1、自然界中存在各種不同種類的粒子，例如電子，質子，中子，光子，介子等。 同一類粒子具有完全相同的內稟屬性，包括靜質量，電荷,自旋，磁矩，壽命等.,粒子全同性概念與粒子態(tài)的量子化有本質的聯(lián)系，如果沒有態(tài)的量子化，就談不上全同性.,在量子力學中，把屬于同一類的粒子稱為全同（identical）粒子.,4.5.1 全同粒子的交換對稱性,全同粒子組成的多體系的基本特征是： 任何可觀測量，特別是Hamilton 量，對于任何兩個粒子交換是不變的，即交換對稱性.,例如氦原子中兩個電子組成的體系, Hamilton量為,當兩個電子交換時， 顯然不變，即 是兩個電子交換的算符, 亦即,對于全同粒子多體系, 任何

2、兩個粒子交換一下, 其量子態(tài)是不變的, 即要求該體系的波函數(shù)對于粒子交換具有一定的對稱性.,那么, 在忽略粒子相互作用的情況下, 如何去構造具有完全交換對稱性或反對性的波函數(shù)?,接下來我們將對這問題做一般的討論. 考慮N個全同粒子組成的多體系的情況.,對于有 個全同粒子組成的多體系，其量子態(tài)用波函數(shù) 描述, 表示每一個粒子的全部坐標 ( 例如包括空間坐標與自旋坐標) . 表示第 粒子與第 粒子的全部坐標的交換，即,由于所有粒子的內稟屬性完全相同， 和 這兩種情況是無法分辨的。所以只能認為它們描述的是同一個量子態(tài)，因此它們最多可以相差一個常數(shù)因子 ,即,用 再運算一次，得,顯然 ，所以 ，因而,

3、代入式（2），可看出， 有（而且只有）兩個本征值，即 . 即全同粒子系的波函數(shù)必須滿足下列關系之一,注意，對于全同粒子系,式中 .凡滿足 的，稱為對稱波函數(shù)；滿足 的, 稱為反對稱波函數(shù).,所有 都是守恒量.,所以，全同粒子體系的交換對稱性給了波函數(shù)很強的限制，即要求它們對于任意兩個粒子交換，或者對稱，或者反對稱.,實驗表明,凡自旋為 的整數(shù)倍 的粒子，波函數(shù)對于兩粒子交換總是對稱的，稱為Bose子.例如介子 ，光子 .,凡自旋為 的半奇數(shù)倍 的粒子，波函數(shù)對于兩粒子交換總是反對稱的，稱為Fermi子.例如電子，質子，中子等.,對于給定的一類全同粒子, 其多粒子體系的波函數(shù)的交換對稱性是完全確

4、定的, 而且與粒子的自旋有確定的關系.,設有兩個全同粒子 (忽略它們的相互作用)，Hamilton 量表示為,4.5.2 兩個全同粒子組成的體系,這種與交換相聯(lián)系的簡并, 稱為交換簡并.但這兩個波函數(shù)還不一定具有交換對稱性.,在上式中， 為單粒子能量, 為相應的歸一化單粒子波函數(shù), 代表一組完備的量子數(shù).,設兩個粒子中有一個處于 態(tài),另一個處 于 態(tài),則 與 對 應的能量都是,對于Bose子，要求波函數(shù)對于交換是對稱的.這里要分兩種情況：,是歸一化因子,（b ) ,歸一化波函數(shù)為,（a） ，歸一化的對稱波函數(shù)可如下構成,對于Fermi子，要求波函數(shù)對于交換是反對稱的.歸一化的波函數(shù)可如下構成,

5、著名的Pauli不相容原理： 不允許有兩個全同的Fermi子處于同一單粒子態(tài)（這里 k 代表足以描述Fermi 子量子態(tài)的一組完備的量子數(shù)，特別要注意：對于有自旋的粒子，必須包含描述自旋態(tài)的量子數(shù)）.,在上式中, 若 ，則 ，即這樣的狀態(tài)是不存在的.,先考慮三個無相互作用全同F(xiàn)ermi 子組成的體系.,設三個粒子處于三個不同的單粒子態(tài) , ,和 , 則反對稱波函數(shù)可表示為,4.5.3 N個全同F(xiàn)ermi子組成的體系,其中,稱為反對稱化算符.,類似可以推廣到N個全同F(xiàn)ermi子組成的體系.設N個Fermi子分別處于 態(tài)下，則反對稱波函數(shù)可如下構成,P 代表N個粒子的一個置換 ( permutation) . N 個粒子分別排列在N個單粒子態(tài)上 , 共有N！個置換（包括恒等變換 I ）。,在上式中,稱為反對稱化算符.,從標準排列 經過 各種可能的置換P，得到 一共得出N！項，即行列式展開后得出的N! 項.,Bose 子不受Pauli原理限制，可以有任意數(shù)目的Bose子處于相同的單粒子態(tài). 設有 個Bose子處于 態(tài)上 ， ，這些 中，有些可以為0，有些可以大于1.此時，對稱的多粒子波函數(shù)可以表示成,4.5.4 N個全同Bose子組成的體系,因此，歸一化的對稱波函數(shù)可表示為,最后應當指出，全同粒子體系的波函數(shù)的這種表達方式是比較繁瑣的. 描述全同粒子體系的量