1、從本章起，我們轉(zhuǎn)入課程的第二部分數(shù)理統(tǒng)計學。數(shù)理統(tǒng)計學與概率論是兩個密切聯(lián)系的姊妹學科。 大體上可以這樣說，概率論是數(shù)理統(tǒng)計學的基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計學是概率論的重要應(yīng)用。,第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念,數(shù)理統(tǒng)計是一門什么樣的學科？,數(shù)理統(tǒng)計學是這樣一門學科：它使用概率論和其它數(shù)學方法，研究怎樣收集（通過試驗和觀察）帶有隨機誤差的數(shù)據(jù)，并在設(shè)定的模型（稱為統(tǒng)計模型）之下，對這種數(shù)據(jù)進行分析（稱為統(tǒng)計分析），以對所研究的問題作出推斷（稱為統(tǒng)計推斷）。 由于所收集的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（資料）只能反映事物的局部特征，數(shù)理統(tǒng)計的任務(wù)就在于從統(tǒng)計資料所反映的局部特征以概率論作為理論基礎(chǔ)去推斷事物的整體特征。,用局部推斷整

2、體，這就使得數(shù)理統(tǒng)計所作推斷的結(jié)論不可避免地存在偏差或錯誤，而刻畫或把握這種偏差的有效方法就是概率論。概率論通過給出各種各樣的統(tǒng)計量所服從的分布或數(shù)字特征，來演繹地評價各種統(tǒng)計方法的優(yōu)劣或置信程度。,6.1 總體、樣本和統(tǒng)計量 6.2 經(jīng)驗分布函數(shù) 6.3 抽樣分布,主要內(nèi)容,6.1 總體、樣本和統(tǒng)計量,6.1.1 總體與樣本,在數(shù)理統(tǒng)計中,我們將研究對象的某項數(shù)量指標的值的全體稱為總體，總體中的每個元素稱為個體。,例：對電子元件我們主要關(guān)心的是其使用壽命。 某廠生產(chǎn)的所有電子元件的使用壽命值的全體， 就構(gòu)成了研究對象的全體，即總體。 可以認為總體是一個隨機變量，常用X表示。 如：設(shè)電子元件的

3、壽命為隨機變量X，其所有可能取值的全體就構(gòu)成總體。,為方便起見,今后我們把總體與隨機變量X等同起來看， 即總體就是某隨機變量X可能取值的全體。它客觀上存在一個概率分布，但我們對其概率分布一無所知，或部分未知，正因為如此，才有必要對總體進行研究。,按機會均等的原則隨機地從客觀存在的總體中抽取一些個體進行觀察或測試的過程稱為隨機抽樣。從總體中抽出的部分個體，叫做總體的一個樣本。,從總體中抽取樣本時，不僅要求每一個個體被抽到的機會均等(代表性)，同時還要求每次的抽取是獨立的（獨立性），即每次抽樣的結(jié)果不影響其他各次的抽樣結(jié)果，同時也不受其他各次抽樣結(jié)果的影響。這種抽樣方法稱為簡單隨機抽樣。由簡單隨機

4、抽樣得到的樣本叫做簡單隨機樣本。往后如不作特別說明，提到“樣本”總是指簡單隨機樣本。,從總體X中抽取一個個體,就是對隨機變量X進行一次試驗。在抽樣時抽取n個個體就是對隨機變量X進行n次試驗, 得到n個個體分別記為X1, X2, , Xn 。則樣本就是n維隨機變量( X1, X2 , , Xn )。在一次具體抽樣以后, (X1, X2, , Xn )就有了一組確定的值(x1, x2, , xn)，稱為樣本觀測值。稱 ( X1, X2, , Xn )為樣本，n為樣本容量.,個體的二重性： 從總體X中抽取一個個體（但抽取個體的試驗未結(jié)束，或理解為試驗是形式上的）,該個體的值是不確定的，此時抽取的個體

5、仍用隨機變量Xi 表示，它和總體X同分布； 從總體X中抽取一個個體（對個體的試驗結(jié)束，或試驗有具體結(jié)果）,該個體的值是確定的，此時抽取的個體是觀測值xi 。,根據(jù)隨機變量獨立性定義及獨立隨機變量的分布函數(shù)和密度函數(shù)的定理，有 命題6.1.1 設(shè)總體XF( ,)， (X1 , X2 , , Xn)為其樣本，則 F(,)可以是分布函數(shù)，也可以是密度函數(shù)（對連續(xù)型隨機變量），或是分布律（對離散型隨機變量）。 如對于連續(xù)型隨機變量，F(xiàn)(,)可以是密度函數(shù)，即,例6.1.1 設(shè)總體XN(,2)， (X1 , X2 , , Xn)為其樣本，則(X1 ,X2 , , Xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,6.1.2

6、統(tǒng)計量,統(tǒng)計量的定義 設(shè)X1，X2，Xn為來自總體X的樣本，稱不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù) g(X1，X2，Xn) 為統(tǒng)計量 若x1，x2，.，xn為樣本觀測值，則稱 g(x1，x2，.，xn)為統(tǒng)計量g(X1，X2，Xn)的觀測值. 統(tǒng)計量是處理、分析數(shù)據(jù)的主要工具對統(tǒng)計量的一個最基本的要求就是可以將樣本觀測值代入進行計算，因而不能含有任何未知的參數(shù),【例】設(shè)X1，X2，Xn是來自總體X的樣本，XN(， 2)，其中 、 2為未知參數(shù)，則 X1， min X1，X2，Xn 均為統(tǒng)計量，但諸如 等均不是統(tǒng)計量，因它含有未知參數(shù) 或,6.2 經(jīng)驗分布函數(shù),6.3 抽樣分布,為了用概率的方法探討一個統(tǒng)計

7、量在推斷總體時的性能或把握推斷結(jié)論的置信程度，我們必須要知道統(tǒng)計量的分布或近似分布.統(tǒng)計量的分布，通常稱為抽樣分布. 先討論統(tǒng)計量的數(shù)字特征.,6.3.1 樣本均值和樣本方差的數(shù)字特征,6.3.2 三種重要的概率分布,1. 2分布（為簡便計，不通過分布，直接給出2分布定義 ） 命題6.3.2 設(shè)X1，X2，Xn為相互獨立的隨機變量，它們都服從標準正態(tài)N(0，1)分布，則稱隨機變量 服從自由度為n的2分布，記為X 2 (n) 此處自由度指包含獨立變量Xi的個數(shù) 可以證明，2(n)的概率密度為 其中()稱為伽馬函數(shù).,2分布概率密度 圖6.1 2(n)分布的概率密度曲線 可以看出，隨著n的增大圖形

8、趨于“平緩”，其圖形下區(qū)域的 重心亦逐漸往右下移動,2分布具有下面性質(zhì)：,2. t分布 命題6.3.3 設(shè)X N( 0，1)，Y 2(n)，X與Y獨立，則稱隨機變 量 服從自由度為的t分布，又稱為學生氏分布 記為T t(n) 可以證明t(n)的概率密度為 圖6-2 t分布的概率密度曲線,可看出，隨著n的增大，t(n)的概率密度曲線與N(0，1)的概率密 度曲線越來越接近 可以證明t分布具有下面性質(zhì)： 即當n趨向無窮時,t(n)近似于標準正態(tài)分布N(0,1) 一般地，若 n 45，就可認為t(n)基本與N(0，1)相差無幾了另外，經(jīng)積分可知，若 X t(n), 則,圖6.3 F分布的概率密度曲線

9、 由F分布的定義 容易看出， 若F F(m，n)，則1/F F(n，m),在統(tǒng)計推斷（區(qū)間估計和假設(shè)檢驗）中，已知總體X的分布及某概率值，需要知道X小于等于哪個數(shù)的概率為，這個數(shù)稱為X的分位數(shù)，也就是， 設(shè)X(n)(為某種分布，n為有關(guān)自由度)， 01,稱滿足 的數(shù) 為分布(n)的分位數(shù)（或分位點）.,6.3.3 分位數(shù),由于四大分布的密度函數(shù)的積分計算較為復(fù)雜，求分位點相當于求分布函數(shù)的反函數(shù)更為復(fù)雜，求分位點一般采用查表的方法，這些表都是數(shù)值運算的結(jié)果.R軟件中有專門的函數(shù)qnorm()(求標準正態(tài)分布的分位點)、qt(,n)(求自由度為n的t分布的分位點)、qchisq(,n)（求自由度

10、為n的 2分布的分位點）和qf(,m,n)(求第一自由度為m、第二自由度為n的F分布的分位點).,標準正態(tài)分布的分位點用 表示.,面積=,標準正態(tài)分布還有雙側(cè)分位數(shù)的定義，即,2分布的分位點用 表示.,t分布的分位點用 表示.,t分布還有雙側(cè)分位數(shù)的定義，即,F分布的分位點用 表示.,在分位點表中對于標準正態(tài)分布、t分布和F分布只能查到0.5的分位數(shù)，需利用對稱性間接查0.5的分位數(shù)，對稱性指的是以下三個關(guān)系式，根據(jù)這三個分布的定義和特點很容易得到.,例6.3.1 查表或用R軟件求,6.3.4 正態(tài)總體的抽樣分布,一、單個正態(tài)總體的抽樣分布,推論6.3.1 設(shè)(X1,X2,Xn)是來自總體XN(,2)的樣本,則,證明：,且它們表示的隨機變量是相互獨立的,故,解：,所