1、第七章,數(shù)值積分與微 分（下）,6 高斯型求積公式,在NewtonCotes公式,中，取xi為等距節(jié)點(diǎn)， 使得C i(n)的計算容易， 也使整個NC公式簡 便，我們由此得到的 逐次等分區(qū)間的變步長方法、 Romberg方法、 均建立在等距節(jié)點(diǎn)基礎(chǔ)上，是非常方便的。,但 xi 限定為等距節(jié)點(diǎn)， 卻可能使其代數(shù)精度受到 限制（且在對區(qū)間a,b劃分 時，也可能不等分）：幾何上非常直觀：如圖7-3,（緊接下屏）,6.1 一般理論,一般理論(續(xù)1）,對 ，其幾何意義是曲邊梯形aABb的 面積，若以梯形公式計算I ( f )(b-a)f(a)+f(b)/2,即以a,b為節(jié)點(diǎn)(n=1)，用直線AB近似曲線。

2、也即以梯形 aABb的面積近似替代曲邊梯形面積。,一般理論(續(xù)2）,由于假定是等距節(jié)點(diǎn)，因此n=1只能以a,b為插值節(jié)點(diǎn)，若不限定為等距節(jié)點(diǎn)，即可選擇兩個節(jié)點(diǎn)，如以x1,x2為節(jié)點(diǎn)，做直線AB近似曲線,也即以梯形面積aABb近似曲邊梯形面積，更準(zhǔn)確一些，這表明：我們可選擇合適的節(jié)點(diǎn)（不限定為等距節(jié)點(diǎn)）有可能進(jìn)一步提高求積公式的代數(shù)精度。,我們已知NC公式是由n+1個點(diǎn)構(gòu)造一個小于等于n次的插值多項(xiàng)式Ln(x)逼近f (x)，所以插值型求積公式 ：,（緊接下屏）,的代數(shù)精度不會低于n次，即對 f (x)=1,x,x2,xn準(zhǔn)確成立。,（這一點(diǎn)在誤差估計式中f（ n+1）( ) = 0，因此誤差為

3、0非常清楚）亦即插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n次，即代數(shù)精度最低為n次，那么最高能達(dá)到多少次代數(shù)精度呢？,一般理論（續(xù)3）,若只取n個點(diǎn)， N-C公式為：,則最低次代數(shù)精度為n1次，最高為多少次？若在上述公式中，限定xi為等距節(jié)點(diǎn)，則只有Ai可選擇，為確定Ai(i=1,2,n)，按待定系數(shù)法，可設(shè)上述公式對f(x)=1,x,x2,xn-1成立構(gòu)成n個方程的線性方程式求解出A1, A2,An 。,的代數(shù)精度不會超過2n1次。,假如xi也可選擇，則在上述公式中，有xi , Ai (i=1,2,n)共 2n個參數(shù)待定，按待定系數(shù)法可設(shè)上述公式對f (x)=1,x,x2, ,xn-1, xn, xn

4、+1, ,x2n-1成立構(gòu)成2n個方程的非線性方程 組可確定x1, x2, xn及A1, A2, An。,這表明插值型求積公式：,證明插值型求積公式的代數(shù)精度最高不超過2n1次,與上式結(jié)果相矛盾，所以最高次代數(shù)精度m2n1。,上述推導(dǎo)和證明表明：可適當(dāng)選擇節(jié)點(diǎn)和系數(shù)，使求積公 式代數(shù)精度達(dá)到最高次。,下面可證明上述插值型求積公式的代數(shù)精度最高不超過 2n1次。,證（反證法）： 假定最高代數(shù)精度m2n-1。 則對f ( x )為2n次多項(xiàng)式時，上述求積公式準(zhǔn)確成立：,一般理論舉例,例10,試確定x1, x2, A1, A2使其具有3次代數(shù)精度。 解：設(shè)對f ( x )=1, x, x2, x3準(zhǔn)

5、確成立，可得：,寫作 矩陣 為：,一般理論舉例（續(xù)1）,緊接下屏：,一般理論舉例（續(xù)2）,一般理論舉例（續(xù)3）,這里n=2,兩個點(diǎn) 代數(shù)精度能夠達(dá)到 3次,即2n1=3,為 Gauss型求積公式， 其幾何意義，如 圖7-4：以梯形 OAB1，近似曲 邊梯形OAB1，稱 x1,x2為Gauss點(diǎn)。,帶權(quán)函數(shù)的Gauss型求積公式,如果一組節(jié)點(diǎn)x1,x2,xu, a,b，能使求積公式：,定義7.2,具有2n1次代數(shù)精度，則稱這組點(diǎn)xk為Gauss點(diǎn)，此公 式稱為帶權(quán)函數(shù)( x)的Gauss型求積公式。,顯然，我們可按上述例題方法，求解非線性方程組，確定出Ak, xk這2n個參數(shù)(k =1,2,n)

6、（設(shè)對f (x)=1,x,x2n-1成立），可使求積公式達(dá)到最高代數(shù)精度2n1次，即求積公式為Gauss型,但，我們看到：一般求解非線性方程組很困難，所以通常還需尋求別的方法: 一般方法是利用正交多項(xiàng)式求出Gauss點(diǎn)與相應(yīng)的求積系數(shù)，即選取正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)為Gauss點(diǎn)。 下例說明Gauss點(diǎn)與正交多項(xiàng)式的關(guān)系：,舉例說明Gauss點(diǎn)與正交多項(xiàng)式的關(guān)系,例11,解：可以同前面例10一樣求解 下面采用另外方法（為后面的推導(dǎo)作準(zhǔn)備).因?yàn)? 三次代數(shù)精度對任意三次多項(xiàng)式應(yīng)準(zhǔn)確成立, 所以 設(shè)f ( x )為任意三次多項(xiàng)式，可利用多項(xiàng)式除法，將f ( x )表示為：,用(xx1)(xx2)除f (

7、 x )、商為g( x )，余式為為r ( x )， 其中g(shù)( x )與r( x )不超過一次。,如f ( x )=4x3+2x2+3x+1，以x2+1去除f ( x ),例11（續(xù)1）,f ( x )：三次 ，除數(shù)：二次，商g ( x )與余式r ( x )為一次 這樣：,由于求積公式 ：,有兩個點(diǎn)，至少有一次代數(shù)精度，即對任意的一次多項(xiàng)式應(yīng)準(zhǔn)確成立。特別，對 r(x)=b0+b1x也成立，即對f (x) = r (x)成立。,例11（續(xù)2）,上式對任意的a0，a1均成立（即對任意的g ( x )成立），對特殊的g ( x )也成立。因此可取g ( x )=1，x，即取 ：,例11（續(xù)3）,

8、求解例11方法小結(jié),上述過程總結(jié)一下：,1. 對任意的三次多項(xiàng)式f ( x )，首先用多項(xiàng)式除法，將 f ( x )表為：,g ( x )與r ( x )為商和余，均為一次多項(xiàng)式 ；,2. 利用r ( x1 )=f ( x1 ), r ( x2 )=f ( x2 )，且求積公式有三次代 數(shù)精度對r ( x )準(zhǔn) 確成立，推導(dǎo)出x1, x2 應(yīng)滿足的關(guān)系式：,4. 然后在求積公式中取f ( x )為特殊多項(xiàng)式，連同上述已求 出的Gauss點(diǎn)一起代入求積公式，求出系數(shù)A1, A2。,3. 令g( x )為特殊多項(xiàng)式代入上式，可得方程組，求出 Gauss點(diǎn)x1,x2；,這是求解此問題的另一種方法（相

9、對前面介紹過的方法） ，同時指明Gauss點(diǎn)與正交多項(xiàng)式的關(guān)系（因?yàn)椋?-30）即為正交條件） 。,求Gauss點(diǎn)的一般方法,推廣到一般方法有：（求Gauss點(diǎn)）,對于一個2n1次多項(xiàng)式f（x） = P2 n1( x )，用n次多項(xiàng)式 n(x)=(xx1)(xxn)去除，設(shè)商為g ( x )，余為r ( x ) 則：f ( x )=P2n1( x ) =g ( x ) n( x )+r ( x ),同上面做法一 樣：由求積公 式對r ( x )準(zhǔn)確 成立 ：,此式對任意g ( x )n1次多項(xiàng)式成立，取g(x)=1,x,xn-1，代入可得n個方程可求解n個Gauss點(diǎn)。 由前面所知（7-31）

10、式即為正交條件（g ( x )與 n( x ) 帶權(quán)( x )正交 ）。,Gauss點(diǎn)的充要條件,由正交多項(xiàng)式的性質(zhì)可知，n次正交多項(xiàng)式gn(x)在間(a,b)內(nèi) 有n個不同的實(shí)零點(diǎn)xk(k=1,n),所以有：,其中an不為零，是gn(x)的最 高項(xiàng)（首項(xiàng)）系數(shù)。又因?yàn)椋?也是a,b上的n次正交多項(xiàng)式，,定理 7.4,推論： 在 a , b 上n次正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)即為Gauss點(diǎn)。,因此我們要求式（7-31）的Gauss點(diǎn)，就轉(zhuǎn)化為求在 a , b 上帶權(quán)( x )正交的n次正交多項(xiàng)式的n個實(shí)根xk (k = 1,2,n)。,由正交多項(xiàng)式的性質(zhì)知：,在區(qū)間a,b上與任意次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式p(

11、x)均正交，按定理7.4，n(x)的零點(diǎn)，亦即gn(x)的零點(diǎn)xk(k=1,2,n)即為Gauss點(diǎn)，于是有如下推論：,定理7.4（續(xù)1）,顯然pk ( x )為n1次多項(xiàng)式：,并且還可求出系數(shù)Ak: 可?。?定理7.4（續(xù)2）,定理7.4證明,必要性“”證：是Gauss點(diǎn)必有正交性（n次多項(xiàng)式 n( x ) 與n1次p( x )正交）。 設(shè)x1,x2,xn為Gauss點(diǎn)，那么有求積公式 ：,具有2n1次代數(shù)精度，設(shè)p (x) n1多項(xiàng)式，,因?yàn)?n( x )為n次多項(xiàng)式，所以p( x ) n( x )為小于等于2n1的多項(xiàng)式。 因此上述求積公式對f ( x ) = p ( x ) n( x

12、)應(yīng)準(zhǔn)確成立，即：,此即 n( x )與p( x )帶權(quán)( x )正交。,定理7.4證明（充分性）,充分性“”(正交可推出xk為Gauss點(diǎn))證： 設(shè)f ( x )為任意的2n1次多項(xiàng)式，以 n( x )去除f ( x ) 將f ( x )表為：f ( x )=g ( x ) n( x )+r ( x )，g ( x )與 r ( x )n1次多項(xiàng)式( n( x )為n次多項(xiàng)式)，且r (xk)=f(xk) (k=1,2,n) 取f(x)=1,x,xn-1代入求積公式應(yīng)準(zhǔn)確成立（至少應(yīng)有n1次代數(shù)精度，因?yàn)槿×薾個點(diǎn)）。 代入可得n個線性方程組 :,其系數(shù)矩陣為范德蒙引列式（Vandermon

13、de ）:,定理7.4證明（充分性）（續(xù)）,不為0，可得上述方程組有唯一解（求解系數(shù)）。 求積公式對任意n1次多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，特別對 r( x )n1次也是應(yīng)準(zhǔn)確成立（取f ( x )=r( x )） ：,這個結(jié)論表明，求積公式對f ( x )為2n1次準(zhǔn)確成立 具有2n1次代數(shù)精度xk為Gauss點(diǎn)。,實(shí)際上直接可證明此時取插值點(diǎn)為Gauss點(diǎn)(n個點(diǎn))作出的插值多項(xiàng)式近似被積函數(shù)得到求積公式為Gauss型求積公式，代數(shù)精度為2n1次，即誤差估計式對f(x)=1,x,x2n-1為零（準(zhǔn)確成立）。,6.2 Gauss型求積公式的誤差,定理7.5,設(shè)f ( x )在 a, b 上2n階連續(xù)可微，

14、權(quán)函數(shù) ( x )0，則帶權(quán) ( x )的Gauss型求積公式的余項(xiàng)為：,并且有： 1. n 時，Gauss型求積公式收斂于積分準(zhǔn)確值，但 對比較大n，Gauss公式形式復(fù)雜不多用； 2. Gauss型求積公式數(shù)值穩(wěn)定（含入誤差可控制）； 3. 所有Ak 0，Gauss型求積公式系數(shù)的非負(fù)性。,（證明略）,對于3 特別有證明：,求積公式系數(shù)Ak 0的證明：,6.3 幾種常用的Gauss型求積公式,對不同的權(quán)函數(shù)，利用上面的求系數(shù)Ak的公式，對不同的正交多項(xiàng)式，以其零點(diǎn)作插值節(jié)點(diǎn)xk，并計算出對應(yīng)的Ak，則可得不同的Gauss型求積公式。,GaussLegendre （勒讓德）求積公式,前面已介

15、紹過：定義在1, 1上，權(quán)函數(shù) ( x ) 1的正交多項(xiàng)式（首項(xiàng)系數(shù)不為1）：,按定理7.4， xk為Gauss點(diǎn) 的充要條件是：,即n(x)與pn(x)正交，,GaussLegendre（勒讓德）求積公式（續(xù)）,因此，可取n(x)=首次系數(shù)為1的Legendre多項(xiàng)式pn(x)， 因?yàn)椋?-32）微分的首項(xiàng)系數(shù)為：,那么，由pn(x)的正交性 ：,所以n個Gauss點(diǎn)xk可取作pn(x)的零點(diǎn)（這n個Gauss點(diǎn)是n(x)的零點(diǎn)，現(xiàn)n(x)取作首項(xiàng)為1的的pn(x) ，因此n(x)與pn(x)有相同零點(diǎn)）,（緊接下屏解釋）,n個Gauss點(diǎn)xk可取作pn(x)的零點(diǎn),求相應(yīng)的系數(shù)Ak,求相應(yīng)

16、的系數(shù)Ak：,要求此積分比較難， 下面轉(zhuǎn)而研究：,利用上面Ak非負(fù)性的推導(dǎo)結(jié)果，選取：,即此f ( x )亦為2n2次多項(xiàng)式，并為正交多項(xiàng)式，Sk為Gauus型積分，對f ( x )準(zhǔn)確成立，則有：,求相應(yīng)的系數(shù)Ak （續(xù)）,而 ：,下面證明上 式右端第二 式(積分)=0， 并利用Legender多項(xiàng)式pn(x)的性質(zhì)：,因此有：,而對于第二式積分：,因?yàn)閤k是pn(x)的零點(diǎn)所以pn(x)內(nèi)必含有因式xxk，亦即 ：,這表明在被 積函數(shù)中：,比pn(x)次數(shù)低，按pn(x) 的正交性，此積分應(yīng)為0。,求相應(yīng)的系數(shù)Ak（續(xù)1）,所以Gauus - Legender求積公式的系數(shù)為：,Ak還有其

17、它形式。,并且當(dāng)f ( x ) 1代入可得：,而余項(xiàng)：,因?yàn)椋?所以有：,求具體的零點(diǎn)(Gauss點(diǎn))及對應(yīng)的系數(shù),下面求具體的零點(diǎn)(Gauss點(diǎn))及對應(yīng)的系數(shù) ,由它們即可構(gòu)成 求積分的Gauus型公式:,三次代數(shù)精度,N=3的零點(diǎn)(Gauss點(diǎn))及對應(yīng)的系數(shù),截斷誤差隨n的增大， 越來越小 0，非常 精確， 更高階的 （n更大的） Gauus型求積公式不用。,代數(shù)精度為最高5次 (三個點(diǎn)最低為2次)。,從-1,1推廣到a,b,上面是在1 , 1上，對任意區(qū)間 a , b 可作變量代換：,點(diǎn)tk為n次Legender多項(xiàng)式pn ( t )的零點(diǎn)，Ak同前一樣。,表7-2,給出了部分Gauss

18、-Legendre求積公式的節(jié)點(diǎn)與 求積系數(shù)值，以便查用。,Gauss-Legendre求積公式計算舉例,例12,若用n=2的Gauss-Legendre求積公式計算，由表7-2， x1=-0.57735027， x2=0.57735027，A1,2=1，則 ：,（緊接下屏）,例12（續(xù)）,若用n=3的Gauss-Legendre求積公式，查表7-2得：,其誤差為：,Gauss-Legendre求積公式計算舉例（續(xù)）,如果用三點(diǎn)的Simpson公式求積分近似值，則有,I 的精確值為1。由例12結(jié)果可見，當(dāng)被積函數(shù)充 分光滑，在節(jié)點(diǎn)數(shù)相同時，Gauss型求積公式比 N-C公式的精度高。,2. 高

19、斯-切比雪夫（Gauss-Chebyshev）求積公式,Chebyshev多項(xiàng)式是1, 1 上關(guān)于權(quán)函數(shù):,的正交多 項(xiàng)式系，,其表達(dá)式為：,n次Chebysher多項(xiàng)式Tn(x)的零點(diǎn)為,以xk為節(jié)點(diǎn)，求積系數(shù)為：,的帶有 權(quán)函數(shù),的Gauss型 求積公式:,稱為Gauss-Chebyshev求積公式。其余項(xiàng)為：,3. 高斯-拉蓋爾（Gauss-Laguerre）求積公式,Laguerre多項(xiàng)式:,是區(qū)間0,+上關(guān)于權(quán)函數(shù) (x)= e - x的正交多項(xiàng)式系，以 n次Laguerre多項(xiàng)式的零點(diǎn)xk為Gauss點(diǎn)導(dǎo)出的Gauss型 求積公式:,稱為Gauss-Laguerre求積公式。求積系

20、數(shù)的計算公式為:,求積公式（7-38） 的截斷誤差為:,表7-3列出了部分Gauss-Laguerre求積公式的節(jié)點(diǎn)和求積系 數(shù)值，以供查用。,高斯-拉蓋爾（Gauss-Laguerre）求積公式(續(xù)),表7-3,利用Gauss-Laguerre求 積公式也可以求積分:,的近似值。,按式（7-41）即可計算其近似值。,則：,4. 高斯-埃爾米特（Gauss-Hermite）求積公式,求積公式,稱為Gauss-Hermite求積公式其中節(jié)點(diǎn)為n次Hermite多項(xiàng)式,的n個零點(diǎn)， 求積系數(shù)為：,因?yàn)镠ermite多項(xiàng)式是(,+)上以(x)=e2x為權(quán)函數(shù)的正 交多項(xiàng)式系，故公式（7-43）為Ga

21、uss型求積公式。其截 斷誤 差為：,部分Gauss-Hermite求積公式的節(jié)點(diǎn)與求積系數(shù)見表7-4,高斯-埃爾米特（Gauss-Hermite）求積公式（續(xù)）,表7-4,故只要對e x g(x)用Gauss- Hermite求積公式，即可計算,的近似值。,2,Gauss-Hermite求積公式計算積分舉例,例13,解,查表7-6得：,利用n=3的Gauss-Hermite 求積公式計算積分：,用Gauss型求積公式計算積分近似值的步驟,綜上所述，用Gauss型求積公式計算積分近似值的步驟為：,（1）把所求積分化成標(biāo)準(zhǔn)形式，即通過變換將積分區(qū)間化成1,1,0,+)或(,+)，根據(jù)被積函數(shù)形式

22、，確定用哪種求積公式； （2）選定n，查表得節(jié)點(diǎn)xk及求積系數(shù)Ak； （3）按求積公式計算積分近似值。,Gauss型求積公式不僅精度高，而且可以計算廣義積分，瑕積分亦可化成無窮積分求近似值。這是前幾節(jié)所介紹的N-C公式，Romberg方法等無法解決的。但用Gauss型求積公式很難根據(jù)事先給定的精度及誤差公式確定節(jié)點(diǎn)數(shù)n，并且當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)n增加時，節(jié)點(diǎn)xk與求積系數(shù)Ak都會改變 ，需重新查表按新公式計算，前面計算過的結(jié)果不能繼續(xù)使用，因而增加了計算量。,解非線性方程組例子,解非線性 方程組：,由第二個方程與 第四個方程可得 ：,相減可得：,由第一、第三兩 個方程可得：,再由x0=x1代入第一、第二兩

23、個方程可得：A0=A1=1,正交多項(xiàng)式求解例子,例如要確定兩點(diǎn)公式：,的Gauus點(diǎn)，按正交件：,xk (k=1,2,n)是Gauss點(diǎn)的充要 條件是 n(x)=(xx1).(xxn)與任意次數(shù)n-1次的多項(xiàng)式 正交：,7 數(shù)值微分,7.1 差商代替導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的定義：,中點(diǎn)法,第三種方法稱為中點(diǎn)法：,由圖（7-5）可見： BC的斜率的更接 近AT的斜率，所以中點(diǎn)法更精 確一些。,中點(diǎn)法的Taylor公式推導(dǎo),其實(shí)中點(diǎn)法還可由Taylor公式推出：,由上式減下式除以2h再移項(xiàng)可得：,差商代替微商的特點(diǎn)：將導(dǎo)數(shù)的計算歸結(jié)為f (x)在若 干點(diǎn)的函數(shù)值的計算。,中點(diǎn)法公式計算導(dǎo)數(shù)f (a),為利用

24、中 點(diǎn)公式：,計算導(dǎo)數(shù)f (a)的值：,首先必須選取合適的步長h，為此要分析誤差，通過考慮誤差情況，從而確定出合適的h。 將f (a h)在x = a處作Taylor展開：,由此可知，從截斷誤差的角度看，步長越小，計算結(jié) 果越準(zhǔn)確，即逼近的精度越高，但從計算的角度看，h越 小，三個公式的分子變成兩個很接近的數(shù)相減，如中點(diǎn)公 式，h很小時f (a + h)與f (ah)很接近，若相減則其計算 結(jié)果的有效數(shù)字將大大減少，因此，從舍入誤差的角度看 。步長不宜太小。,差商代替微商舉例,h逐漸減小，趨于0，此時，計算結(jié)果與,比較，h=0.1的逼近效果最好， h再縮小，并不會得到進(jìn)一步的 精確值，其效果反而越來越差。,當(dāng)然，對此例題我 們可作變換,這樣處理后，將減少有效數(shù)字的損失。,7.2 插值型的微分公式,對于給定的(xi,yi)(i=0,1,2,n)，通常的做法是建立插值 多項(xiàng)式Ln(x)，以Ln(x)近似f (x)，而以Ln(x)的的導(dǎo)數(shù)近似 f (x)的導(dǎo)數(shù)：,稱為插值型的微分公式。,插值型的微分公式（續(xù)1）,上述誤差估計式中，盡管有了一個估