1、三角形的內(nèi)切圓,確定圓的條件是什么?,角平分線的定義、性質(zhì)和判定都是什么？,由于不共線三點確定一個圓，因此每一個三角形都有且只有一個外接圓，圓心是三邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.外心到三角形三個頂點的距離相等.三角形的外心可能在三角形內(nèi)(銳角三角形)，可能在三角形的一邊上(直角三角形的外心是斜邊的中點)，可能在三角形外面(鈍角三角形).,小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進行加工：裁下一塊圓形用料，且使圓的面積最大。 下圖是他的幾種設(shè)計，請同學(xué)們幫他確定一下。,思考,A,B,C,思考下列問題：,1如圖，若O與ABC的兩邊相切，那么圓心O的位置有什么特點？,圓心0在ABC

2、的平分線上。,2如圖2，如果O與ABC的內(nèi)角ABC的兩邊相切，且與內(nèi)角ACB的兩邊也相切，那么此O的圓心在什么位置？,圓心0在ABC與ACB的兩個角的角平分線的交點上。,O,M,A,B,C,N,合作探究：三角形內(nèi)切圓的作法,3如何確定一個與三角形三邊都相切的圓的圓心位置與半徑的長？,4你能作出幾個與一個三角形的三邊都相切的圓？內(nèi)切圓圓心能否在三角形外部?,作出三個內(nèi)角的平分線，三條內(nèi)角 平分線相交于一點，這點就是符合 條件的圓心，過圓心作一邊的垂線， 垂線段的長是符合條件的半徑。,I,F,C,A,B,E,D,已知： ABC（如圖）. 求作：和ABC的各邊都相切的圓.,作法：1. 作ABC、 A

3、CB的平分線BM和CN，交點為I.,I,D,例1 作圓，使它和已知三角形的各邊都相切,分析,2. 過點I作IDBC，垂足為點D.,3. 以I為圓心，ID為半徑作I.,I就是所求的圓.,D,A,E,B,C,F,O,1. 和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形.,2. 和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形.,讀句畫圖：,作直線m與O相切于點D， 作直線n與O相切于點E， 直線m和直線n相交于點A;,以點O為圓心，1cm為半徑畫O;,作直線l與圓O相切于點F， 直線l分別與直線m、直線n相交于點B、C.,

4、1.如圖1，ABC是O的 三角形。 O是ABC的 圓， 點O叫ABC的 ， 它是三角形 的交點.,外接,內(nèi)接,外心,三邊中垂線,2.如圖2，DEF是I的 三角形， I是DEF的 圓， 點I是 DEF的 心， 它是三角形 的交點.,外切,內(nèi)切,內(nèi),三條角平分線,3. 如圖3，四邊形DEFG是O的 四邊形， O是四邊形DEFG的 圓.,內(nèi)切,外切,三角形內(nèi)心的性質(zhì)：,1. 三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等； 2. 三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上.,1. 三角形的外心到三角形各個頂點的距離相等； 2. 三角形的外心在三角形三邊的垂直平分線上.,三角形外心的性質(zhì)：,三角形三邊 中垂線的交 點,1.

5、OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的內(nèi)部,三角形三條 角平分線的 交點,1.到三邊的距離 相等； 2.OA、OB、OC分別平分BAC、ABC、ACB 3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部,o,A,B,C,1. 三角形的內(nèi)心到三角形各個頂點的距離相等（ ） 2. 三角形的外心到三角形各邊的距離相等 （ ） 3. 等邊三角形的內(nèi)心和外心重合 （ ） 4. 三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部（ ） 5. 菱形一定有內(nèi)切圓（ ） 6. 矩形一定有內(nèi)切圓（ ）,錯,錯,對,對,錯,對,一 判斷題：,如圖， ABC的頂點在O上， ABC的各邊 與I都相切，則ABC是I的 三角形； ABC是O的 三角形； I叫ABC 的

6、圓； O叫ABC的 圓，點I是ABC的 心， 點O是ABC的 心.,外切,內(nèi)接,內(nèi)切,外接,內(nèi),外,二 填空：,（2）若A=80 ，則BOC = 度. （3）若BOC=100 ，則A = 度.,解:,130,20,（1）點O是ABC的內(nèi)心，, BOC=180 (1 3),= 180 (25 35 ),=120 .,同理 3= 4= ACB= 70 =35 ., 1= 2= ABC= 50= 25.,理由： 點O是ABC的內(nèi)心，, 1 3 = （ABC+ ACB）, 1= ABC， 3= ACB.,= 180 （ 90 A ）,= （180 A ）,= 90 + A.,= 90 A.,答： BO

7、C =90 + A.,（4）試探索： A與BOC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.,在OBC中，,BOC =180 （ 1 3 ）,B,D,E,F,O,C,A,如圖，ABC的內(nèi)切圓的半徑為r, ABC的周長為l,求ABC的面積S.,解：設(shè)ABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，,連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE、OF，,則ODAB，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOC SAOC, ABOD BCOE ACOF, lr,設(shè)ABC的三邊為a、b、c，面積為S， 則ABC的內(nèi)切圓的半徑 r,結(jié)論,三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)計算,A,B,C,E,D,F,O,如圖，RtABC中，C90,BCa,AC

8、b, ABc,O為RtABC的內(nèi)切圓. 求：RtABC的內(nèi)切圓的半徑 r.,設(shè)AD= x , BE= y ,CE r, O與RtABC的三邊都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OD、OE、OF則OAAC，OEBC，OFAB。,結(jié)論,A,B,C,E,D,F,O,如圖，RtABC中，C90,BC3,AC4, O為RtABC的內(nèi)切圓. （1）求RtABC的內(nèi)切圓的半徑 . （2）若移動點O的位置，使O保持與ABC的邊AC、BC都相切，求O的半徑r的取值范圍。,設(shè)AD= x , BE= y ,CE r, O與RtABC的三邊都相切,ADAF,BEB

9、F,CECD,解：（1）設(shè)RtABC的內(nèi)切圓與三邊相切于D、E、F，連結(jié)OD、OE、OF則OAAC，OEBC，OFAB。,解得,r1,在RtABC中，BC3,AC4, AB5,由已知可得四邊形ODCE為正方形，CDCEOD, RtABC的內(nèi)切圓的半徑為1。,（2）如圖所示，設(shè)與BC、AC相切的最大圓與BC、AC的切點分別為B、D,連結(jié)OB、OD,則四邊形BODC為正方形。,A,B,O,D,C,OBBC3,半徑r的取值范圍為0r3,點評,幾何問題代數(shù)化是解決幾何問題的一種重要方法。,o,o,o,外切圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點。 外切圓的半徑：交點到三角形任意一個定點的距離。,三角形外接圓

10、,三角形內(nèi)切圓,內(nèi)切圓圓心：三角形三個內(nèi)角平分線的交點。 內(nèi)切圓的半徑：交點到三角形任意一邊的垂直距離。,A,A,B,B,C,C,分析題目已知：如圖, ABC的內(nèi)切圓O與BC 、CA、 AB 分別相交于點D 、 E 、 F ，且AB9厘米，BC 14厘米,CA 13厘米,求AF、BD、CE的長。,O,例1 ABC的內(nèi)切圓O與BC、CA、AB分別相切于 點D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的長.,解:,設(shè)AF=x(cm), BD=y(cm),CEz(cm), AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm)., O與ABC的三邊都相切,AFA

11、E,BDBF,CECD,例.如圖，ABC中,C =90 ,它的 內(nèi)切圓O分別與邊AB、BC、CA相切 于點D、E、F，且BD=12，AD=8， 求O的半徑r.,明確,1.一個三角形有且只有一個內(nèi)切圓；,2.一個圓有無數(shù)個外切三角形；,3.三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平 分線的交點；,4. 三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。,分析 試說明圓的外切四邊形的兩組 對邊的和相等,1. 本節(jié)課從實際問題入手，探索得出三角形內(nèi)切圓的作法 . 2. 通過類比三角形的外接圓與圓的內(nèi)接三角形概念得出 三角形的內(nèi)切圓、圓的外切三角形概念，并介紹了多邊形的 內(nèi)切圓、圓的外切多邊形的概念. 3. 學(xué)習(xí)時要明確“接

12、”和“切”的含義、弄清“內(nèi)心”與 “外心”的區(qū)別， 4. 利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)解題時，要注意整體思想的運 用，在解決實際問題時，要注意把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.,課堂小結(jié)：,.,A,B,C,a,b,c,r,r =,a+b-c,2,例 直角三角形的兩直角邊分別是5cm，12cm .則其內(nèi)切圓的半徑為_.,r,O,已知：如圖，在RtABC中，C=90，邊BC、AC、AB的長分別為a、b、c，求求其內(nèi)切圓O的半徑長.,2,E,D,圖（1）,圖（2）,說出下列圖形中圓與四邊形的名稱：,四邊形ABCD叫做O的外切四邊形.,四邊形ABCD叫做O的內(nèi)接四邊形.,O,B,A,探討3： 設(shè)ABC是直角三角形，C

13、=90，它 的內(nèi)切圓的半徑為r，ABC 的各邊長分別為a、b、c，試探討r與a、b、c的關(guān)系.,C,c,b,a,F,E,D,r,結(jié)論：,已知：在ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的內(nèi)切圓分別和BC、AC、AB切于點D、E、F，求AF、BD和CE的長.,A,B,C,F,D,E,x,x,13-x,13-x,9-x,9-x,(13-x)+(9-x)=14.,略解：設(shè)AFx，則BF=13-x.,由切線長定理，知AE=AF=x,BD=BF=13-x, DC=EC=9-x.又BD+CD=14，,解得x=4.,答：AF=4， BD=9， CE=5.,AF=4，BD=9，CE=5.,填空:,1.

14、三角形的內(nèi)切圓能作_個,圓的外切三角形有_ 個,三角形的內(nèi)心在圓的_. 2.如圖,O是ABC的內(nèi)心,則 （1）OA平分_, OB平分_, OC平分_,. （2）若BAC=100,則BOC=_.,1,無數(shù),內(nèi)部,BAC,140,ABC,ACB,2.直角三角形的外接圓半徑為5cm,內(nèi)切圓半徑為1cm, 則此三角形的周長是_.,22cm,探討： 設(shè)ABC 的內(nèi)切圓的半徑為r，ABC 的各邊長之和為L，ABC 的面積S,我們會有什么結(jié)論? 解:AD+AF+BD+BE+CE+CF=L 2AD+2BE+2CE=L 2AD=L2（BE+CE） AD=F？ ？ ？,C,D,E,F,三角形面積 （L為三角形周長

15、，r為內(nèi)切圓半徑）,r,例3 如圖，朱家鎮(zhèn)在進入鎮(zhèn)區(qū)的道路交叉口的三角地處建造了一座鎮(zhèn)標雕塑，以樹立起文明古鎮(zhèn)的形象。已知雕塑中心M到道路三邊AC、BC、AB的距離相等，ACBC，BC=30米，AC=40米。請你幫助計算一下，鎮(zhèn)標雕塑中心M離道路三邊的距離有多遠？,雕塑中心M到道路三邊的距離相等 點M是ABC的內(nèi)心， 連接AM、BM、CM. 設(shè)M的半徑為r米， M分別切AC、BC、AB于點D、E、F， 則MDAC， ME BC， MF AB， 則 MD= ME= MF=r， 在Rt ABC 中，AC=40，BC=30， AB=50., ABC的面積為 ACBC = 4030= 600， 又 A

16、BC的面積為 （ACMD+BC ME+AB MF） =20 r+15 r+25 r=60 r. 60 r= 600， r=10. 答：鎮(zhèn)標雕塑中心離道路三邊的距離為10米.,解：,謝謝大家!,例2 如圖,E是圓內(nèi)兩弦AB和CD的交點，直線EF/CB,交AD的延長線于點F，F(xiàn)G切圓于點G.求證：(1) DFEEFA; (2)EF=FG.,證明： (1)EF/CB, DEF=DCB.,DCB和DAB都是 上的圓周角.,DAB =DCB=DEF.,DFE=EFA（公共角）, DFEEFA.,(2)由(1)知 DFEEFA，,EF2 =FAFD.,又FG是圓的切線，,FG2 =FAFD.,EF2 =FG2 ,即FG=EF.,例3如圖，兩圓相交于A、B兩點，P為兩圓公共弦AB上任意一點，從P引兩圓的切線PC、PD，求證：PC=PD.,PC2=PAPB, PD2=PAPB.,證明：由切割線定理可得：,PC2=PD2. 即PC=PD,例4如圖，AB是O的直徑，過A、B引兩條弦AD和BE，相交于點C求證：ACAD+BCBE=AB2,證明：連接AC、AD