1、第二章 解析函數(shù),第一節(jié) 解析函數(shù)的概念 第二節(jié) 函數(shù)解析的充要條件 第三節(jié) 初等函數(shù),第一節(jié) 解析函數(shù)的概念, 一 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 二 解析函數(shù)的概念 三 本節(jié)小結(jié),一復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分,1.導(dǎo)數(shù)的定義:,在定義中注意:,解,例1,例2,解,2.可導(dǎo)與連續(xù):,函數(shù) f (z) 在 z0 處可導(dǎo)則在 z0 處一定連續(xù), 但函數(shù) f(z) 在 z0 處連續(xù)不一定在 z0 處可導(dǎo).,證,證畢,例3,解,由上章知識(shí)易知，f(z)是連續(xù)的.,解,因此，連續(xù)不一定可導(dǎo).,3.求導(dǎo)法則:,由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致, 并且復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)變函數(shù)

2、中一樣, 因而實(shí)變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來, 且證明方法也是相同的.,求導(dǎo)公式與法則:,4.微分的概念:,復(fù)變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實(shí)變函數(shù)的微分概念完全一致.,定義,特別地,二 解析函數(shù)的概念,1. 解析函數(shù)的定義,2.奇點(diǎn)的定義,根據(jù)定義可知:,函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.,但是,函數(shù)在一點(diǎn)處解析與在一點(diǎn)處可導(dǎo)是不等價(jià)的概念. 即函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo), 不一定在該點(diǎn)處解析，若在一點(diǎn)解析則在這點(diǎn)一定可導(dǎo).,函數(shù)在一點(diǎn)處解析比在該點(diǎn)處可導(dǎo)的要求要高得多.,解,由本節(jié)例1和例3知:,例4,例5,解,例6,解,定理,利用求導(dǎo)法則易得下面解析函數(shù)的性質(zhì).,根據(jù)

3、定理可知:,(1) 所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的.,三 本節(jié)小結(jié),理解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分以及解析函數(shù)的 概念; 掌握連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系以及 求導(dǎo)方法.,重點(diǎn)掌握解析函數(shù)的概念; 掌握可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系： 解析一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定解析； 區(qū)域內(nèi)解析與可導(dǎo)等價(jià).,第二節(jié) 解析函數(shù)的充要條件, 一 主要定理 二 典型例題 三 本節(jié)小結(jié),如果復(fù)變函數(shù) w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定義域 D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù) w = f (z) 在 D內(nèi)解析。,本節(jié)從函數(shù) u (x , y) 及 v (x , y) 的可導(dǎo)性，探求 函數(shù)w=f (z) 的可導(dǎo)性，從而給出判

4、別函數(shù)解析的 一個(gè)充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。,問題 如何判斷函數(shù)的解析性呢？,一 主要定理,記憶,定理1 設(shè) f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 內(nèi)有定義， 則 f (z)在點(diǎn) z=x+iy D處可導(dǎo)的充要條件是u(x, y) 和 v(x, y) 在點(diǎn) (x, y ) 可微，且滿足Cauchy-Riemann 方程：,上述條件滿足時(shí),有,證明 （由f (z)的可導(dǎo) C-R方程滿足上面已證！只須證 f (z)的可導(dǎo) 函數(shù) u(x, y)、v(x, y)可微）。,則 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且,u+iv = (a+ib)

5、(x+iy)+(1+i2)(x+iy),=(ax-by+1x-2y) +i(bx+ay+2x+1y),令：f (z+z) - f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)=1+i2 故（1）式可寫為,因此 u=ax-by+1x-2y , v=bx+ay+2x+1y,所以u(píng)(x, y)，v(x, y)在點(diǎn)(x, y)處可微.,（由函數(shù)u(x,y) ,v (x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微及滿足 C-R方程 f (z)在點(diǎn)z=x+iy處可導(dǎo)）,u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點(diǎn)可微，即：,使用時(shí)注意: i) 判別 u(x, y)，v (x, y) 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性， ii) 驗(yàn)證C-R條

6、件.,iii) 導(dǎo)數(shù)公式：,定理2 函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D內(nèi)解析充要 條件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D內(nèi)可微，且 滿足 Cauchy-Riemann方程：,由區(qū)域內(nèi)解析與可導(dǎo)等價(jià)，可得如下定理.,解析函數(shù)的判定方法:,二 典型例題,不滿足柯西黎曼方程,四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù),指數(shù)函數(shù),四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù),例2,證,解,例3,證,例4,解,例5,例6,證,證,根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則,例7,根據(jù)柯西黎曼方程得,三 本節(jié)小結(jié),在本課中我們得到了一個(gè)重要結(jié)論函數(shù) 解析的充要條件:,掌握并能靈活應(yīng)用柯西黎曼方程.,掌握判斷函數(shù)解析性的方法.,Augustin-Louis

7、Cauchy,Born: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France,柯西資料,Riemann,黎曼資料,Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany)Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy,第三節(jié) 初等函數(shù), 一 指數(shù)函數(shù) 二 對(duì)數(shù)函數(shù) 三 乘冪與冪函數(shù) 四 三角函數(shù) 五 反三角函數(shù) 六 本節(jié)小結(jié),本節(jié)將實(shí)變函數(shù)中的一些常用的初等函數(shù)推廣到復(fù)變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，并說明它的解析性。,一 指數(shù)函數(shù),1.指數(shù)函數(shù)定義,說明 （1）當(dāng)y=0時(shí)， 所以復(fù)指數(shù)函數(shù)是實(shí)指數(shù)函數(shù)的推廣； （2）當(dāng)x=0時(shí)， 即為歐拉公式.,2.指數(shù)函數(shù)性質(zhì),它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：,（1）