1、第六章 定積分應(yīng)用習(xí)題課,一、定積分應(yīng)用的類型,1幾何應(yīng)用,平面圖形的面積,特殊立體的體積,平面曲線弧長(zhǎng),旋轉(zhuǎn)體的體積,平行截面面積為已知立體的體積,2物理應(yīng)用,變力作功,水壓力,引力,二、構(gòu)造微元的基本思想及解題步驟,1. 構(gòu)造微元的基本思想,無(wú)論是幾何應(yīng)用還是物理應(yīng)用通常采用元素法。,元素法的實(shí)質(zhì)是局部上“以直代曲”、“以不變代變”、 “以均勻變化代不均勻變化”的方法，其“代替”的原則必須 是無(wú)窮小量之間的代替。將局部 上所對(duì) 應(yīng)的這些微元無(wú)限積累，通過(guò)取極限，把所求的量表示成 定積分 ,2. 在求解定積分應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，主要有四個(gè)步驟：,選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；,三、典型例題,1. 幾何應(yīng)用,定積

2、分的幾何應(yīng)用包括求平面圖形的面積、特殊立體的 體積和平面曲線的弧長(zhǎng)。解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是確定面積元 素、體積元素和弧長(zhǎng)元素。,在 上求出微元解析式,把所求的量表示成定積分,確定積分變量和變化范圍 ；,【例1】求由 所圍成圖形的面積。,分析：在直角坐標(biāo)系下,由給定曲線所圍成的幾何圖形 如圖所示。 如果取 為積分變量, 則,解：(1) 確定積分變量和積分區(qū)間：,的交點(diǎn)為 和 ,取 為積分變量, 則,由于曲線 和,（2）求微元：任取,如果將圖形上方直線的縱坐標(biāo)記為 ,將圖形下方拋物線的縱坐標(biāo)記為 ,那么， 就是區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的矩形的面積。因此,（3） 求定積分：所求的幾何圖形的面積表示為,計(jì)算上面的積

3、分得：,分析：在直角坐標(biāo)系下，由給定曲線所圍成的面積如圖,所示。如果取 為積分變量，則 設(shè)區(qū)間,所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形,就是在 上“以直代曲”,所形成的矩形面積。,面積為 則面積元素,考慮到當(dāng) 和 時(shí),上所對(duì)應(yīng)曲邊梯形不同，所以，相對(duì)應(yīng)矩形面積的表達(dá)式也 不同，因此微元 應(yīng)該分別去求.,所以選取 為積分變量, .,（3）求定積分：所求的幾何圖形的面積可表示為：,解上面的積分得：,即,即,分析：曲線的方程為參數(shù)方程，圍成圖形如圖所示，,設(shè)區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積為,如果取 為積分變量,則 .,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：選取 為積分變量，,(2) 求微元： , ,(3) 求定積分：所求的幾

4、何圖形的面積可表示為：,【例4】求曲線 圍成的圖形的面積.,分析：在極坐標(biāo)系下，由給定曲線所圍成的面積如圖所示。,所對(duì)應(yīng)的曲邊扇形的面積為,所求圖形的面積,因?yàn)榍€關(guān)于 軸對(duì)稱，所以只須考慮第一象限中的情況. 取 為積分變量,則 設(shè)區(qū)間,解：(1) 確定積分變量和積分區(qū)間:取 為積分變量，,(3) 求定積分： 第一象限圖形的面積表示為,則所求的幾何面積為,【例5】設(shè)由曲線 ， 及 圍成,平面圖形 繞 軸, 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。,解: (一) 求 繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積,（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞 軸旋轉(zhuǎn)如圖,（2）求微元：對(duì),取 為積分變量,則,（3）求定積分：繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的

5、旋轉(zhuǎn)體的體積表示為,計(jì)算積分得：,（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞 軸旋轉(zhuǎn)如圖,取 為積分變量, 則,(二) 求繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積,（2）求微元：對(duì),旋轉(zhuǎn)體的體積元素,是 對(duì)應(yīng)的矩形繞 軸所得的旋轉(zhuǎn)體體積, 即,（3）求定積分：繞 軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為,計(jì)算積分得:,對(duì) 設(shè)區(qū)間 所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形為,旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。,的旋轉(zhuǎn)體的體積微元 就是矩形 分別繞直線,分析：此題為求解旋轉(zhuǎn)體體積的問(wèn)題，因?yàn)橹本€,以直代曲所形成的矩形為 則繞直線 旋轉(zhuǎn)而成,平行于 軸, 所以繞直線 旋轉(zhuǎn)時(shí), 取 積分變量。,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：,(2) 求微元：對(duì),軸所得的旋轉(zhuǎn)體的

6、體積，即,取 為積分變量,則,繞直線 旋轉(zhuǎn)如圖 ，,旋轉(zhuǎn)體的體積元素 是 對(duì)應(yīng)的矩形繞,計(jì)算積分得：,(3) 求定積分：繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為,【例7】 計(jì)算底面是半徑為2 的圓，而垂直于底面上一條固定 直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積。,建立如圖所示的坐標(biāo)系，,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：,則底圓方程為,取 為積分變量, 所以,（2）求微元：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn) 的截面為等邊三角形（如圖）， 其邊長(zhǎng)為 高為,所以截面積為,因此, 對(duì) 所對(duì)應(yīng)的體積元素為,（3） 求定積分：所求立體的體積為,分析：所給定的曲線弧如圖所示。,對(duì) 把區(qū)間 上,所對(duì)應(yīng)的曲線段長(zhǎng) 用切線段長(zhǎng),代替，則

7、得到弧長(zhǎng)的微元 的解析式.,取積分變量為 則,取 為積分變量,則,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間：計(jì)算兩曲線的交點(diǎn) 的橫坐標(biāo)得,由于,從而,(3) 求定積分：所求的曲線弧長(zhǎng)可表示成定積分計(jì)算得,【例9】求星形線 的全長(zhǎng).,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間:,取參數(shù) 為積分變量,(3) 求定積分：所求的曲線弧長(zhǎng)可表示成定積分計(jì)算得,則所求曲線弧長(zhǎng)為,注：若曲線用極坐標(biāo)的形式表出，也可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo) 來(lái)做，但積分時(shí)要注意積分上下限的確定。,以上例1-9給出了定積分在求幾何圖形面積，旋轉(zhuǎn)體體積，截面面積為已知的立體的體積和曲線弧長(zhǎng)方面的應(yīng)用。下面的例10給出了定積分的綜合應(yīng)用。,【例10】

8、* 設(shè)曲線 與 交于點(diǎn),過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 和點(diǎn) 的直線與曲線 圍成一平面圖形，,問(wèn) 為何值時(shí), 該圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的,體積最大？最大體積是多少？,分析：此題為定積分應(yīng)用的最值問(wèn)題，首先應(yīng)先求出交點(diǎn),的方程與曲線 圍成一平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周,所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積可看成直線 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的體積減去曲線 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得,旋轉(zhuǎn)體的體積, 見圖, 最后求駐點(diǎn)，即可得 .,解：求交點(diǎn)： ,的坐標(biāo)，確定 的范圍, 然后求出直線 的方程, 直線,解得,直線 方程為,令 得 為唯一駐點(diǎn).,所以，當(dāng) 時(shí)旋轉(zhuǎn)體的體積最大,2. 物理應(yīng)用,定積分的物理應(yīng)用包括作功、水壓力和引力等問(wèn)題。本

9、節(jié) 僅給出作功、水壓力和引力問(wèn)題的例子。,重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)應(yīng)用元素法如何確定功元素、水壓力元素和引力元素。 特別指出的是，在應(yīng)用定積分解決物理應(yīng)用方面的問(wèn)題時(shí)，選 取合適的坐標(biāo)系，有利于積分式的簡(jiǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算簡(jiǎn)單。,分析：吸水作功是水的重力在作功問(wèn)題，此問(wèn)題可理解成 將水一層一層吸出的。取坐標(biāo)原點(diǎn)在水平面， 軸鉛直向下,如果設(shè) 所對(duì)應(yīng)的薄層的體積為,那么在 上以直代曲，便得體積元素,從而得到重力作功的功元素,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間： 建立如圖所示的坐標(biāo)系.,則半圓的方程為 取 為積分變量, 則,(3) 求定積分：將滿池水全部抽出所作的功為,【例12】一底為8厘米，高為6厘米的等腰三角形片，鉛直沉 入水中，頂在上，底在下，底與水平面平行，頂距水面3厘 米，求每面所受的壓力。,分析：由于水壓力等于受力面積乘以壓強(qiáng)。如果取如圖所 示的坐標(biāo)系，,壓力可理解水深 處的壓強(qiáng)乘上受力面積.,那么 在 窄條所受的水,所以的水壓力元素為,(3) 求定積分：每面所受的壓力為,解: (1) 確定積分變量和積分區(qū)間： 建立如圖的坐標(biāo)系.,(2) 求微元：對(duì) 且,設(shè)線密度為 取 為