1、我是一毛,我是二毛,我是三毛,我是誰？,我不是四毛！我是小明！,不完全歸納,猜：四毛！,完全歸納,？,解:,猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為,驗(yàn)證:同理得,啊,有完沒完啊?,正整數(shù)無數(shù)個(gè)!,（1）求出數(shù)列前4項(xiàng),你能得到什么猜想？,（2）你的猜想一定是正確的嗎？,下面我們看看下列的情景對我們解決本題證明有 什么啟示？,1、第一塊骨牌倒下,2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下,條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第K塊倒下，則相鄰的第K+1塊也倒下,請同學(xué)們思考所有的骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個(gè)條件,數(shù)學(xué)歸納法.,2.3數(shù)學(xué)歸納法,多米諾骨牌游戲與我們前面所提到的要解決的問題的

2、相似性。,多米諾骨牌游戲原理,（1）當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立,根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。,通項(xiàng)公式為 的證明方法,證明:,(1)當(dāng),猜想成立。,(2),那么,當(dāng),根據(jù)(1)和(2)，猜想對于任何 都成立。,見書P93,1.驗(yàn)證第一個(gè)命題成立(即nn0第一個(gè)命題對應(yīng)的n的值，如n01)； 2.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k1時(shí)命題也成立.,(歸納奠基）,數(shù)學(xué)歸納法:,關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：,由(1)、(2)知，對于一切nn0的自然數(shù)n都成立！,(歸納遞推）,注意:運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題,以上兩步缺一不可.,證明：,（

3、1）當(dāng)n=1時(shí)，,左邊=12=1,等式成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),即當(dāng)n=k+1等式也成立,根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何 都成立.,湊出目標(biāo),用到假設(shè),例1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明,見書P94例1,證明: (1) 當(dāng)n=1時(shí),左1，右121 n=1時(shí)，等式成立 (2) 假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2 那么，當(dāng)n=k+1時(shí) 左1+3+5+(2k1)2(k+1)-1 =k2+2k+1 =(k+1)2=右 即n=k+1時(shí)等式成立 由(1)、(2)可知等式對任何nN*都成立,遞推基礎(chǔ),遞推依據(jù),錯(cuò)誤！,錯(cuò)誤原因：沒有第一步n=1等式成立的證明

4、,例2. 試判斷下列用數(shù)學(xué)歸納法證明過程是否正確?,那么，當(dāng)n=k+1時(shí),即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立,可知等式對任何 都成立.,那么，當(dāng)n=k+1時(shí),證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=20=1, 右邊=21 1=1,等式成立,（2）假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即,即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立,根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何 都成立.,錯(cuò)誤原因：由證明n=k+1等式成立時(shí)沒有用到n=k命題成立的歸納假設(shè),錯(cuò)誤！,例3.已知數(shù)列 計(jì)算 ,根據(jù)計(jì)算的結(jié)果,猜想 的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想 ,見書P94例2（略）,小結(jié)：,一種方法：一種用來證明某些“與正整數(shù)n有關(guān)的命題”的方法 數(shù)學(xué)