1、4.2 齊次線性方程組,1.齊次線性方程組解的性質(zhì) 2.齊次線性方程組的非零解,則方程組可寫成矩陣形式: AX=0,一、齊次線性方程組,齊次線性方程組,若令,則齊次線性方程組也可寫成向量形式: x11+x22+xnn=0,那么齊次線性方程組在什么條件下有非零解?當(dāng)方程組有非零解時(shí),如何求出其所有的解?,顯然X=(0,0,0)T是AX=0的解,稱為零解.,若令 , j=1,2,n,即向量組1,2,n為齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的列向量組,定理: 齊次線性方程組AX=0只有零解R(A)=n 齊次線性方程組AX=0有非零解R(A)n,如果AX=0只有零解,從而1,2,n線性無(wú)關(guān),如果AX=0有非零解,

2、那么R(A)n,反之亦然,證,即x11+x22+xnn=0只有系數(shù)全為零時(shí)成立,那么R(A)=n,則向量組1,2,n線性相關(guān),二、齊次線性方程組解的性質(zhì),(2)齊次線性方程組總是有解的,(3)用S表示齊次線性方程組的全體解向量所組成的集合,則S非空. (總含有零解).,性質(zhì)1 若X=1和X=2均為AX=0的解,則X=1+2也是AX=0的解,性質(zhì)2 若X=是AX=0的解,k為實(shí)數(shù),則X=k也是AX=0的解,A(1+2),=A1+A2,=0+0=0,A(k),=k(A),=k0=0,(1)齊次線性方程組的解集合是向量空間,稱為解空間.,注:,(2)若1,2,k是AX=0的解,則它們的線性組合X=1

3、1+22+kk均是AX=0的解.,故,只要齊次線性方程組有非零解,那么就有無(wú)窮多個(gè)解,而且這個(gè)解集合S是一個(gè)維數(shù)大于0的向量空間.,問(wèn)題: 解空間的維數(shù)是多少?能否找到一個(gè)基?怎樣找?,定義 設(shè)1,2,k是齊次線性方程組AX=0的一組解向量,如果滿足: (1)1,2,k線性無(wú)關(guān); (2)方程組AX=0的任一解向量都可由1,2,k線性表示. 則稱向量組1,2,k是齊次線性方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.,三、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,實(shí)際上,1,2,k是AX=0的解空間S的一個(gè)基,注: 解齊次線性方程組的關(guān)鍵即求其基礎(chǔ)解系,進(jìn)而求出通解.,若齊次線性方程組AX=0只有零解,則它沒(méi)有基礎(chǔ)解系,如果1

4、,2,k是齊次線性方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則對(duì)任意常數(shù)1,2,k, 11+22+kk也是AX=0的解,稱這種形式的解為AX=0的通解.,定理 設(shè)n元齊次方程組AX=0的系數(shù)矩陣的秩R(A)=r,則齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系含有nr個(gè)向量.,證,第一步:將系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形：,第二步:寫出與A對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的同解方程組:,(*),第三步:自由變量取值:,令 分別取以下nr組數(shù)值:,代入同解方程組(*)依次得:,則1,2,nr是方程組的一個(gè)解,第四步:整理得出齊次線性方程組的一組解向量:,其次,設(shè) 為方程組的任一個(gè)解,構(gòu)造向量=cr+11+cr+22+cnnr,其中di=cr+1bi1+cr+2bi2+cnbi,nr (i=1,2,r),所以,當(dāng)?shù)忍?hào)右邊的自由未知數(shù)賦值時(shí),方程組有唯一解.,因而c1= d1, c2= d2, cr= dr,則=,而,所以=cr+11+cr+22+cnnr,即方程組的任一解可由1,2,nr線性表示.,綜上,1,2,nr為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.,說(shuō)明:,2.方程組的基礎(chǔ)解系又稱為解空間的基,3.若1,2,nr是AX=0的基礎(chǔ)解系,則其通解為X=k11+k22+knrnr (k1,k2,knr是任意常數(shù)),1.由于基礎(chǔ)解系是解集的最大無(wú)關(guān)組,所以AX=0的基礎(chǔ)解系不唯一,即證明了當(dāng)R(A)=rn時(shí)齊次