1、2.8函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用,高考理數(shù),1.三種函數(shù)模型圖象與性質的比較,知識清單,2.解函數(shù)應用題的步驟(四步八字) (1)審題:弄清題意,分清條件和結論,理順數(shù)量關系,初步選擇數(shù)學模型; (2)建模:將自然語言轉化為數(shù)學語言,將文字語言轉化為符號語言,利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型; (3)求模:求解數(shù)學模型,得出數(shù)學結論; (4)還原:將用數(shù)學方法得到的結論還原為實際問題的意義. 以上過程用框圖表示如下:,【知識拓展】 對常見函數(shù)模型的理解 (1)直線模型:即一次函數(shù)模型y=kx+b(k0),其增長特點是直線上升(x的系數(shù)k0),通過圖象可以很直觀地認識它. (2)指數(shù)函數(shù)模型:形如y

2、=abx+c(b0,且b1,a0)的函數(shù)模型,其增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快(a1),常形象地稱之為“指數(shù)爆炸”. (3)對數(shù)函數(shù)模型:形如y=mlogax+n(a0,且a1,m0)的函數(shù)模型,其增長特點是開始階段增長得較快(a1),但隨著x的逐漸增大,其函數(shù)值增長的速度越來越慢,常稱之為“蝸牛式增長”. (4)冪函數(shù)模型:形如y=axn+b(a0)的函數(shù)模型,其增長情況隨y=x中的取值變化而定,常見的有二次函數(shù)模型. (5)“對勾”函數(shù)模型:形如f(x)=ax+(a,b0)的函數(shù)模型,其圖象如下:,其在很多數(shù)學問題中有廣泛的應用,常利用基本不等式解決,有時利用函數(shù)的單

3、調性求解最值.,1.在現(xiàn)實生活中,有很多問題的兩變量之間的關系是一次函數(shù)關系,對這類問題,可以構建一次函數(shù)模型,其增長特點是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0).有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關系,如面積問題、利潤問題、產量問題等.對這類問題,可以構建二次函數(shù)模型,利用二次函數(shù)圖象與單調性解決. 2.當兩變量之間的關系不能用同一個關系式表示,而是由幾個不同的關系式構成時,可以構造分段函數(shù)模型,先將其看作幾個不同問題,將各段的變化規(guī)律找出來,再將其合在一起,要注意各段自變量的范圍,特別是端點值. 例1(2015上海松江一模)“活水圍網”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經濟效益好

4、的特點.研究表明:“活水圍網”養(yǎng)魚時,某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度v(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位:尾/立方米)的函數(shù).當x不超過4尾/立方米時,v的值為2千克/年;當4x20時,v是x的一次函數(shù);當x達到20尾/立方米時,因缺氧等原因,v的值為0千克/年. (1)當0x20時,求函數(shù)v關于x的函數(shù)表達式;,突破方法,方法1一次函數(shù)、二次函數(shù)模型(分段函數(shù)模型),(2)當養(yǎng)殖密度x為多大時,魚的年生長量(單位:千克/立方米)可以達到最大?并求出最大值. 解析(1)由題意得當0x4時,v=2; 當4x20時,設v=ax+b,顯然v=ax+b在4,20內是減函數(shù), 由已知得解得

5、所以v=-x+, 故函數(shù)v= (2)設年生長量為f(x)千克/立方米,依題意并由(1)可得 f(x)= 當0x4時, f(x)為增函數(shù),故f(x)max=f(4)=42=8; 當4x20時, f(x)=-x2+x=-(x2-20 x)=-(x-10)2+, f(x)max=f(10)=12.5. 所以當0x20時, f(x)的最大值為12.5.,即當養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時,魚的年生長量可以達到最大,最大值為12.5千克/立方米. 1-1(2016四川德陽四校聯(lián)考,19,12分)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時)是車流密度

6、x(單位:輛/千米)的函數(shù).當橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時.研究表明:當20 x200時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù). (1)當0 x200時,求函數(shù)v(x)的表達式; (2)當車流密度x為多大時,車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/小時)f(x)=xv(x)可以達到最大?并求出最大值.(精確到1輛/小時) 解析(1)由題意知:當0 x20時,v(x)=60; 當20x200時,設v(x)=ax+b. 再由已知得解得 故函數(shù)v(x)的表達式為,v(x)= (2)依題意并由(1)可

7、得 f(x)= 當0 x20時, f(x)為增函數(shù),故當x=20時,其最大值為6020=1 200; 當20x200時, f(x)=x(200-x)=, 當且僅當x=200-x,即x=100時,等號成立. 所以,當x=100時, f(x)在區(qū)間(20,200上取得最大值. 綜上,當x=100時, f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3 333,即當車流密度為100輛/千米時, 車流量可以達到最大,最大值約為3 333輛/小時.,方法2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型,1.指數(shù)函數(shù)模型常與人口增長、銀行利率、細胞分裂等相結合進行考查;而對數(shù)函數(shù)模型常與價格指數(shù)、環(huán)境承載力等有一定的聯(lián)系. 2.應用指數(shù)函數(shù)

8、模型與對數(shù)函數(shù)模型時,關鍵是對模型的判定,但現(xiàn)在高考對這方面的要求不高.常見的題型是先設定模型,將有關的已知數(shù)據(jù)代入,確定其參數(shù),從而確定模型. 3.建立了形如:y=abx+c+d或y=alogb(cx+d)(b0,且b1)的函數(shù)模型之后,通常利用指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)的性質及函數(shù)圖象來處理. 例2(2016湖南長沙模擬)某地政府鑒于某種日常食品價格增長過快,欲將這種食品價格控制在適當范圍內,決定給這種食品生產廠家提供政府補貼,設這種食品的市場價格為x元/千克,政府補貼為t元/千克,根據(jù)市場調查,當16x24時,這種食品日供應量p萬千克、日需量q萬千克近似地滿足關系:p=2(x+4t-14)(t0

9、),q=24+8ln.當p=q時的市場價格稱為市場平衡價格. (1)將政府補貼表示為市場平衡價格的函數(shù),并求出函數(shù)的值域; (2)為使市場平衡價格不高于20元/千克,政府補貼至少為多少元/千克? 解析(1)由p=q得2(x+4t-14)=24+8ln(16x24,t0),三角形斜邊的兩個端點.設AE=FB=x(cm). (1)某廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大,試問x應取何值? (2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大,試問x應取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值. 解析設包裝盒的高為h(cm),底面邊長為a(cm).由已知得a=x,h=(30-x),0x30. (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 80