1、投資風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題模型 朱婷婷 1107022015 數(shù)(2)班摘要:本論文根據(jù)投資公司的”總體收益盡可能大,總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小”的投資選擇和資金分配的原則,構(gòu)建了多個(gè)不同的投資風(fēng)險(xiǎn)與收益問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,并通過(guò)直接求解和利用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件求解,分別得到了不同的投資與收益問(wèn)題模型的結(jié)果,來(lái)確定投資方向.關(guān)鍵詞:投資風(fēng)險(xiǎn)與收益;數(shù)學(xué)建模:雙目標(biāo)優(yōu)化;單目標(biāo)優(yōu)化;多重優(yōu)化;目標(biāo)關(guān)聯(lián)函數(shù).1 問(wèn)題提出某投資公司有一定數(shù)量的資金進(jìn)行投資,現(xiàn)在投資方向可供選擇.投資選擇和資金分配的原則為:總體收益盡可能大,總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小.已知:投資收益率,其中為投資的收益, 為投資風(fēng)險(xiǎn);投資風(fēng)險(xiǎn)率,其中為投資的風(fēng)險(xiǎn);定義投資總體

2、風(fēng)險(xiǎn).表1 投資方向風(fēng)險(xiǎn)與收益投資方SiS1S2S3S4S5S6S7S8收益率0.20.30.30.40.40.50.60.6風(fēng)險(xiǎn)率0.30.30.40.40.50.50.50.6試建立投資風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,并根據(jù)上列數(shù)據(jù)計(jì)算選擇投資方向.2 合理假設(shè)2.1 在投資期間內(nèi)市場(chǎng)發(fā)展基本上是穩(wěn)定的;2.2 投資期間社會(huì)政策無(wú)較大變化;2.3 公司的經(jīng)濟(jì)發(fā)展對(duì)投資無(wú)較大影響;2.4 外界因素對(duì)投資的資產(chǎn)無(wú)較大影響;2.5 變量限定:投資方向; :每個(gè)投資方向的投資資金; :每個(gè)投資方向的投資的收益率;:每個(gè)投資方向投資的收益;:每個(gè)投資方向的投資的風(fēng)險(xiǎn)率;:每個(gè)投資方向投資的風(fēng)險(xiǎn);:投資總收益;:

3、投資總體風(fēng)險(xiǎn);:權(quán)重系數(shù).3 模型構(gòu)建3.1 建模準(zhǔn)備設(shè)總體收益函數(shù) -(1)總體風(fēng)險(xiǎn)函數(shù) -(2)設(shè)總體投資資金為1個(gè)單位,投資的投資資金為個(gè)單位，則有: -(3) 3.2 建立雙目標(biāo)最優(yōu)化模型根據(jù)題意,以”總體收益函數(shù)最大,總體風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)最小”為目標(biāo)函數(shù),建立雙目標(biāo)最優(yōu)化模型.雙目標(biāo)最優(yōu)化模型: -(4)3.3 建立單目標(biāo)優(yōu)化模型為了滿足不同投資者的需要,建立一個(gè)調(diào)和收益和風(fēng)險(xiǎn)矛盾的模型.為此,引入新的函數(shù),反應(yīng)”收益最大和風(fēng)險(xiǎn)最小”的目標(biāo),將此函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù),建立單目標(biāo)優(yōu)化模型.定義一個(gè)常用的線性函數(shù)作為新的目標(biāo)函數(shù),稱該函數(shù)為收益風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重函數(shù),形式如下: ,其中為權(quán)重系數(shù)它表示了投資者

4、對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)的重視程度, 越大越重視收益, 越小越重視風(fēng)險(xiǎn).所建立的線性優(yōu)化模型為: -(5)該模型可以根據(jù)投資者的不同類型,確定需要的投資方案.下面對(duì)投資者進(jìn)行簡(jiǎn)單的分類.注重收益忽略風(fēng)險(xiǎn)型:只注重收益,不考慮風(fēng)險(xiǎn),此時(shí), .收益風(fēng)險(xiǎn)注重均衡型：均衡注重收益和風(fēng)險(xiǎn),此時(shí), .注重風(fēng)險(xiǎn)忽略收益型:只注重風(fēng)險(xiǎn),不考慮收益,此時(shí), .當(dāng)然,還可以將投資者分為更多類型,以此來(lái)確定權(quán)重系數(shù).3.4 建立多重優(yōu)化模型在現(xiàn)實(shí)生活中,有的投資者首先重視的是收益,其次再是風(fēng)險(xiǎn);而有些投資者則首先重視的是風(fēng)險(xiǎn),其次再是收益.根據(jù)投資者的兩種特點(diǎn),可以分別建立兩種模型:”先優(yōu)化收益,再優(yōu)化風(fēng)險(xiǎn)”的重視收益二重優(yōu)化

5、模型和”先優(yōu)化風(fēng)險(xiǎn),再優(yōu)化收益”的重視風(fēng)險(xiǎn)二重優(yōu)化模型.3.4.1建立”先優(yōu)化收益,再優(yōu)化風(fēng)險(xiǎn)”重視收益二重優(yōu)化模型收益第一風(fēng)險(xiǎn)第二模型:第一重優(yōu)化 -(6)設(shè)解集為第二重優(yōu)化 -(7)3.4.2 建立”建立先優(yōu)化風(fēng)險(xiǎn),再優(yōu)化收益”重視風(fēng)險(xiǎn)二重優(yōu)化模型風(fēng)險(xiǎn)第一收益第二模型:第一重優(yōu)化 -(8)設(shè)解集為第二重優(yōu)化 -(9)3.5 建立目標(biāo)關(guān)聯(lián)函數(shù)模型3.5.1 建立收益關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)聯(lián)函數(shù)模型根據(jù)投資選擇方案的原則”在固定總體風(fēng)險(xiǎn)的前提下,選擇收益最大的投資方案” 投資選擇方案的原則,建立收益關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)聯(lián)函數(shù)模型,求出該函數(shù)每一點(diǎn)處的最佳投資方案.建立固定風(fēng)險(xiǎn)模型: -(10)3.5.2 建立風(fēng)

6、險(xiǎn)關(guān)于收益的關(guān)聯(lián)函數(shù)模型根據(jù)”在固定總體收益的前提下,選擇投資風(fēng)險(xiǎn)最小的投資方案”建立風(fēng)險(xiǎn)關(guān)于收益的關(guān)聯(lián)函數(shù)模型,求出該函數(shù)在每一點(diǎn)處的最佳投資方案.建立固定收益模型 -(11)4 模型求解4.1 對(duì)雙目標(biāo)最優(yōu)化模型求解顯然,該模型無(wú)最優(yōu)解.4.2 對(duì)單目標(biāo)優(yōu)化模型求解該模型是線性規(guī)劃模型,應(yīng)用Matlab軟件求解得：表2 不同權(quán)重系數(shù)下的模型解目標(biāo)函數(shù)值0000000.6000000100.05000000-0.34.3 對(duì)多重優(yōu)化模型求解4.3.1 對(duì)收益第一風(fēng)險(xiǎn)第二模型求解第一重優(yōu)化結(jié)果:,其中.第二重優(yōu)化結(jié)果:4.3.2 對(duì)風(fēng)險(xiǎn)第一收益第二模型求解第一重優(yōu)化結(jié)果: ,其中第二重優(yōu)化結(jié)果:4.4 對(duì)目標(biāo)關(guān)聯(lián)函數(shù)模型求解4.4.1 對(duì)固定風(fēng)險(xiǎn)模型求解該模型為線性規(guī)劃模型,可以直接求解或應(yīng)用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件求解.對(duì)于,求解得收益關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)的目標(biāo)關(guān)聯(lián)函數(shù)：在固定風(fēng)險(xiǎn)的條件下