)進(jìn)行分析。,其實(shí)波函數(shù)分別為：,為突出波疊加時(shí)的主要特征，設(shè)E10=E20，則合成波為,上式中第二項(xiàng)表明波場(chǎng)中任一點(diǎn)仍作角頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而第一項(xiàng)的絕對(duì)值則表示為坐標(biāo)為z處的振動(dòng)振幅， 將此振幅記為E0（z），即有：,顯然，各點(diǎn)的振幅不再是常數(shù)，而隨其空間位置z

8、而變化。,在滿(mǎn)足,(m = 0，1，2，),的位置，振幅E(z)取得最大值2E10，這些點(diǎn)稱(chēng)為波腹。,在滿(mǎn)足,(m = 0，1，2，),的位置，振幅E(z)取得最小值0，這些點(diǎn)稱(chēng)為波節(jié)。,容易看出，波腹與波節(jié)相間分布，相鄰波腹(或波節(jié))的間距皆為/2。,由于整個(gè)波形并不發(fā)生空間推移，所以這種波稱(chēng)為駐波。 相應(yīng)地，前文所討論的各種在空間傳播的波則可以稱(chēng)為行波。,1.3.4 兩列同頻率 同向振動(dòng) 反向傳播的平面波的疊加 光駐波,1.3.4 兩列同頻率 同向振動(dòng) 反向傳播的平面波的疊加 光駐波,歷史上，維納(Owiner)曾經(jīng)作了這樣一個(gè)著名的實(shí)驗(yàn)，它既驗(yàn)證了光駐波的存在，也證實(shí)了在光化學(xué)反應(yīng)中對(duì)物

9、質(zhì)起主要作用的是電場(chǎng)而不是磁場(chǎng)。 可以預(yù)見(jiàn):若有光駐波存在，在感光片上將有亮暗相間的條紋存在，且條紋間距應(yīng)與/2按幾何關(guān)系對(duì)應(yīng)。即 實(shí)驗(yàn)證實(shí)了這個(gè)預(yù)言， 即證實(shí)了駐波的存在。,1.3.5 兩列同頻率、振動(dòng)方向互相垂直、同向傳播的平面波的疊加橢圓偏振光的形成及特征,取互相垂直的兩個(gè)振動(dòng)方向分別為x和y軸，波的傳播方向?yàn)閦方向,則x，y方向的矢量實(shí)波函數(shù)可分別寫(xiě)為,波場(chǎng)中任意位置和時(shí)刻的合振動(dòng)應(yīng)為,因?yàn)閮闪胁ň貁方向等速傳播，故其合成波亦沿同方向以同樣速度傳播，并且合矢量E仍在xy平面內(nèi)，即光波仍保持其橫波性。以表示E矢量與x軸正向所成的角，則有,可見(jiàn)，一般地說(shuō) 的大小，即E 在xy 平面內(nèi)的指

10、向?qū)㈦S位置z和時(shí)間t 而變化。以下分別討論其時(shí)空依賴(lài)關(guān)系。,一、光矢量E的時(shí)間變化,設(shè)z為定值,可以證明，當(dāng)t 為任意值時(shí)，E矢量末端隨時(shí)間的變化在空間掃描出的軌跡由以下方程所確定：,顯然，一般說(shuō)來(lái)這是一個(gè)“斜橢圓”(兩半軸方位不與x,y軸重合)方程，相應(yīng)的光稱(chēng)為橢圓偏振光 。,1.3.5 兩列同頻率、振動(dòng)方向互相垂直、同向傳播的平面波的疊加橢圓偏振光的形成及特征,該橢圓內(nèi)截于一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形各邊與坐標(biāo)軸平行，邊長(zhǎng)為2a1和2 a2 。如圖示。橢圓的長(zhǎng)軸與OX軸的夾角：,式中a1, a2分別為Ex0 ,Ey0。,令 則 由于兩疊加光波的角頻率為，故P點(diǎn)合矢量沿橢圓旋轉(zhuǎn)的角頻率為 。 我們把光

11、矢量周期性地旋轉(zhuǎn)，其末端軌跡描成一個(gè)橢圓的這種光稱(chēng)為橢圓偏振光。,1.3.5 兩列同頻率、振動(dòng)方向互相垂直、同向傳播的平面波的疊加橢圓偏振光的形成及特征,二、幾種特殊情況：,由橢圓方程 知：橢圓形狀由兩疊加光波的位相差 和振幅比a2/a1 決定. 當(dāng)兩種特殊情況下,合成光波仍是線(xiàn)偏振光. 1. 或 2的整數(shù)倍時(shí)， 橢圓方程為： 此式表示：合矢量的末端的運(yùn)動(dòng)沿著一條經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)而斜率為 a2/a1的直線(xiàn)進(jìn)行。,二、幾種特殊情況：,2. 橢圓變?yōu)椋?即 合矢量的末端運(yùn)動(dòng)沿著一條經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)而斜率為-a2/a1的直線(xiàn)進(jìn)行。,二、幾種特殊情況：,3. 及其奇數(shù)倍時(shí)， 橢圓方程為： 此為一正橢圓,長(zhǎng)短軸

12、與x，y軸重合. 若兩光波的振幅a1、a2相等，為a。 則： 表示一個(gè)圓偏振光。,三、左旋和右旋：,通常規(guī)定: 對(duì)著光傳播方向看去，合矢量是順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，偏振光是右旋的。反之，是左旋的。 只需將不同時(shí)刻的兩原光波的值比較后即可看出； sin0 左旋情況 sin0 右旋情況 在左旋橢圓偏振光情況下，各點(diǎn)場(chǎng)矢量的末端構(gòu)成的螺旋線(xiàn)的旋向與光傳播方向成右手螺旋系統(tǒng)； 而右旋橢圓偏振光的情形、螺旋線(xiàn)的旋向與關(guān)傳播方向成左手螺旋系統(tǒng)。,二、光矢量E的空間變化,設(shè)t 為定值,這相當(dāng)于觀察“凝固”了的波形。對(duì)于某一時(shí)刻，傳播路程上各點(diǎn)的合矢量末端位置構(gòu)成一個(gè)螺旋線(xiàn)，螺旋線(xiàn)的空間周期為光波波長(zhǎng)，各點(diǎn)場(chǎng)矢量的

13、大小不一，其末端在與傳播方向垂直的平面上的投影為一個(gè)橢圓。 當(dāng)=0，時(shí)，易見(jiàn)振動(dòng)平面的空間取向是不變的， 其它情況下隨z的改變而改變。,關(guān)于左旋和右旋的的判據(jù)與前述相同，仍是：,此時(shí)橢圓是右旋的,此時(shí)橢圓是左旋的,三、左旋和右旋：,四、橢圓偏振光的強(qiáng)度,在矢量形式下光波的強(qiáng)度一般地可寫(xiě)成 在同一介質(zhì)內(nèi)時(shí) 對(duì)于橢圓偏振光：它是由振動(dòng)方向互相垂直的兩線(xiàn)偏振光疊加構(gòu)成：則 即 此式表示橢圓偏振光的強(qiáng)度恒等于合成它的兩個(gè)振動(dòng)方向互相垂直地單色光波地強(qiáng)度之和，它與兩個(gè)疊加波的位相無(wú)關(guān)。,四、橢圓偏振光的強(qiáng)度,這一結(jié)論不僅適用于橢圓偏振光，也適用于圓偏振光和自然光。 此時(shí)Ix=Iy，則 另：由此結(jié)論，說(shuō)明

14、兩振動(dòng)方向互相垂直的光波在疊加區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的光強(qiáng)度都應(yīng)等于兩個(gè)光波的強(qiáng)度之和，即此時(shí)不發(fā)生干涉現(xiàn)象。,設(shè)兩列平面波均沿z軸正方向傳播，其振動(dòng)方向相同，振幅皆為E，兩列波的傳播數(shù)和角頻率分別為是k1 ,1和 k2,2 。取第一列波的初相為零，第二列波相對(duì)于第一列波的初相差為0，則兩列波的實(shí)波函數(shù)可寫(xiě)為,任一時(shí)刻及位置波場(chǎng)中的合振動(dòng)可表示為,式中,10.3.6 兩列頻率相近、同向振動(dòng)、同向傳播的平面波的疊加光學(xué)拍,設(shè)兩列波頻率相近，即,10.3.6 兩列頻率相近、同向振動(dòng)、同向傳播的平面波的疊加光學(xué)拍,則上式中第一項(xiàng)因子在時(shí)空中的變化速度要比第二項(xiàng)緩慢得多，因此可以把后者看做是高頻載波，而把前者看做是對(duì)載波的低頻調(diào)制。 載波的角頻率為 ，其振幅為,A的分布構(gòu)成了調(diào)制后的載波的包絡(luò)線(xiàn)。 合成波的強(qiáng)度則為,式中 I 1=E02 為單列波的強(qiáng)度。,由,可見(jiàn)光強(qiáng)的時(shí)間角頻率恰為： ， 即參與合成的兩列波的角頻率之差， 其時(shí)間頻率當(dāng)然也等于兩波頻率之差 。 一般把這種兩列頻率相近的簡(jiǎn)諧波疊加時(shí)合成波的強(qiáng)度隨時(shí)間作差頻振蕩的現(xiàn)象稱(chēng)為拍， 而將 稱(chēng)為拍頻。,由 知：合成波包含兩種傳僠速度：等相面的傳播速度和等幅面的傳播速度