1、1,1-3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系,一、直角坐標(biāo)系 (rectangular coordinate),通常采用的直角坐標(biāo)系屬右旋系, 當(dāng)右手四指由x軸方向轉(zhuǎn)向y軸方向時(shí), 伸直的拇指則指向z軸的正方向。,在參考系上取一固定點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)O, 過點(diǎn)O畫三條相互垂直的帶有刻度的坐標(biāo)軸, 即x軸、y軸和z軸, 就構(gòu)成了直角坐標(biāo)系 O-xyz。,2,位置矢量可表示為,可用方向余弦來表示位置矢量方向。,位矢大小,其中 、和 分別是x、y和z方向的單位矢量。,3,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道參量方程式 寫成分量形式,速度表達(dá)式,4,任何一個(gè)方向的速度和加速度都只與該方向的位置矢量的分量有關(guān), 而與其它方向的分量無關(guān)。,加

2、速度的表達(dá)式,加速度大小,5,質(zhì)點(diǎn)任意運(yùn)動(dòng)都可以看作是三個(gè)坐標(biāo)軸方向上各自獨(dú)立進(jìn)行的直線運(yùn)動(dòng)所合成的。,如果質(zhì)點(diǎn)在某個(gè)方向(如x方向)上的速度不隨時(shí)間變化, 即質(zhì)點(diǎn)在該方向上的分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng), 則在該方向上的位移可由位移公式求得,質(zhì)點(diǎn)的任意運(yùn)動(dòng)都可以分解為在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上各自獨(dú)立進(jìn)行的直線運(yùn)動(dòng)。,運(yùn)動(dòng)疊加原理在直角坐標(biāo)系中的表現(xiàn)。,6,如果質(zhì)點(diǎn)在某個(gè)方向(如x方向)上的加速度不隨時(shí)間變化, 該方向上分運(yùn)動(dòng)為勻變速直線運(yùn)動(dòng), 在x方向的速度變化可根據(jù)速度公式求得:,7,例1：通過絞車?yán)瓌?dòng)湖中小船拉向岸邊, 如圖。如果絞車以恒定的速率u拉動(dòng)纖繩, 絞車定滑輪離水面的高度為h, 求小船向岸邊

3、移動(dòng)的速度和加速度。,解：以絞車定滑輪處為坐標(biāo)原點(diǎn), x 軸水平向右, y 軸豎直向下, 如圖所示。,8,設(shè)小船到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為l, 任意時(shí)刻小船到岸邊的距離x總滿足 x 2 = l 2 h 2,兩邊對(duì)時(shí)間t 求導(dǎo)數(shù), 得,絞車?yán)瓌?dòng)纖繩的速率, 纖繩隨時(shí)間在縮短, 故 ; 是小船向岸邊移動(dòng)的速率。,負(fù)號(hào)表示小船速度沿x 軸反方向。,小船向岸邊移動(dòng)的加速度為,9,例2：拋體運(yùn)動(dòng)。假設(shè)物體以初速度v0沿與水平方向成角 方向被拋出, 求物體運(yùn)動(dòng)的軌道方程、射程、飛行時(shí)間和物體所能到達(dá)的最大高度。,拋體運(yùn)動(dòng)可以看作為x方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和y方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)相疊加。,x,y,解：首先必須建立坐標(biāo)系

4、, 取拋射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O, x 軸水平向右, y 軸豎直向上, 如圖。,運(yùn)動(dòng)疊加原理是求解復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的有力工具。,10,x1 = 0是拋射點(diǎn)的位置, 另一個(gè)是射程,拋體運(yùn)動(dòng)軌道方程,令y = 0，得,11,物體的飛行時(shí)間,當(dāng)物體到達(dá)最大高度時(shí), 必有,物體達(dá)最大高度的時(shí)間,最大高度,實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌道是彈道曲線，射程和最大高度都比上述值要小。,拋射角0 =/4時(shí),最大射程,12,*二、平面極坐標(biāo)系(planar polar coordinates),取參考系上一固定點(diǎn)O作為極點(diǎn),過極點(diǎn)所作的一條固定射線OA稱為極軸。,用平面極坐標(biāo)系處理圓周運(yùn)動(dòng)一類的平面運(yùn)動(dòng)。,質(zhì)點(diǎn)處于點(diǎn)P, 連線OP 稱為點(diǎn)P的極徑

5、, 用表示；自O(shè)A到OP轉(zhuǎn)過的角 稱為點(diǎn)P的極角。點(diǎn)P位置可用(, )來表示, 這兩個(gè)量就稱為點(diǎn)P的極坐標(biāo)。,A,13,P的位置矢量表示為,式中 是單位矢量 的方向隨時(shí)間的變化率。,是極徑方向的單位矢量, 長度為1, 沿增大的方向。隨著質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng), 點(diǎn)P的極角在改變, 方向也相應(yīng)改變, 所以 的方向是時(shí)間的函數(shù), 寫為 。,14,L,B,A,在 時(shí)間內(nèi), 質(zhì)點(diǎn)沿任意平面曲線L由點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B, 極角的增量為 。,等腰三角形OAB, 當(dāng)t0時(shí), 底邊趨于與腰垂直, 的方向趨于極角增大的方向, 引入該方向的單位矢量 。,15,第一項(xiàng)是速度的徑向分量, 稱為徑向速度, 第二項(xiàng)是速度的橫向分量, 稱為橫

6、向速度。,速度大小,16,質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)時(shí), 取該直線為極徑，極角為常量,質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), 極徑是圓周的半徑, 為常量,圓周運(yùn)動(dòng)角速度,橫向速度是質(zhì)點(diǎn)沿圓周切向速度,17,質(zhì)點(diǎn)加速度:,等腰OAB ,當(dāng)t0時(shí), 趨于與 垂直, 即指向 的方向, 大小,18,于是有,19,分別稱為徑向加速度和橫向加速度。,質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng), 極徑是圓周半徑, 為常量, 有,質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng), 取該直線為極徑，極角為常量：,20,繼續(xù)推算,前一項(xiàng)是圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度, 負(fù)號(hào)表示此加速度的方向指向極點(diǎn), 即圓心；后一項(xiàng)稱為切向加速度, 沿圓周的切線方向。,引入角加速度, 定義為,21,例3：細(xì)棒以恒定角速度 繞其端點(diǎn)O 旋

7、轉(zhuǎn), 棒上套一小球, 小球以恒定速度u沿棒向外滑動(dòng)。初始時(shí)刻小球處于點(diǎn)O, 求t 時(shí)刻小球的速度和加速度。,解：取棒端點(diǎn)O為極點(diǎn), 在細(xì)棒旋轉(zhuǎn)的平面內(nèi)建立極坐標(biāo)系, 初始時(shí)刻棒位置為極軸。在此坐標(biāo)系中, 小球的位置可用極坐標(biāo)( , )表示。,其中,22,可見小球的徑向速度就是它沿棒滑動(dòng)的速度, 橫向速度則是t 的線性函數(shù)。,由上式可以看到, 徑向加速度是時(shí)間的線性函數(shù), 橫向加速度則為常量。,求得小球的速度,小球的加速度可表示為 ：,根據(jù),23,三、自然坐標(biāo)系 (natural coordinates),沿著質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道所建立的坐標(biāo)系。,取軌道上一固定點(diǎn)為原點(diǎn), 規(guī)定兩個(gè)隨質(zhì)點(diǎn)位置變化而改變

8、方向的單位矢量, 一個(gè)是指向質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向的切向單位矢量, 用 表示, 另一個(gè)是垂直于切向并指向軌道凹側(cè)的法向單位矢量, 用n表示。,因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度總是沿著軌道的切向, 所以在自然坐標(biāo)系中, 速度矢量可表示為,24,第二項(xiàng)是由速度方向變化所引起的加速度分量，為法向加速度(normal acceleration),第一項(xiàng)表示由于速度大小變化所引起的加速度分量, 大小等于速率變化率, 方向沿軌道切向, 稱切向加速度(tangential acceleration),加速度矢量為,25,L,B,A,(t),(t+t),當(dāng)t0時(shí), 點(diǎn)B 趨近于點(diǎn)A,等腰OAB頂角 0。,極限方向必定垂直于 , 指向軌道凹側(cè), 與法向單位矢量n一致，并且,26,一般情況下, 質(zhì)點(diǎn)的加速度矢量應(yīng)