1、質(zhì)量幾何和面積幾何,質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心、形心 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、慣性矩和慣性積 慣量主軸、主慣性矩,第一節(jié) 質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心,矢量式：,質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心,矢量式：,分量式：,質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心,積分式：,重心（在重力場(chǎng)中，用合力矩定理）,重心（積分式）,形心（均質(zhì)材料，質(zhì)量密度為常數(shù)）,積分式：,平面圖形的形心,積分式：,空間組合體的形心公式：,平面組合圖形的形心公式：,11,將此截面分割為兩個(gè)截面,例1：已知組合截面的尺寸，試求該組合體的形心。,解：取對(duì)稱(chēng)軸故 xC = 0,分割法：將物體分割成有規(guī)律的幾個(gè)物體，,C,例2：圖示槽鋼橫截面，試求此截面形心的位置。,A1=3010=300cm2, x1=15cm；

2、,解：取對(duì)稱(chēng)軸故yc=0，再分割成有規(guī)律 的幾個(gè)物體：,A2=2010=200cm2, x2=5cm；,A3=3010=300cm2, x3=15cm；,例3：用負(fù)面積法求上題槽鋼橫截面形心的位置。,解：若將截面分割成二塊有規(guī)律的矩形 物體，A1是正面積，A2是負(fù)面積， 代入公式結(jié)果同前。,A1,A2,A1=3040=1200cm2, x1 =15 cm,A2= -2020 = - 400cm2, x2 = 20 cm；,負(fù)面積法,例4：圖示均質(zhì)扇形薄板，試求形心的位置。,解：取對(duì)稱(chēng)軸故 yc = 0,當(dāng)：=/2， 則: xc=(4r/3),積分法,圖示為任意板塊物體，試用試驗(yàn)法求板塊重心的位

3、置。,1）先在物體A點(diǎn)懸掛作垂直線； 2）再在物體B點(diǎn)懸掛作垂直線； 3）二根垂直線交點(diǎn)C是重心的位置。,懸掛法,確定重心的實(shí)驗(yàn)法：,1、 懸掛法,16,2、稱(chēng)重法,第二節(jié) 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,定義：,第二節(jié) 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,1、剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 定義：剛體內(nèi)每一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其至軸x的距離二次方的乘積的總和,也可寫(xiě)成：,m為剛體的總質(zhì)量， 稱(chēng)為剛體對(duì)軸x的回轉(zhuǎn)半徑。回轉(zhuǎn)半徑是將整個(gè)剛體的質(zhì)量等效地集中在離軸x的 的點(diǎn)上。,定義：剛體內(nèi)每一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其至軸O的距離二次方的乘積的總和,2、剛體對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,剛體正交三軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：,3、剛體對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系,因?yàn)?剛體對(duì)點(diǎn)

4、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系,則有：,對(duì)于不計(jì)厚度的平面剛體，若選剛體平面為Oxy平面，顯然 則有,設(shè)在質(zhì)心C上建立與Oxyz平行的坐標(biāo)系，質(zhì)心C在Oxyz中的坐標(biāo)為 則任一質(zhì)點(diǎn)的x，y坐標(biāo)為：,4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理,剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于其對(duì)過(guò)質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。 由此可見(jiàn)，物體對(duì)通過(guò)自身質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為最小。,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理：,則,其中,若剛體為平面剛片且是均質(zhì)的（物體的密度為常量），則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只與物體的形狀有關(guān)，抽去物體的密度常數(shù)，即,5、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與慣性矩的關(guān)系,其中,（ 為物體的密度）,（慣性矩）,定義：,1）量綱：m

5、4 或 mm4。,z,y,o,2）慣性矩是對(duì)軸而言（軸慣性矩）。,3）慣性矩的取值恒為正值。,4）極慣性矩：,（對(duì)o點(diǎn)而言）,（圖形對(duì)z軸的慣性矩）,（圖形對(duì)y軸的慣性矩）,6、慣性矩（面積的二次矩）,慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：,圖形對(duì)任一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)系的慣性矩之和恒等于此圖形對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。,矩形平面慣性矩的計(jì)算：,圓形平面慣性矩的計(jì)算：,實(shí)心圓（直徑D）,空心圓（外徑D，內(nèi)徑d）,c,慣性矩的平行移軸公式：,例：試求圖示直徑為d 的半圓對(duì)其自身形心軸 xc 的慣性矩。,解：,1、求形心坐標(biāo),2、求對(duì)形心軸 xc 的慣性矩,由平行移軸公式得：,例：試求圖示直徑為d 的半圓對(duì)其自身形

6、心軸的慣性矩。,例：試求圖a 所示截面對(duì)于對(duì)稱(chēng)軸 x 的慣性矩。,解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。,1、矩形對(duì) x 軸的慣性矩：,2、一個(gè)半圓對(duì)其自身形心軸 xc 軸的慣性矩（見(jiàn)上例）,3、一個(gè)半圓對(duì) x 的慣性矩,由平行移軸公式得：,4、整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱(chēng)軸 x 的慣性矩：,例：試求圖a 所示截面對(duì)于對(duì)稱(chēng)軸 x 的慣性矩。,第三節(jié) 剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,在剛體內(nèi)任選一點(diǎn)O為原點(diǎn)作固連于剛體的坐標(biāo)系Oxyz，過(guò)點(diǎn)O作任一直線OL，它與坐標(biāo)軸x，y，z的夾角為 。則根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式，剛體對(duì)軸OL的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：,1、剛體對(duì)任意軸OL的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,剛體對(duì)任意軸OL的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,上式中Jxy、Jyz、Jzx分別稱(chēng)為剛體對(duì)于軸x和y、對(duì)軸y和z、對(duì)軸z和x的離心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。抽去物體的密度常數(shù)，即為物體形狀的慣性積。,2、離心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（慣性積）：,3、主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（主慣性矩）：,如果適當(dāng)選取坐標(biāo)軸Oxyz的方位，使上式中的Jxy=0、Jyz=0、Jzx