1、第六講 相關(guān),變量間的關(guān)系有兩類： 一類是變量間存在著完全確定性的關(guān)系，可以用精確的數(shù)學表達式來表示。 如長方形的面積（S）與長（a）和寬（b）的關(guān)系可以表達為：S=ab。它們之間的關(guān)系是確定性的，只要知道了其中兩個變量的值就可以精確地計算出另一個變量的值，這類變量間的關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系。,另一類是變量間不存在完全的確定性關(guān)系，不能用精確的數(shù)學公式來表示。 如黃牛的體長與體重的關(guān)系；仔豬初生重與斷奶重的關(guān)系；豬瘦肉率與背膘厚度、眼肌面積、胴體長等的關(guān)系等等，這些變量間都存在著十分密切的關(guān)系，但不能由一個或幾個變量的值精確地求出另一個變量的值。像這樣一類關(guān)系在生物界中是大量存在的，統(tǒng)計學中把這些變

2、量間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系，把存在相關(guān)關(guān)系的變量稱為相關(guān)變量。,相關(guān)變量間的關(guān)系一般分為兩種: 一種是因果關(guān)系，即一個變量的變化受另一個或幾個變量的影響。如仔豬的生長速度受遺傳特性、營養(yǎng)水平、飼養(yǎng)管理條件等因素的影響，子代的體高受親本體高的影響； 另一種是平行關(guān)系，它們互為因果或共同受到另外因素的影響。如黃牛的體長和胸圍之間的關(guān)系，豬的背膘厚度和眼肌面積之間的關(guān)系等都屬于平行關(guān)系。,統(tǒng)計學上采用回歸分析 （regression analysis）研究呈因果關(guān)系的相關(guān)變量間的關(guān)系。表示原因的變量稱為自變量，表示結(jié)果的變量稱為依變量。 研究“一因一果”，即一個自變量與一個依變量的回歸分析稱為一元回歸分

3、析； 研究“多因一果”，即多個自變量與一個依變量的回歸分析稱為多元回歸分析。 一元回歸分析又分為直線回歸分析與曲線回歸分析兩種；多元回歸分析又分為多元線性回歸分析與多元非線性回歸分析兩種。,統(tǒng)計學上采用相關(guān)分析 ( correlation analysis)研究呈平行關(guān)系的相關(guān)變量之間的關(guān)系。 對兩個變量間的直線關(guān)系進行相關(guān)分析稱為簡單相關(guān)分析（也叫直線相關(guān)分析）； 對多個變量進行相關(guān)分析時，研究一個變量與多個變量間的線性相關(guān)稱為復相關(guān)分析；研究其余變量保持不變的情況下兩個變量間的線性相關(guān)稱為偏相關(guān)分析。,直線相關(guān)與直線回歸 直線相關(guān)與直線回歸分析，是研究涉及連續(xù)型正態(tài)隨機變量的兩個連續(xù)型變量

4、（x,y）間的線性關(guān)系的統(tǒng)計方法。 數(shù)理統(tǒng)計理論要求：作直線相關(guān)分析的雙隨機變量（x,y），應(yīng) 服從二維正態(tài)分布；兩個變量不分主次、地位平等。例如對身高與 體重間的關(guān)系的研究。作直線回歸分析的雙變量（x,y）中，一個為 正態(tài)分布隨機變量，即因（依）變量；另一個為可觀測非隨機變量， 即自變量，兩個變量地位不再平等。例如對植株高度（因變量）隨 生長周數(shù)（自變量）的變化規(guī)律的研究，植株高度為正態(tài)隨機變量， 生長周數(shù)為可觀測非隨機變量。 實際應(yīng)用時，對雙變量樣本資料（xi,yi），i=1,n，只要x、y中 有一個是正態(tài)分布隨機變量，一般都可同時作直線相關(guān)和直線回歸分 析，對上述理論上的要求一般不作嚴格

5、限制。,一、直線相關(guān)的散點圖(Scatter)分析 直線相關(guān)分析中的樣本，是平面上的n個點（xi,yi）,i=1,n，它們在平面上的典型散布情況散點圖有以下幾種：,第一節(jié) 直線相關(guān) correlation analysis,二、直線相關(guān)的定量分析 （一）直線相關(guān)系數(shù)（總體記為，樣本記為r） 樣本直線相關(guān)系數(shù)： 其中Lxy稱為離均差乘積和。 可以證明：-1r1。 由下圖易知，Lxy的符號代表了相關(guān)的性質(zhì): Lxy0為正相關(guān)；Lxy大小可初步反映相關(guān)的密切程度。,Lxy0,Lxy小 Lxy0,Lxy大,但直接用Lxy描述直線相關(guān)關(guān)系，會受到樣本容量n大小的影響，還會受變量x、y的單位制及其變異大小

6、的影響，因此引入直線相關(guān)系數(shù) 就解決了這些問題。r可以客觀描述x,y之間的直線關(guān)聯(lián)的性質(zhì)和密切程度。 結(jié)合散點圖及r的取值情況，當r0時，稱為正相關(guān)；當r0時，稱為負相關(guān)；當r=0時，稱為零相關(guān)；當r=1時，稱為完全正相關(guān)；當r=-1時，稱為完全負相關(guān)。,（二）直線相關(guān)關(guān)系即直線相關(guān)系數(shù)的檢驗 假設(shè)H0：=0 即總體直線相關(guān)系數(shù)為零，亦即總體內(nèi)x與y之間無直線相關(guān)關(guān)系。 方法一. 查 r 表法，由 r 與界值 r比較，自由度 df = n-2。 若r 0.05，尚不能認為總體直線相關(guān)系數(shù)不為零，即尚不能認為總體內(nèi) x 與 y 存在直線相關(guān)關(guān)系； 若r r,n-2（0. 05）, P0. 05，

7、則認為總體直線相關(guān)系數(shù)不為零，即總體內(nèi) x 與 y 之間存在直線相關(guān)關(guān)系。 方法二. 由 t = (r-) / (1-r) / (n-2) 與界值 t 比較，自由度df =n-2。比較結(jié)果及結(jié)論與方法一類似，只需將r換為t 即可。 方法一與方法二具有完全等價性，即檢驗結(jié)論、P值恒一致。 實際中只需選擇其一即可。,三、直線相關(guān)分析實例 例6. 1 某品種水稻由播種至齊穗的天數(shù)x與其間的總積溫y(日度) 數(shù)據(jù)如下表。試做相關(guān)分析。,先做散點圖如下，可見有直線相關(guān)趨勢。,再求直線相關(guān)系數(shù) 對可能存在的直線相關(guān)關(guān)系進行檢驗： 假設(shè)H0：=0, df = 9 2 = 7,r r0. 001,7, P0.

8、 001 結(jié)論：某水稻品種由播種至齊穗的天數(shù)與其間的總積溫之間有正直線相關(guān)關(guān)系。,例6.2 計算10只綿羊的胸圍（cm）和體重(kg) 的相關(guān)系數(shù)。 表 10只綿羊胸圍和體重資料,R=0.847 Sig=0.0020.01,為研究m個定量指標變量（x1，x2，xm）間的關(guān)聯(lián)情況，通常要對 n 個研究對象觀測 m 組數(shù)據(jù)（x1i, x2i，, xmi），i=1,2,n（一般 n 應(yīng)遠大于 m ），且諸 xi 應(yīng)滿足正態(tài)分布等條件。然后對這 m組數(shù)據(jù)做多元線性相關(guān)分析。 一、簡單相關(guān)分析 對諸 xi 計算兩兩間的直線相關(guān)系數(shù)rij（也稱零級相關(guān)系數(shù)），可粗略反映各變量之間的關(guān)聯(lián)情況。,第二節(jié) 多元

9、線性相關(guān)分析,二、偏相關(guān)分析 計算偏相關(guān)系數(shù) rij，表示在扣除其它變量的影響后 xi 與 xj 之間的直線相關(guān)系數(shù)，表示被扣除影響的其它變量的下標。在這里偏相關(guān)系數(shù)與簡單相關(guān)系數(shù)相比，更能真實反映xi、xj間的關(guān)聯(lián)情況。 偏相關(guān)系數(shù)的計算公式為： rij = - CijCiiCjj 式中，Cij、Cii、Cjj為（x1, x2, , xm ）的相關(guān)矩陣r的逆矩陣r-1中的元素。 對偏相關(guān)系數(shù)也可進行檢驗，方法是由獨立自變量個數(shù)=m -1，剩余自由度=nm1查專用相關(guān)系數(shù)檢驗表，可得 r0. 05 , r0. 01 。 若rij 0.05, 不能認為 xi 、xj 之間存在偏相關(guān)關(guān)系； 若ri

10、j r,0.05, P0. 05, 說明 xi、xj 之間存在偏相關(guān)關(guān)系。,例6. 3 隨機抽測 29 名兒童的血中微量元素鈣、鎂、錳、鐵、銅及血紅蛋白含量，數(shù)據(jù)如下表。試求 相關(guān)系數(shù)。,簡單相關(guān)分析:,鈣 鎂 鐵 錳 銅 血紅蛋白 1 . 538 . 300 . 148 . 625 . 097 . 538 1 . 635 -. 121 . 582 . 569 . 300 . 635 1 -. 271 . 265 . 863 . 148 -. 121 -. 271 1 . 294 -. 323 . 635 . 582 . 265 . 294 1 . 248 . 097 . 569 . 863

11、-. 323 . 248 1,r =,鈣 鎂 鐵 錳 銅 血紅 蛋白,2. 267 -. 608 -1. 355 . 067 -1. 118 1. 595 -. 608 2. 683 -. 814 . 344 -. 964 -. 415 -1. 355 -. 8145 . 337 -. 143 1. 016 -4. 311 . 067 . 344 -. 143 1. 394 -. 753 . 558 -1. 118 -. 964 1. 016 -. 753 2. 479 -1. 078 1. 595 - 4. 15 -4. 311 . 558 -1. 078 5. 250,r 1 =（Cij）

12、=,偏相關(guān)系數(shù) r= r鈣鎂= -C12C11C22 = -（- 0. 608） 2. 267 2. 683 = 0. 2465 r3 = r鈣鐵= -C13C11C33 = -（- 1. 355） 2. 267 5. 337 = 0. 3895 全部偏相關(guān)系數(shù)（矩陣）為： 注意到，偏相關(guān)系數(shù)與簡單相關(guān)系數(shù)不僅在數(shù)值上，而且在符號 上均可能不同，例如簡單相關(guān)系數(shù) r鐵銅 = 0. 265，而偏相關(guān)系數(shù) r鐵銅=-0. 279。由于在多變量問題中，簡單相關(guān)系數(shù)住往不能反映變 量間的真實關(guān)系，甚至可能得出錯誤結(jié)論，因此，應(yīng)用中應(yīng)以偏相關(guān) 系數(shù)為準。偏相關(guān)系數(shù)的檢驗從略。,1、計量資料的（Spear

13、man）等級相關(guān)分析 例6. 4 某 7 個地區(qū)居民中單純性甲狀腺腫患病率 x (%) 與當?shù)厥澄铩?飲水中含碘量 y 數(shù)據(jù)如表。試做（Spearman）等級相關(guān)分析。,三、 秩相關(guān)（等級相關(guān)）分析,假設(shè)H0：甲狀腺腫患病率與食物、飲水中含 碘量間無等級相關(guān)關(guān)系。 分別對 x、y 編秩號，相同數(shù)值編平均秩 號。求各對數(shù)據(jù)（xi , yi）(i=1,2,n，n為數(shù)據(jù) 對子數(shù)）的秩號差d。 計算Spearman 等級相關(guān)系數(shù) rs： rs=1 - 6d/n（n-1）,可以證明 -1 rs1, 當 r s0時稱正等級相關(guān)。 查專用統(tǒng)計表可得界值rs,n， 若rs 0. 05,不能拒絕H0； 若rs

14、rs,n（0. 05）, P0. 05，拒絕H0。 本例rs=1-6(-6)+(-4)+(-2)+1+1+4+6/7(7-1)= - 0. 964 查表得rs,0. 05,7=0. 786，因rsrs,0. 05,7, P0. 05, 結(jié)論：甲狀腺腫患病率與食物、飲水中含碘量間存在負等級相關(guān)關(guān)系。,可以證明 1 rk1, 當 rk 0 時稱正等級相關(guān)。 查專用統(tǒng)計表可得界值 rk,n 。 若rk 0. 05，不能拒絕 H0； 若rk rk,n , 0. 05, P0. 05,拒絕 H0。 本例 rk=234/10（10-1）/21= 0. 511 查表得 rk,0. 05,10= 0. 467

15、,因rk rk,0. 05,10, P 0. 05，結(jié)論： 該地肝癌死亡率與某食物中黃曲霉素相對含量間有正等級相關(guān)關(guān)系。,2、計量資料的（Kendall）等級相關(guān)分析 例6. 5 某地10個鄉(xiāng)的肝癌死亡率y（1/10萬）與某食物中黃曲霉素相對含 量x的數(shù)據(jù)如下表。試做（Kendall）等級相關(guān)分析。,假設(shè)H0：肝癌死亡率與某食物黃曲霉素相對含 量間無等級相關(guān)關(guān)系。 先按 x (或 y) 從小到大對樣品 （xi , yi）( I =1,2, , n ，n為數(shù)據(jù)對子數(shù))排序。 再對y (或 x) 編秩號，相同數(shù)值編平均秩號。 從頭計算大于現(xiàn)秩號的秩號個數(shù)Si，并求 合計S =Si 。 計算Kend

16、all等級相關(guān)系數(shù) rk： rk=2S / n (n1)/2 1,1 0. 7 21. 5 3 7 2 1. 0 18. 9 2 7 3 1. 7 14. 4 1 7 4 3. 7 46. 5 7 3 5 4. 0 27. 3 4 5 6 5. 1 64. 6 9 1 7 5. 5 46. 3 6 2 8 5. 7 34. 2 5 2 9 5. 9 77.6 10 0 10 10. 0 55. 1 8 0,鄉(xiāng) 黃曲霉 肝癌死 秩號 大于現(xiàn)秩號 號 素含量x 亡率y 秩號個數(shù)Si,合計 S=34,3、含等級指標資料的等級相關(guān)分析 例6. 6 12名急性白血病患兒的血小板計數(shù)x與出血狀況等級 y 數(shù) 據(jù)如下表。試做等級相關(guān)分析。,這里以Spearman法為例進行分析， Kendall法與之相仿。需先將等級指標 數(shù)量化。 假設(shè)H0：血小板計數(shù)與出血狀況 無等級相關(guān)關(guān)系。 分別對