1、課題學習,猜想,證明與拓廣,天馬行空官方博客： ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,挑戰(zhàn)“自我”,猜想,證明與拓廣,1.任意給定一個正方形,是否存在另一個正方形,它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍?,2.你準備怎么去做? 3.你有哪些解決方法?,天馬行空官方博客： ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,挑戰(zhàn)“自我”,解:設(shè)給定的正方形邊長為a,則其面積是a2.,猜想,證明與拓廣,若周長倍增,即邊長變?yōu)?a,則面積應(yīng)為4a2;,無論從哪個角度考慮,都說明不存在這樣的正方形.,天馬行空官方博客： ；QQ:1318241189；QQ群：17556

2、9632,挑戰(zhàn)“自我”,猜想,證明與拓廣,任意給定一個矩形,是否存在另一個矩形,它的周長和面積是已知矩形周長和面積的2倍?,老師提示: 矩形的形狀太多了我們可以先研究一個具體的矩形,比如長和寬分別為2和1,怎么樣?,挑戰(zhàn)“自我”,由特殊到一般,解:如果矩形的長和寬分別為2和1,那么其周長和面積分別為6和2.,所求矩形的周長和面積應(yīng)分別為12和4.,接下來該怎么做?你有何想法?,有兩種思路可供選擇: 先從周長是12出發(fā),看面積是否是4; 或先從面積是4出發(fā),看周長是否是12.,挑戰(zhàn)“自我”,(1)從周長是12出發(fā),看面積是否是4; 如果設(shè)所求矩形的長為x,那么它寬為6-x,其面積為x(6-x).

3、根據(jù)題意,得 x(6-x)=4. 即 x2-6x+4=0. 如果這個方程有解,則說明這樣的矩形存在. 解這個方程得:,猜想,證明與拓廣,結(jié)論:如果矩形的長和寬分別為2和1,那么存在另一個矩形,它的周長和面積是已知矩形周長和面積的2倍.,挑戰(zhàn)“自我”,(2)從面積是4出發(fā),看周長是否是12. 解:如果設(shè)所求矩形的長為x,那么寬為4/x,其周長為x+4/x).根據(jù)題意,得 x+4/x=6. 即 x2-6x+4=0. 顯然這個方程有解,由此說明這樣的矩形存在. 解這個方程得:,猜想,證明與拓廣,結(jié)論:如果矩形的長和寬分別為2和1,那么存在另一個矩形,它的周長和面積是已知矩形周長和面積的2倍.,挑戰(zhàn)“

4、自我”,由特殊到一般,如果已知矩形的長和寬分別為3和1,是否還有相同的結(jié)論? 如果已知矩形的長和寬分別為4和1,5和1,n和1呢? 更一般地,當已知矩形的長和寬分別為m和n時,是否仍然有相同的結(jié)論? 還等什么！用實際行動證明.,由特殊到一般,挑戰(zhàn)“自我”,分析:如果矩形的長和寬分別為m和n,那么其周長和面積分別為2(m+n)和mn,所求矩形的周長和面積應(yīng)分別為4(m+n)和2mn. 從周長是4(m+n)出發(fā),看面積是否是2mn; 解:如果設(shè)所求矩形的長為x,那么它寬為2(m+n)-x,其面積為x2(m+n)-x.根據(jù)題意,得 x2(m+n)-x=2mn. 即 x2-2(m+n)x+2mn=0.

5、 解這個方程得:,若從面積是2mn出發(fā),可得同樣的結(jié)論.,挑戰(zhàn)“自我”,結(jié)論:任意給定一個矩形,必然存在另一個矩形,它的周長和面積是已知矩形周長和面積的2倍.,猜想,證明與拓廣,老師期望: 同學們,把自己對上述探究過程中的方法和感受與同伴進行交流,這樣會使受益匪淺.,老師提示: 在探索結(jié)論:“任意給定一個矩形,必然存在另一個矩形,它的周長和面積是已知矩形周長和面積的2倍.”的過程中,我們經(jīng)歷了猜想,由特殊到一般的嘗試,證明,拓廣的全過程,從而得到了一般性的結(jié)論.,任意給定一個矩形,是否一定存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半? 你準備怎么去做?,猜想,證明與拓廣,挑戰(zhàn)“

6、自我”,小明認為,這個結(jié)論是正確的,理由是:既然任意給定一個矩形,必然存在另一個矩形,它的周長和面積是已知矩形周長和面積的2倍.也就是任何一個矩形 的周長和面積可以同時“加倍”,那么,原矩形自然滿足新矩形的“減半”要求,即原矩形的周長和面積分別是新矩形周長和面積的一半.,猜想,證明與拓廣,小明認為,這個結(jié)論是正確的,理由是:既然任意給定一個矩形,必然存在另一個矩形,它的周長和面積是已知矩形周長和面積的2倍.也就是任何一個矩形的周長和面積可以同時“加倍”,那么,原矩形自然滿足新矩形的“減半”要求,即原矩形的周長和面積分別是新矩形周長和面積的一半.,挑戰(zhàn)“自我”,如果矩形的長和寬分別仍為2和1,那

7、么是否存在一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半? 如果已知矩形的長和寬分別為3和1,是否還有相同的結(jié)論? 如果已知矩形的長和寬分別為4和1,5和1,n和1呢?,挑戰(zhàn)“自我”,由特殊到一般,解:如果矩形的長和寬分別為2和1,那么其周長和面積分別為6和2,所求矩形的周長和面積應(yīng)分別為3和1.設(shè)所求矩形的長為x,那么它寬為1.5-x,其面積為x(1.5-x).根據(jù)題意,得 x(1.5-x)=1. 即 2x2-3x+2=0. 如果這個方程有解,則說明這樣的矩形存在. 由b2-4ac=32-422=-70,知道這個方程沒有實數(shù)根.,挑戰(zhàn)“自我”,由特殊到一般,結(jié)論:如果矩形的長和寬分

8、別為2和1,那么不存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半.,解:當如果矩形的長和寬分別為3和1,4和1,5和1時.設(shè)所求矩形的長為x, 根據(jù)題意所得的方程均有沒有實數(shù)根解,則說明這樣的矩形不存在.,挑戰(zhàn)“自我”,結(jié)論:如果矩形的長和寬分別為2和1,3和1,4和1,5和1時.都不存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半.,由特殊到一般,挑戰(zhàn)“自我”,由特殊到一般,我們已經(jīng)知道:如果矩形的長和寬分別為2和1,3和1,4和1,5和1時.都不存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半.這個結(jié)論是否具有一般性? 如果這個結(jié)論不具有一般性,那么當

9、矩形的長和寬滿足什么條件時,才存在一個新的矩形,它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半?你能再找出這樣的一個例子嗎?,挑戰(zhàn)“自我”,由特殊到一般,解:如果矩形的長和寬分別為6和1,那么其周長和面積分別為14和6,所求矩形的周長和面積應(yīng)分別為7和3.設(shè)所求矩形的長為x,那么它寬為3.5-x,其面積為x(3.5-x).根據(jù)題意,得 x(3.5-x)=3. 即 2x2-7x+6=0. 由b2-4ac=72-426=10,知道這個方程有實數(shù)根:,結(jié)論:如果矩形的長和寬分別為6和1時.存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半.,挑戰(zhàn)“自我”,由特殊到一般,解:如果矩形的長和寬

10、分別為m和n,那么其周長和面積分別為2(m+n)和mn,所求矩形的周長和面積應(yīng)分別為m+n和mn/2.設(shè)所求矩形的長為x,那么它寬為(m+n)/2-x,其面積為x(m+n)/2-x.根據(jù)題意,得 x(m+n)/2-x=mn/2. 即 2x2-(m+n)x+mn=0. 由=b2-4ac=(m+n)2-42mn=m2+n2-6mn. 知道只有當m2+n26mn時,這個方程才有實數(shù)根:,結(jié)論:如果矩形的長和寬滿足m2+n26mn時.才存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半.,挑戰(zhàn)“自我”,神奇的反比例函數(shù),同學們,我們已經(jīng)知道用反比例函數(shù)可以解答世界數(shù)學難題:化圓為方,倍立方體.今天我們再來讀一讀P153反