1、Nove. 7 Fri. Review,1. 局部Taylor展開式：,2. 帶Lagrange余項的Taylor公式：,帶Lagrange余項的Maclaurin公式：,Nove. 4 Fri. 4 函數(shù)單調(diào)性與凸性的判別法,函數(shù)單調(diào)性判別法 函數(shù)的凸性及其判別法,一. 函數(shù)單調(diào)性的判別法,定義,定理1,證明：,定理2,證明：,例,證明：,證明：,解：,注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性,二. 函數(shù)的凸性及其判別法,問題:如何研究曲線的彎曲方向?,圖形上任意弧段位 于弦的上方,圖形上任意弧段位 于弦的下方,

2、定義1,若函數(shù)在整個區(qū)間上是凸的或凹的，則稱函數(shù)是凸函數(shù)或凹函數(shù)。,凸函數(shù),凹函數(shù),定義1,凸函數(shù),凹函數(shù),定義2,定理,證明：,幾何意義：若曲線弧個點處的切線斜率是單調(diào) 增加的，則該曲線是下凸的；若各點處的切 線斜率是單調(diào)減少的，則該曲線弧是上凸的。,例,求拐點的步驟：,解：,導數(shù)不存在，二階導數(shù)也不存在。,凹,凸,凸,證明：,證明：,Hw：p151 3(2,4,5,7)，4(2,3,4,5)，7(3,4)， 8(2,4,6)，9(2)，10，11，12，1，3。,更進一步有不等式：,Nove. 9 Wed. Review,函數(shù)單調(diào)性判別法,函數(shù)凸性及其判別法,若函數(shù)可微：,凸函數(shù),凹函數(shù),

3、函數(shù)凸性判別法：,求拐點的步驟：,3.考察在這些點的左、右的凹凸性。,函數(shù)的極值：極大值與極小值,5 函數(shù)極值、函數(shù)作圖,函數(shù)的極值與求法； 漸近線； 函數(shù)作圖。,一. 函數(shù)的極值與求法,定義：,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.,定理1(必要條件),注意:,例如,極值可疑點：導數(shù)為零的點，導數(shù)不存在的點(尖點).,定理2(第一充分條件),(是極值點情形),求極值的步驟:,(不是極值點情形),例1,解,列表討論,極大值,極小值,圖形如下,例,定理3（第二充分條件）,證明：,極大值,極小值,定理3(第二充分條件),例 1. 若直角三角形的一只角邊與斜邊之和為常數(shù)，求有

4、最大面積的直角三角形；,小 結(jié),極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.,駐點和不可導點統(tǒng)稱為極值可疑點.,函數(shù)的極值必在極值可疑點取得.,判別法,第一充分條件;,第二充分條件;,(注意使用條件),Hw：p160 1(雙),2,3,4(2,3),6,7,9,10,12,13,15.,二. 漸近線,定義:,1.垂直漸近線,例如,有垂直漸近線兩條:,2.水平漸近線,例如,有水平漸近線兩條:,3.斜漸近線,斜漸近線求法:,注意:,例,三. 函數(shù)作圖,1.函數(shù)基本性質(zhì)：,1). 定義域，值域，連續(xù)范圍；,2). 函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，偶 函數(shù)關(guān)于y軸對稱；,3). 周期性。,2. 利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)：,3. 漸近線,1). 垂直漸近線；,2). 水平與斜漸近線。,4. 描點作圖,例,hw：p166 3,4.,列表,.,.,對函數(shù)進行全面討論并畫圖：,解,所以，曲線有漸近線 x =0,0 (拐點),+,+,因,0,0,+,+,3 極小值,+,例1.,0,.,間斷點,3,.,列表,.,對函數(shù)進行全面討論并畫圖：,解,所以，曲線有漸近線 y =0，,因,+,+,+,+,0,因 y(x) = y(x)，,圖形關(guān)于原點對稱。,1,0,1,0 (拐點),間斷點,間斷點,+,及 x =1，x = 1,x =