1、2.2.2反證法【學(xué)情分析】：前面我們學(xué)習(xí)了兩種直接證明問題的方法綜合法和分析法。在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)接觸過用反證法證明數(shù)學(xué)命題，本節(jié)課進一步熟悉運用反證法證明某些直接證明較難解決的數(shù)學(xué)問題?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：（1）知識與技能：結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解間接證明的方法反證法；了解反證法的思考過程、特點（2）過程與方法：能夠運用反證法證明數(shù)學(xué)問題（3）情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理，論證有據(jù)的習(xí)慣【教學(xué)重點】：了解反證法的思考過程、特點；運用反證法證明數(shù)學(xué)問題?！窘虒W(xué)難點】： 運用反證法證明數(shù)學(xué)問題?！窘虒W(xué)過程設(shè)計】： 教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)

2、計意圖一、提出問題問題1、任找370個人，他們中生日有沒有相同的呢？問題2、將9個球分別染成紅色或白色，無論怎樣染，至少有5個球是同色的，你能證明這個結(jié)論嗎？思考：通過以上幾個練習(xí)，大家已經(jīng)初步體會到反證法的作用，你能不能總結(jié)一下應(yīng)用反證法的概念及其步驟？從實際生活的例子出發(fā)，使學(xué)生對反證法的基本方法和步驟有一個更深刻的認(rèn)識。二、反證法定義1：反證法的概念：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤,從而證明原命題成立,這樣的的證明方法叫反證法2：反證法的基本步驟： 1）:假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；2）:從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；3）:從矛盾

3、判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.3：應(yīng)用反證法的情形：1）：直接證明困難；2）：需分成很多類進行討論； 3）：結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個”類命題； 4）：結(jié)論為 “唯一”類命題；三、應(yīng)用 例1、已知直線和平面，如果，且，求證。解析：讓學(xué)生理解反證法的嚴(yán)密性和合理性；證明：因為, 所以經(jīng)過直線a , b 確定一個平面。因為，而，所以 與是兩個不同的平面因為，且，所以. 下面用反證法證明直線a與平面沒有公共點假設(shè)直線a 與平面有公共點，則，即點是直線 a 與b的公共點，這與矛盾所以 .點評：用反證法的基本步驟：第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；第二步 作出與所證不等式

4、相反的假定；第三步 從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；第四步 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等利例2、求證：不是有理數(shù)解析：直接證明一個數(shù)是無理數(shù)比較困難，我們采用反證法假設(shè)不是無理數(shù)，那么它就是有理數(shù)我們知道，任一有理數(shù)都可以寫成形如（互質(zhì)， ”的形式下面我們看看能否由此推出矛盾證明：假設(shè)不是無理數(shù)，那么它就是有理數(shù)于是，存在互質(zhì)的正整數(shù)，使得，從而有, 因此，所以 m 為偶數(shù)于是可設(shè) ( k 是正整數(shù)），從而有，即所以n也為偶數(shù)這與 m , n 互質(zhì)矛盾！由上述矛盾可知假設(shè)錯誤，從而是無理數(shù)點評：反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)

5、論相反的假設(shè)，然后，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。直觀了解反證法的證明過程。否定結(jié)論，推出矛盾。提醒學(xué)生：使用反證法進行證明的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾。這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等。進上步熟悉反證法的證題思路及步驟。引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合思考題和例題歸納出反證法所適用的題型特點和一般步驟。培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。四、歸納1. 通過思考題和例題，我們發(fā)現(xiàn)反證法適用于什么樣的題目？（1）要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；（2）如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類

6、討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形。2. 歸納一下反證法的證題一般步驟：（1）否定命題的結(jié)論；（2）進行合邏輯的推理；（3）導(dǎo)出任何一種矛盾；（4）肯定原命題的結(jié)論。五、練習(xí)鞏固1. P91.練習(xí)1.22. 補充：用反證法證明（1）如果.（2）求證：過直線外一點，有且只有一條直線和這條直線平行。通過講評可以及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題中存在的問題，予以更正。六、知識小結(jié)反證法的證題步驟：（1）否定命題的結(jié)論；（2）進行合邏輯的推理；（3）導(dǎo)出任何一種矛盾；（4）肯定原命題的結(jié)論。反證法的適宜題型：（1）對于起始命題、基本命題、特殊命題，由于可以用到的定理、公式甚少或不易找出直接證明的關(guān)系

7、，用反證法有時會驟得較好的效果；（2）命題的結(jié)論中含“不”、無”等（稱為否定形式命題），往往可以考慮反證法；（3）命題用反面結(jié)論較易推出矛盾，適宜使用反證法；（4）命題結(jié)論中含“至多”、“至少”、“超過”、“不超過”等詞，往往可以考慮反證法；（5）惟一性的命題，直接證不如反證法更易于入手。通過小結(jié)總結(jié)所學(xué)，突出重點，強調(diào)難點七、課后作業(yè)P102習(xí)題2.2 A組1八、設(shè)計反思反證法學(xué)生并不陌生，在初中就已有所接觸。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)進一步明確其步驟，尋找矛盾點，哪些題型是適用于反證法證的。感覺學(xué)生應(yīng)該容易接受?！揪毩?xí)與測試】：1用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程則a、b、c中至少有一個是偶數(shù)時

8、，下列假設(shè)中正確的是（ ）A. 假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B. 假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C. 假設(shè)a、b、c至多有兩個是偶數(shù) D. 假設(shè)a、b、c至多有兩個是偶數(shù)答案：B解：反證法的假設(shè)，恰好與結(jié)論相反，“至少有一個”的否定是“一個也沒有”。選B。2用反證法證明命題“若整數(shù)n的立方是偶數(shù)，則n也是偶數(shù)”如下：假設(shè)n是奇數(shù)，則n=2k+1(kZ)，_，這與已知是偶數(shù)矛盾，所以n是偶數(shù)。答案：解：和的立方公式展開 答案為。cbaaa3已知平面和不在這個平面內(nèi)的直線a都垂直于平面，求證：直線a平面。證明：假設(shè)a不平行，則a與必有公共點，設(shè)為點A，過點A在平面內(nèi)作直線cb，由知，c，而a，則ac。這與a、c相交于點A相矛盾，因此，假設(shè)錯誤，即a。4. 已知函數(shù)。（1）證明：函數(shù)上為增函數(shù)；（2）用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)根。證明：（1）令 當(dāng)x-1 時 在上g(x)為增函數(shù)。a1時，在上為增函數(shù)，上為增函數(shù)。（2）設(shè)存在，滿足，則 所以，與假設(shè)矛盾，故方程f(x)=0沒有負(fù)根。5設(shè)。證明：a,b,c都是不大于的非負(fù)數(shù)。證明：假設(shè)結(jié)論不正確，可設(shè)（1）若c0，由即c0，由上式可得(a+b)0，從而a+b+c0與題設(shè)a+b+c=2矛盾。（2）若。又由。這是不可能的，因此也是不可能的。綜合兩種情況知必有。同