1、第四章 隨機變量的數(shù)字特征,何謂隨機變量的數(shù)字特征？,通常是指與隨機變量有關(guān)的，雖然不能完整地 刻劃隨機變量，但卻能較為集中地反映隨機變量某 些方面的重要特征的一些數(shù)值.,1. 數(shù)學期望的概念及性質(zhì),2. 方差的概念及性質(zhì),3. 常見分布的數(shù)字特征,4. 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì),下頁,一、離散型隨機變量的數(shù)學期望,引例有甲、乙兩射手各射擊100次，他們的射擊技術(shù)用 下表給出：,4.1 數(shù)學期望,問誰的射擊水平高？,解：“射擊水平”一般用平均擊中環(huán)數(shù)來反映. 所以，只要 對他們的平均擊中環(huán)數(shù)進行比較即可.,下頁,顯然，甲射手的水平較高.,下頁,問誰的射擊水平高？,解：“射擊水平”一般用平均

2、擊中環(huán)數(shù)來反映. 所以，只要 對他們的平均擊中環(huán)數(shù)進行比較即可.,下面再對“平均擊中環(huán)數(shù)”的計算過程進行分析.,顯然, “平均擊中環(huán)數(shù)”, 是各種環(huán)數(shù)以頻率為權(quán)的加權(quán)平均.,下頁,定義 設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為,PX = xk = pk ， k =1,2,3，,若級數(shù),絕對收斂，,則稱級數(shù),為 X 的數(shù)學期望(或均值)，,記作E(X) .,下頁,顯然, “平均擊中環(huán)數(shù)”, 是各種環(huán)數(shù)以頻率為權(quán)的加權(quán)平均.,數(shù)學期望的概念,即,例1.設(shè)離散型隨機變量X,Y的分布如下表，求E(X) , E(Y).,此例說明了數(shù)學期望更完整地刻化了X的均值狀態(tài).,下頁,解：因為X的分布為,所以，E(Y) =0

3、0.7+10.2+20.1=0.4 .,所以，E(X) =00.1+10.2+20.7=1.6；,同理，因為Y的分布為,切記不要以為：數(shù)學期望 （均值）就是隨機變量所 有可能取值之和，除以隨 機變量取值個數(shù)！,例 2. 按規(guī)定，某公交車每天8點至9點和9點至10點都恰 有一輛到站，各車到站的時刻是隨機的，且各車到站的時間 是相互獨立的，其規(guī)律為,下頁,E(X)=100.2+300.5+500.3=32(分鐘)., 某乘客8:00到站，求他候車時間的數(shù)學期望； 某乘客 8:20到站，求他候車時間的數(shù)學期望,解：設(shè)乘客候車時間為X(單位：分鐘)，依題意知, X的分布律為,例 2. 按規(guī)定，某公交車

4、每天8點至9點和9點至10點都恰 有一輛到站，各車到站的時刻是隨機的，且各車到站的時間 是相互獨立的，其規(guī)律為,下頁,E(X)=100.5+300.3+ +900.20.3=28.4(分鐘)., 某乘客8:00到站，求他候車時間的數(shù)學期望； 某乘客 8:20到站，求他候車時間的數(shù)學期望,解：設(shè)乘客候車時間為X(單位：分鐘)，依題意知, X的分布律為,事件X=70的意思是指，“第一輛車沒坐上，但坐上了 9:30到達的第二輛車”事件，所以，PX=70=0.20.5 .,例3. 如何確定投資決策方向?,某人有10萬元現(xiàn)金，想投資于某項目， 預估成功的機會為 30%，可得利潤8萬元 ， 失敗的機會為7

5、0%，將損失 2 萬元若存入 銀行，同期間的利率為5% ，問是否作此項 投資?,解:設(shè) X 為投資利潤，則,存入銀行的利息為,故應選擇投資.,常見分布的期望, 0-1分布 概率分布為:,E(X)= 1 p + 0 (1-p) = p ., 二項分布 設(shè)隨機變量XB(n,p),其概率分布為,下頁, 泊松分布 設(shè)隨機變量XP(l)，其概率分布為,，k = 0,1,2,3,l0,下頁,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,定義 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，如果積分,絕對收斂，則稱積分值為X的數(shù)學期望(或均值). 記作E(X) .,下頁,數(shù)學期望的概念,即,例4設(shè)隨機變量X的概率密度為,求X的數(shù)學

6、期望,解：,= 0 .,因為，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于0.,下頁, 均勻分布 設(shè)X Ua,b 概率密度為,常見分布的期望, 指數(shù)分布 設(shè)X E(l) 概率密度為,下頁,下頁, 正態(tài)分布 設(shè)XN(,2 )概率密度為,三、 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,1.如果X為離散型隨機變量，其概率分布為 P X=xk = Pk, k =1,2,3,絕對收斂，,E(Y)= E g(X) ,且級數(shù),則Y= g(X) 的數(shù)學期望為,下頁,解: E(Y)=g(-1)*0.3+ g(0)*0.1+ g(1)*0.2+ g(2)*0.15+ g(5)*0.25 = 1*0.3+ 0*0.1+ 1*0.2+ 4*0.15+

7、 25*0.25 = 7.35,1*0.3,1*0.2,例5. 已知X的概率分布為 X -1 0 1 2 5 P 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25令Y=X 2 ，求E(Y).,2. 如果X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為 f(x)，且積分,絕對收斂，,例6已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度,下頁,試求Y=|X|的數(shù)學期望.,解：,則Y= g(X) 的數(shù)學期望為,3. 如果(X,Y)為離散型隨機向量，其聯(lián)合概率分布為 P X=xi Y=yj = pij i , j =1,2,3,則Z=g (X,Y)的數(shù)學期望為,下頁,例7. 設(shè)二維離散型隨機向量(X,Y)的概率分布如下表所 示,求Z=X 2

8、+Y的數(shù)學期望.,= z11p11 +z12p12 +z21p21 +z22p22 = g(3,1)1/8+ g(3,2)1/4+ g(4,1)1/2+ g(4,2)1/8 = 101/8 +111/4 +171/2 +181/8 .,解: E(Z),特別,下頁,例8設(shè)二維隨機向量(X,Y)的概率密度為,試求: E(XY)，E(X).,解:,4. 如果(X,Y)為連續(xù)型隨機向量，其聯(lián)合概率密度為f(x,y), 則Z=g (X,Y)的數(shù)學期望為,例9. 設(shè)國際市場上每年對我國某種出口農(nóng)產(chǎn)品的需求量X (單位：t )是隨機變量, 它服從1200, 3000上的均勻分布. 若售 出這種農(nóng)產(chǎn)品1t,

9、可賺2萬元, 若銷售不出去, 則每噸需付倉庫保 管費1萬元，問每年應準備多少噸產(chǎn)品才可得到最大利潤?,解: 依題意知，X的密度為,平均利潤為,下頁,設(shè)每年準備該種商品a噸, 年利潤為Y ，則利潤為,當a= 2400時, E(Y) 取到最大 值, 故每年準備此種商品2400 t， 可使平均利潤達到最大,性質(zhì)2 E(CX)= C E(X) (C為常數(shù)),性質(zhì)3 E(X+Y)= E(X)+E(Y),性質(zhì)4 設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機變量，則有 E(XY)= E(X)E(Y),推廣, E(X1+X2+Xn)= E(X1)+E(X2)+E(Xn)., 若X1，X2，Xn相互獨立， 則 E( X1 X2 Xn)= E(X1) E(X2) E(Xn)., E(C1X1+C2X2+CnXn)= C1E(X1)+C2E(X2)+ + CnE(Xn).,特別 E(E(X)= E(X).,下頁,四、數(shù)學期望的性質(zhì),性質(zhì)1 E(C)= C (C為常數(shù)),練習題：1.已知X的分布律，求E(2X 3+5),2. 若XN(0,1)，