1、理論力學 B,北京理工大學宇航學院力學系 韓斌,( 12-1-d9b),28/II,2,9.1 質點系的動量和動量矩,(1)質點的動量,質點系(剛體,剛體系)的動量,3,(2)質點和質點系對固定點(軸)的動量矩 (類比力之矩),平面運動質點對平面內某固定點O或某固定Oz軸的動量矩,4,平面運動質點系對平面內某固定點O或某固定Oz軸的動量矩,(9-10),5,質點系對某點的動量矩 不等于質點系動量對該點之矩！,即,例如：無重桿焊接兩個質量相同的小球,(),質點系對某點的動量矩 等于各質點動量對該點動量矩的矢量和！,6,(3) 質點系對動點A的動量矩,建立鉸接于動點A的鉸接平移動系 ，,7,故質點

2、系對不同的A,O兩點的動量矩之關系為：,(4)質點系對不同兩點A, O的動量矩之關系,可類比于力系對不同兩點的主矩之間的關系，,上式中的A,O兩點可以是任意的動點或固定點,(上式中的A點可為系統(tǒng)中任意的固定點或動點，而C點為系統(tǒng)的質心，此式在9.7節(jié)碰撞問題中常用),為方便計算,常取O為系統(tǒng)質心C, 即:,(9-16),8,4. 剛體的動量矩計算(必須掌握的計算方法）,（1）平移剛體的動量矩,對平移剛體建立質心鉸接平移坐標系,此時各質點相對速度 ,故平移剛體對其質心的動量矩：,若計算平移剛體對任意點A的動量矩：,平移剛體對任意點A的動量矩等于將平移剛體的質量視為全部集中在質心C上時動量對點A的

3、動量矩(即平移剛體相當于一個質點)。,當剛體作平面平移運動時，對該平面內任一點的動量矩可視為代數量 。,利用,9,(2)定軸轉動剛體的動量矩,定軸轉動剛體對轉軸上任意定點O的動量矩為：,(9-19),10,(9-19),由上式可知，定軸轉動的任意形狀剛體對轉軸上任意定點的動量矩矢量一般不沿轉軸的方向。,作為特例，當轉軸 z 軸為剛體的慣量主軸時，才有：,此時動量矩矢量才沿轉軸方向!,此時也可用代數量表示：,例如，剛體作定軸轉動，轉軸垂直于剛體的質量對稱面時。,11,當轉軸 z 軸為剛體的慣量主軸時有：,此時也可用代數量表示：,例如，剛體作定軸轉動，轉軸垂直于剛體的質量對稱面時。,若求定軸轉動剛

4、體對任意點A(固定點或動點)的動量矩,可先求對轉軸上點O的動量矩,再用兩點動量矩關系：,12,(3) 一般平面運動剛體的動量矩,建立慣性參考系中定系Oxyz和質心鉸接平移坐標系 ，,(9-21),使三對坐標軸分別平行,且使 ， 軸垂直于剛體的運動平面xy平面,則一般平面運動剛體相對質心平移坐標系的相對運動為繞 軸的定軸轉動：,若一般平面運動剛體的運動平面為其質量對稱面，則 軸為剛體對質心的慣量主軸，即 ，則有：,(9-22),為剛體對中心慣量主軸 的轉動慣量,13,一般平面運動剛體對空間中任意點A(固定點或動點)的動量矩：,(9-24),利用兩點動量矩關系計算：,14,例 題 9-3,一質量為

5、 ，長度為 的均質細桿OA在力偶矩為 的主動力偶的作用下可繞水平軸O作定軸轉動，一質量為 ，半徑為 的均質圓盤C在桿上相對于桿作純滾動，試以圖示 ，為廣義坐標，寫出系統(tǒng)在任意瞬時的動能,動量和對O點的動量矩。,9 動量原理,15,解：,OA桿：定軸轉動，C輪：一般平面運動,OA桿,C輪,關鍵是求輪C質心絕對速度和輪C絕對角速度。,1.系統(tǒng)的動能,例 題 9-3,9 動量原理,16,動系與桿OA固連，輪為研究對象。,輪C相對角速度、牽連角速度分別為,輪C絕對角速度為,(),例 題 9-3,9 動量原理,又：輪上的P點與桿上的P點速度相同,17,系統(tǒng)的總動能為,此題最容易犯的一個錯誤是將輪 C的絕

6、對角速度誤認為是,（ =輪C相對于桿的角速度）,例 題 9-3,18,例 題 9-3,9 動量原理,2.系統(tǒng)的動量,桿質心B的速度,(方向垂直于OA),圓輪質心C的速度,19,3.系統(tǒng)對O點的動量矩,桿對O點的動量矩：,(),圓輪對O點的動量矩：,(),(),(),20,圓盤O半徑為r，質量m，以角速度 轉動，均質桿AB,BD的質量均為m，長均為2r，滑塊B ,D質量均為m，分別在水平和鉛垂滑道內運動，A,B,D處為鉸接，某瞬時桿AB水平,桿BD與鉛垂方向夾角為30 ,求此瞬時系統(tǒng)的動能,動量，以及系統(tǒng)對O點的動量矩。,例 題 9-4,9 動量原理,21,解：,圓盤定軸轉動，兩滑塊平移，桿BD

7、一般平面運動，,桿AB此時刻為瞬時平移,2.系統(tǒng)此時動能：,(),例 題 9-4,9 動量原理,1.速度分析：,22,圓盤定軸轉動，兩滑塊平移，桿BD一般平面運動，,桿AB此時刻為瞬時平移,3.系統(tǒng)該時刻的動量：,例 題 9-4,9 動量原理,23,圓盤定軸轉動，兩滑塊平移，桿BD一般平面運動，,桿AB此時刻為瞬時平移,例 題 9-4,9 動量原理,4.系統(tǒng)該瞬時對定點O的動量矩：,(),(),24,9.2 質點系的動量定理和動量守恒定律,動量定理：系統(tǒng)的動量變化與外力的沖量之關系,力的元沖量：,1.力系的沖量,沖量度量力在一段時間域內的積累效果,將 定義為力 在時間間隔 內的沖量 ,即：,多個力作用下的沖量:,（比較: 功度量力在空間位移上的積累效果）,功造成系統(tǒng)動能的變化,25,（1）力系的沖量就等于力系的主矢在同一時間間隔內的沖量。,（2）由于內力系和力偶系的主矢均為零，故這兩種力系的沖量均為零。,沖量的特點：,內力或力偶不改變物體系統(tǒng)的總動量,26,27,已知質點系中質點 ，其質量為 ，速度為 ，,3.質點系動量定理,作用于質點系中質點