1、第五章 損傷的概念與理論基礎,第一節(jié) 損傷力學簡介 第二節(jié) 損傷的唯象特征 第三節(jié) 損傷理論基礎,第一節(jié) 損傷力學簡介,1）損傷與損傷力學的概念 辭海：損傷是指身體某部受到外力的作用而使組織、器官的結(jié)構(gòu)遭受破壞或其功能發(fā)生障礙。其中外力可為機械性、物理性和化學性三種。 材料和工程構(gòu)件，從毛坯制造到加工成形的過程中，不可避免地會使構(gòu)件的內(nèi)部或表面產(chǎn)生微小的缺陷（如小于1mm的裂紋或空隙等）。在一定的外部因素（載荷、溫度變化以及腐蝕介質(zhì)等）作用下，這些缺陷會不斷擴展和合并，形成宏觀裂紋。裂紋繼續(xù)擴展后，最終可能導致構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的斷裂破壞。 微缺陷的存在與擴展，是使構(gòu)件的強度、剛度、韌性下降或剩余壽命

2、降低的原因。,* 損 傷：在外載和環(huán)境的作用下，由于細觀結(jié)構(gòu)的缺陷（如微裂紋、微空洞）引起的材料與結(jié)構(gòu)的劣化過程，稱為損傷。 * 損傷力學： 研究含損傷材料的性質(zhì)（應力、應變），以及在變形過程中損傷的演化發(fā)展直至破壞（微裂紋的萌生、擴展或演變、體積元的破裂、宏觀裂紋形成、裂紋的穩(wěn)定擴展和失穩(wěn)擴展）力學過程的學科。 對損傷的研究，主要是在連續(xù)介質(zhì)力學和熱力學的基礎上，用固體力學的方法，研究材料或構(gòu)件宏觀力學性能的演變直至破壞的全過程，從而形成了固體力學中一個新的分支-損傷力學。,2）損傷力學與相關學科的關系 長期以來，人們對材料和構(gòu)件宏觀力學性能的劣化直至破壞過程的機理、本構(gòu)關系、力學模型和計算

3、方法都非常重視，并且用各種理論和方法進行了研究。 材料和物理學家從微觀的角度研究微缺陷產(chǎn)生的擴展的機理，但所得的結(jié)果不易與宏觀力學量相聯(lián)系。 力學工作者則著眼于宏觀分析，其中最常用的是斷裂力學的理論和方法。裂斷力學主要研究裂紋尖端附近的應力場和應變場、能量釋放率等，以建立宏觀裂紋起裂、裂紋的穩(wěn)定擴展和失穩(wěn)擴展的判據(jù)。 但斷裂力學無法分析宏觀裂紋出現(xiàn)前材料中的微缺陷或微裂紋的形成與發(fā)展對材料力學性能的影響，而且許多微缺陷或微裂紋并不都能簡化為宏觀裂紋。,經(jīng)典的固體力學理論雖然完備地描述了無損傷材料的力學性能（彈性、粘彈性、塑性、粘塑性等），然而，材料或構(gòu)件的工作過程就是不斷損傷的過程，用無損材料

4、的本構(gòu)關系描繪受損材料的力學性能顯然是不合理的。 損傷力學旨在建立受損材料的本構(gòu)關系、解釋材料的破壞機理、建立損傷的演變方程、計算構(gòu)件的損傷程度、從而達到預估其剩余壽命的目的。因此，它是經(jīng)典的固體力學理論的發(fā)展和補充。,損傷力學的內(nèi)容和方法，既聯(lián)系和發(fā)源于古典的材料力學和斷裂力學，又是它們的必然發(fā)展和必要補充。損傷力學主要研究宏觀可見缺陷或裂紋出現(xiàn)以前的力學過程，含宏觀裂紋物體的變形以及裂紋的擴展的研究則是斷裂力學的內(nèi)容。所以人們常將損傷力學與斷裂力學聯(lián)結(jié)在一起，構(gòu)成破壞力學或破壞理論的主要內(nèi)容。 與斷裂力學的關系： * 無耦合的分析方法： 70年代末，損傷力學限制在只研究材料在宏觀裂紋出現(xiàn)以

5、前的階段，當宏觀裂紋出現(xiàn)以后則用斷裂力學的理論和方法進行研究。,無耦合的分析方法,* 耦合的計算方法 當宏觀裂紋出現(xiàn)以后，材料的損傷對裂紋尖端附近及其它區(qū)域的應力和應變都有影響。,耦合的計算方法,損傷理論，是將固體物理學、材料強度理論和連續(xù)介質(zhì)力學統(tǒng)一起來進行研究的。因此，用損傷理論導得的結(jié)果，既反映材料微觀結(jié)構(gòu)的變化，又能說明材料宏觀力學性能的實際變化狀況，而且計算的參數(shù)還應是宏觀可測的，這一定程度上彌補了微觀研究和斷裂力學研究的不足，也為這些學科的發(fā)展和相互結(jié)合開拓了新的前景。 * 與細觀力學的關系 細觀力學是直接研究材料的細觀組元（即材料在光學或常規(guī)電子顯微鏡下可見的微細結(jié)構(gòu)），利用多重

6、尺度的連續(xù)介質(zhì)力學的方法來研究經(jīng)過某種統(tǒng)計平均處理的細觀特征，并需借助電子計算機巨大的運算能力和容量，才能模擬較復雜介質(zhì)的力學行為。,損傷力學不分別考慮某個微細缺陷，如位錯、微孔洞、微裂紋等的影響，而是通過引入“損傷變量”來描述分布于整個材料介質(zhì)內(nèi)部的微細缺陷損傷，研究的重點是材料內(nèi)部損傷的產(chǎn)生和發(fā)展引起的受損材料的宏觀力學行為的變化。 損傷力學、斷裂力學和細觀力學都是研究不可逆的破壞過程的科學，它們?nèi)呓M成了從細觀尺度直至宏觀尺度描述材料破壞過程的破壞理論科學。,3）損傷力學的發(fā)展歷史 損傷力學是近20年發(fā)展起來的一門新學科，是材料與結(jié)構(gòu)的變形與破壞理論的重要組成部分。 Kachanov在1

7、958年研究金屬蠕變過程斷裂時，首次引入了“連續(xù)性因子”和“有效應力”的概念來描述低應力脆性蠕變損傷。 Rabotnov在1963年進一步引入了“損傷因子”的概念。他們采用連續(xù)介質(zhì)力學的唯象方法來研究材料蠕變損傷破壞過程。 Janson、Hult于1977年提出了損傷力學（damage mechanics）的新名詞。,70年代后期，法國的Lemaitre、Chaboche、美國的Krempl、Krajcinovic、日本的Murakami（村上澄南）、瑞典的Hult、英國的Hayhurst和Leckie等人采用連續(xù)介質(zhì)力學的方法，把損傷因子進一步推廣為一種場變量，逐漸形成了“連續(xù)介質(zhì)損傷力學”

8、這一門新的學科。 1980年5月，國際理論與應用力學聯(lián)合會(IUTAM)在美國Cincinnati舉辦“有關損傷與壽命預測的連續(xù)介質(zhì)方法”討論班，之后已召開了多次有關損傷力學的重要國際會議和討論班。 損傷力學已在工程實際中成功地得到應用，解決了核電站管接頭的低周疲勞、飛機渦輪發(fā)動機葉片和渦輪盤的蠕變疲勞、混凝土梁的斷裂、金屬塑性成形及復合材料壓力容器損傷監(jiān)測等工程問題。,1986年，Kachanov出版了第一本有關損傷力學的專著“Introduction to Continuum Damage Mechanics。 1992年，Lemaitre出版了有關損傷力學的教程“A Course of

9、Damage Mechanics”。 從1988年開始，美國應用力學評論雜志正式將CDM列入主題目錄。損傷力學已成為公認的固體力學新分支，它主要研究探討以下五個方面的基本問題： （a）如何從物理學、熱力學和力學的觀點來闡明和描述損傷，引入簡便、適用的損傷變量。 （b）如何檢測損傷、監(jiān)測損傷發(fā)展規(guī)律、建立損傷演變過程。,（c）如何建立初始損傷條件和損傷破壞準則。 （d）如何描述和建立損傷本構(gòu)關系。 （e）如何將損傷力學的理論分析應用于工程實際問題。 我國從80年代初期以來，在損傷力學的理論模型、檢測方法、工程應用等諸方面開展了廣泛的研究工作。主要的研究單位有華中科技大學、清華大學、北京科技大學、

10、西北工業(yè)大學等。 目前，國內(nèi)外有關損傷力學的研究，除了繼續(xù)完善其理論方法之外，主要集中于微、細觀缺陷損傷機制的研究，并與斷裂力學、細觀力學及材料科學等其它學科相結(jié)合，將損傷力學應用于工程實際問題，諸如工程結(jié)構(gòu)的應力分析，結(jié)構(gòu)完整分析和壽命分析，材料的細觀設計與工藝制造等。,4） 損傷與損傷力學的分類 （1）損 傷 損傷是一個不斷累積的過程。 損傷可分為：彈脆性損傷、彈塑性損傷、疲勞損傷、蠕變損傷、輻照損傷、剝落損傷、腐蝕損傷等。 通常研究最多的兩大類損傷是由微裂紋萌生與擴展的脆性損傷；和由微空洞的萌生、長大、匯合與擴展的韌性損傷。 （2）損傷力學 有兩個主要的分支：,（a）連續(xù)損傷力學： 利用

11、連續(xù)介質(zhì)力學與熱力學的唯象學方法，研究損傷的力學過程。它著重考察損傷對材料宏觀力學性質(zhì)的影響以及材料和結(jié)構(gòu)損傷演化的過程和規(guī)律。而不考察其損傷演化的細觀物理和力學過程，只求用連續(xù)損傷力學預計的宏觀力學行為與變形行為符合實驗結(jié)果與實際情況。如J.Leimatre的能量損傷理論。 （b）細觀損傷力學： 它通過對典型損傷基元，如微裂紋、微空洞、剪切帶等以及各種基元的變形與演化過程，通過某種力學平均化的方法，求得材料變形成損傷過程與細觀損傷參量之間的關聯(lián)。如村上澄男（Murakami）的幾何損傷理論。,典型體元： 金屬和陶瓷：0.10.10.1mm3；高分子和復合材料：111mm3；木 材：10101

12、0mm3；混凝土： 100100100mm3 5）損傷的研究方法 （a）金屬物理學方法 利用透鏡、掃描電鏡等手段從細觀或微觀的角度研究材料微結(jié)構(gòu)（微裂紋和微孔洞）的形態(tài)和變化及其對材料宏觀力學性能的影響。研究損傷演變的物理機制對于建立宏觀唯象的力學模型是十分必要的。 但很難解釋并建立微觀結(jié)構(gòu)的變異與宏觀力學響應之間的相互關系。所以，金屬物理學方法可作為損傷力學研究的輔助方法。,（b）唯象學方法（宏觀方法） 以連續(xù)介質(zhì)力學和不可逆熱力學為基礎，從宏觀的現(xiàn)象出發(fā)并模擬宏觀的力學行為。宏觀唯象學研究的目的是在材料的本構(gòu)關系中引入損傷場變量，使得含損傷變量的本構(gòu)關系能真實描述受損材料的宏觀力學行為。

13、由于損傷的機制不同和用于描述各個損傷場的損傷變量不同，從而有可能得出許多不同形式的描述損傷演變的方程。 唯象學方法由于是從宏觀的現(xiàn)象出發(fā)并模擬宏觀的力學行為來確定參數(shù)，所以得到的方程往往是半理論半經(jīng)驗的，其研究結(jié)果也較微觀方法更容易用于實際問題的分析。其不足之處是不能從細、微觀結(jié)構(gòu)層次上弄清損傷的形態(tài)和變化，因此，其研究難以深入本質(zhì)而且切合損傷在微、細觀層次上的實際。,（c）統(tǒng)計學方法 用統(tǒng)計方法研究材料和結(jié)構(gòu)中的損傷。 在損傷的初期，微裂紋、微空洞等缺陷是隨機性的。在這一階段，損傷變量場可以抽象為一個具有隨機性特征的場變量。因此，用細觀方法研究個體微缺陷，再用統(tǒng)計學方法歸納出損傷場變量。 (

14、d)宏細微觀相結(jié)合的方法(基于細觀的唯象損傷理論) 損傷的形態(tài)及其演化過程理發(fā)生于細觀層次上的物理現(xiàn)象，必須用細觀觀測手段和細觀力學方法加以研究；而損傷對材料力學性能的影響則是細觀的成因在宏觀上的結(jié)果或表現(xiàn)。 因此要想從根本上解決問題，就必須運用宏、細觀相結(jié)合的方法研究損傷力學問題。,6）損傷研究的基本過程 （a）選擇合適的損傷變量。 描述材料中損傷狀態(tài)的場變量稱為損傷變量，它屬于本構(gòu)理論中的內(nèi)部狀態(tài)變量。從力學意義上說，損傷變量的選取應考慮到如何與宏觀力學建立聯(lián)系并易于測量。 不同的損傷過程，可以選取不同的損傷變量，即使同一損傷過程，也可以選取不同的損傷變量。 （b）建立損傷演變方程。 材料

15、內(nèi)部的損傷是隨外界因素(如載荷、溫度變化及腐蝕等)作用的變化而變化的。為了描述損傷的發(fā)展，需要建立描述損傷發(fā)展的方程，即損傷演變方程。 選取不同的損傷變量，損傷演變方程也就不同，但它們都必須反映材料真實的損傷狀態(tài)。,(c) 建立考慮材料損傷的本構(gòu)關系。 這種包含了損傷變量的本構(gòu)關系，即損傷本構(gòu)關系或損傷本構(gòu)方程，在計算中占有重要的地位，或者說起著關鍵或核心的作用。 (d) 根據(jù)初始條件（包含初始損傷）和邊界條件求解材料各點的應力、應變和損傷值。 由計算得到的損傷值，可以判斷各點的損傷狀態(tài)。在損傷達到臨界值時，可以認為該點（體積元）破裂，然后根據(jù)新的損傷分布狀態(tài)和新的邊界條件，再作類似的反復計算

16、，至達到構(gòu)件的破壞準則而終止。,第二節(jié) 損傷的唯象特征,1) 損傷的物理本質(zhì) 材料的損傷就是使材料損壞的漸進的物理過程；損傷力學是通過力學變量來研究材料在載荷作用下的性能退化機理。 在微觀尺度下，在缺陷或界面附近，微應力累積和連接破壞，使材料產(chǎn)生損傷。 在細觀尺度和典型體元中，損傷是指微裂紋或微空洞的增長和接合使裂紋萌生。這兩個階段可用連續(xù)介質(zhì)力學中的損傷變量加以研究。 在宏觀尺度下是指裂紋的擴展，可用宏觀水平的斷裂力學變量進行研究。,（a）原子、彈性與損傷 所有的材料都是由原子組成的，這些原子由電磁相互作用形成的鍵聯(lián)結(jié)在一起。彈性與原子的相互運動直接相關，對原子點陣的物理性質(zhì)進行研究導致了彈

17、性理論。 當結(jié)合鏈破壞時，便開始了損傷過程。例如金屬以晶格或顆粒形式排列，除去一些原子空位處的位錯線之外，原子的排列都是有規(guī)律的。如果作用以剪切應力，由于鍵的位移而引起位錯運動，于是便引起了由滑移而導致塑性應變，而無任何脫鍵現(xiàn)象。 如果位錯運動被某一微缺或某一微應力集中處所中止，即將產(chǎn)生一個約束區(qū)，而另一個位錯將在此處中止。位錯的多次中止即形成了微裂紋核。金屬中的其他損傷機理還包括晶間開裂、夾雜物與基體之間的分離等。,在聚合物中，由于分子長鏈之間的鍵帶破壞而產(chǎn)生損傷。 在復合材料中，由于纖維和聚合物基體間的脫鍵而產(chǎn)生損傷。 在陶瓷中，主要是由于集料與水泥間的分離，從而產(chǎn)生損傷。 對于木材，產(chǎn)生

18、損傷的薄弱環(huán)節(jié)為纖維素網(wǎng)絡的斷裂。 損傷對彈性有直接的影響，這時由于與彈性有關部門的原子鍵的數(shù)目隨著損傷的增大而減少。,（b）滑移、塑性與不可逆應變 塑性與滑移直接參與有關。在金屬中，位錯的運動引起滑移，或由位錯的攀移和孿生導致滑移。然而在任何情況下，都不會產(chǎn)生明顯的體積變化。 在其它材料中，不可逆應變可由不同的機理引起，如聚合物中分子的重新排列；陶瓷中的微裂紋，其中大的晶格阻力限制了位錯的移動；混凝土中，沿減聚表面的滑移；木材中，網(wǎng)絡的重新排列。它們都將引起體積的變化。,（c）應變與損傷現(xiàn)象的尺度 彈性發(fā)生在原子的水平上；塑性由晶體或分子水平的滑移所控制；從原子到分子水平的脫鍵產(chǎn)生的損傷萌生

19、裂紋。 連續(xù)介質(zhì)力學研究定義在數(shù)學點上的量，但物理的觀點看這些量表示一定體積上的平均值。典型體元選取時，必須足夠小以便避免量的高梯度，但又必須足夠大以便代表微過程的平均值。 材料的典型體元的大小可定義為： 金屬和陶瓷: (0.1mm)3 ; 纖維和復合材料：(1mm) 3 木材：(10mm) 3 ; 混凝土：(100mm) 3 損傷總是比應變更局部化。盡管由于原子間的距離變化或由于許多滑移引起的原子運動所產(chǎn)生的應變發(fā)生于整個體積；然而損傷或原子鍵的破壞卻局限于表面。,（d）損傷的表現(xiàn) 盡管微現(xiàn)尺度的損傷可由通用的脫鍵機理所描述，然而在細觀尺度，損傷則以不同的方式表現(xiàn)出來，它取決于材料的性質(zhì)、載

20、荷的類型和溫度。 脆性損傷： 當萌生一個細觀微裂紋而無宏觀塑性應變時，此時的損傷稱為脆性損傷，即pe這意味著解理力小于產(chǎn)生滑移的力但大于脫鍵力，同時損傷的局部化程度很高。斷口平坦、白亮。 延性損傷： 此類損傷是當塑性變形大于某一門檻Pth時發(fā)生的。它是由于夾雜物和基體之間的分離產(chǎn)生空洞所引起的，這些空洞由于塑性不穩(wěn)定現(xiàn)象進一步增長和合并，因此延性損傷的局部化程度與塑性應變程度相當。,蠕變損傷： 當金屬在高溫下承載時，比如溫度高于熔點的1/3時，則塑性應變中包含了粘性，即材料在常應力下也會產(chǎn)生變形。當應變足夠大時，則產(chǎn)生沿晶開裂而引起損傷。 低周疲勞： 當材料承受大應力或大應變循環(huán)載荷時，在微裂

21、紋形核和擴展階段前的潛伏期后，損傷與循環(huán)塑性應變一起發(fā)展，此時損傷的局部化程度高于延性或蠕變損傷的局部化程度。由于應力很高，低周疲勞的特征為其斷裂循環(huán)數(shù)NR較低（1000次），損傷常表現(xiàn)為沿晶或穿晶微開裂。,高周疲勞： 當材料承受低幅值應力循環(huán)載荷時，細觀塑性應變很小，但在微觀水平的某些點處的塑性應變可能很高，在這些點處只在一些平面上會產(chǎn)生穿晶微開裂，最常見的是沿試樣表面的擠入帶。失效循環(huán)數(shù)很高： NR 10000。 剝落損傷： 由沖擊載荷或高速載荷產(chǎn)生的塑性損傷和彈塑性損傷，又稱為動力損傷。 此外，還有由腐蝕引起的損傷，蠕變-疲勞損傷以及由中子線、射線、核分裂的照射而引起的輻照損傷等。,2）

22、損傷變量 在明確了損傷的物理本質(zhì)后，須要選擇一個損傷變量（描述微觀缺陷力學作用的量），因為材料的性能、損傷的過程都需要通過一個參量來實現(xiàn)。 （1）選擇基準 在定義一種損傷變量時，有兩個問題需要考慮：一個是究竟用什么數(shù)學特性量（如標量、矢量或二階張量）作為基準量來定義損傷變量；另一個是如何將損傷狀態(tài)定式化。 一般可作為基準的量，分為兩類： （A）微觀的基準 a）空隙的數(shù)目、長度、面積、體積等。 b）空隙的形狀、配列。由取向所決定的有效面積。,（B）宏觀基準 c）彈性常數(shù)；d）屈服應力；e）拉伸強度；f）延伸率；g）密度； i）電阻； j）超聲波速度；k）聲發(fā)射等 對于第一類基準量，不能直接與宏觀

23、的力學參量建立本構(gòu)關系，所以在用它們來定義損傷變量時，需要對它作一定宏觀尺度下的統(tǒng)計平均處理。 對于第二類基準量，一般總是采用那些對損傷過程比較敏感，且在實驗室易于探測的量作為損傷變量。 同一損傷過程，可以采用不同的損傷變量來描述。這些損傷變量變化的規(guī)律是不相同的。,（2）連續(xù)度和損傷度 在微觀尺度上，損傷解釋為產(chǎn)生非連續(xù)的微表面：原子鍵的斷裂和微空洞的塑性擴展。在細觀尺度，任何平面上的斷裂鍵的數(shù)目或微空洞的形狀可以近似為所有缺陷與該平面的截面積。因此，我們常用細觀體積單元上微缺陷的失效效應來表征損傷變量。 * 定義一 在細觀典型體積單元中，假設原始的截面積為S0，微缺陷（微裂紋或微空洞）的有

24、效截面Sd，仍處在連續(xù)狀態(tài)的材料的表面積（有效承載面積）S。其中S0=S+Sd或S=S0-Sd。 損傷度： ，其意義是微缺陷（微裂紋或微空洞）的有效表面密度。(Robotnov, 1963),連續(xù)度(Kachanov，1958) ： =S/So=（So-Sd）/So=1- 可以看出和均是表征材料劣化的綜合作用，是坐標的連續(xù)函數(shù)。 對于完全無損的材料， =1，=0；隨著材料劣化和損傷，材料的連續(xù)性降低，此時1，d0（ 0，d 0 ）；當材料完全損壞時，材料無任何承載能力， =0， =1。 由于損傷的過程是不可逆的， 單調(diào)減小， 單調(diào)增加。 和的范圍為：01，01。,* 定義二 對于彈塑性材料而言

25、，彈性模量的變化與原子鍵的失效相聯(lián)系；而塑性流動反映了晶格滑移，但原子鍵保持不便。這兩種機制在宏觀上由單軸拉伸試驗的應力-應變關系曲線的卸載響應反映出來；前者的初始（彈性）加載斜率與卸載斜率不同；而后者的初始加載斜率與卸載斜相同。 因此可用受損材料的有效彈性模量表征材料的損傷或連續(xù)性，定義如下： 連續(xù)性：=E/E 損傷度：=1-E/E 式中E和E分別為無損傷和受損傷材料的楊氏模量。,* 定義三 Broberg定義：=ln（So/S） 當So與S較接近時，該定義的損傷度與Robotnov的值近似相等。 Broberg定義的優(yōu)點是在加載過程中的損傷可以疊加。如假設有效面積是分兩步縮減的，第一部從S

26、o減縮到S1，然后再減縮到S2。這兩步中的損傷分別為： 1=ln（So/S1）， 2=ln（S1/S2） 于是總的損傷為： =ln（So/S2）= 1+2,* 其它定義： 損傷變量還可以有各種定義，可用質(zhì)量密度、塑性、殘余強度、疲勞循環(huán)周次、電阻率和聲波傳播速度等定義損傷變量。一般來說，連續(xù)性或損傷度并無幾何上的真實意義，它是材料性能劣化的相對度量與間接表征。 說 明： 材料的損傷度或連續(xù)性不僅與時間和空間相關，而且表現(xiàn)為各向異性，即對材料典型體元，不同方向的或并不相同，因此損傷變量常是各向異性的，是各向異性的場變量。 通常情況下，要用矢量或張量來表示損傷變量，以滿足包容足夠多的缺陷信息。,3

27、）等效性假設（Principle of equivalence） 損傷力學是在經(jīng)典材料力學和斷裂力學基礎上發(fā)展而來，但又突破了材料力學和斷裂力學的強度設計理論。因此可通過以下的等效性假設，仍可用經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學的方法來處理受損材料的損傷力學問題。 （a）應力-應變曲線與載荷等效性假設 Rabotnov在研究單軸拉伸蠕變時注意到：拉伸會引起試棒橫向收縮，即從額定面積S0到真實面積S；考慮材料損傷后又從真實面積S改變到有效承載面積S。因此可以定義三種拉伸應力，即：,額定應力 0=F/S0 真實應力 =F/S 有效應力 =F/S 其中F是試樣的外加載荷。對脆性材料，橫向收縮很小可忽略，則S0=S，0

28、=。,為處理方便，即用均勻連續(xù)的無損材料的連續(xù)介質(zhì)力學方法，來解決受損材料的力學問題，我們做出如下的載荷等效性假設： 將真實承載面積為S、應力為的拉伸試棒等效為一虛擬拉伸試棒，此試棒具有有效面積S并作用著有效應力，即在載荷不變的情況下，有： F=S=S 由此可以導出有效應力與真實應力的關系： =（S/S）=/或=/（1-）,（b）應變等效性假設 對受損的彈脆性材料，Leimatre提出應變等效性假設：在真實應力作用下，受損材料的應變等效于在有效應力作用下虛擬的無損狀態(tài)的應變。 對于簡單的一維情況，真實損傷狀態(tài)的應力-應變關系為： =/E 而虛擬無損狀態(tài)的應力-應變關系為：=/E。 因而有：=（

29、E/E） 若用有效彈性模量E定義的連續(xù)性 =E/E的損傷度，則得到與載荷等效性假設相同的有效應力定義=/或=/（1-）。,（c）應力等效性假設 類似于應變等效性假設，可提出應力等效性假設：對受損彈脆性材料，在真實應變作用下，受損材料的應力等效于在有效應變作用下虛擬的無損狀態(tài)的應力。 對于簡單的一維情況，真實損傷狀態(tài)的應力-應變關系為：=E 而虛擬無損狀態(tài)的應力-應變關系為：= E。因而有： =（E/E） 考慮到用有效彈性模量E表征的連續(xù)性 =E /E和損傷度的定義，我們可以導出有效應變與真實應變之間的關系： = 或 =（1-）。,（d）彈性能等效性假設 對于受損彈脆性材料，若設彈性應變能密度（

30、E，）與虛擬的無損狀態(tài)的彈性應變能密度（E，）相等，在一維情況下可寫為： （1/2）E2=（1/2）E 2 可以導出： =（E/E）1/2 若設連續(xù)性與有效楊氏模量E的關系為：=（E/E）1/2，則有：= 和=/ ，這個關系與應力、應變等效性的假設一致。 彈性能等效假設可解釋為：對受損彈脆性材料，其應力-應變關系可用虛擬的無損狀態(tài)的應力-應變關系代替，但同時用有效應力和有效應變分別換替真實應力和真實應變。,（e）三維情況 在3維情況下，若損傷是各向同性的，上述的應變等效性假設、應力等效性假設和彈性能等效性假設在3維情況下也是成立的。 對應變等效性假設，有： 對于應力等效性假設，有： 對于彈性能

31、等效性假設，有：,第三節(jié) 損傷理論基礎,1) 數(shù)學知識 （1）梯 度： 函數(shù)u的梯度是一個矢量，在每一處的梯度方向與該點的方向方向相同，而指向u增加的方向。 定 義：,（2）散 度（高斯公式） 將面積分換算成體積分（二重積分三重積分）,（3）旋 度 （斯托克斯公式） 曲線積分換算成面積分,損傷力學是以連續(xù)介質(zhì)力學和熱力學為基礎的學科；連續(xù)介質(zhì)力學又是以牛頓力學為基礎發(fā)展而來的。 2） 連續(xù)介質(zhì)力學規(guī)律 （a）質(zhì)量守恒定律 物質(zhì)在運動過程中，質(zhì)量保持不變，dM/dt=0。 對連續(xù)介質(zhì)，用V表示連續(xù)介質(zhì)所占的體積，為密度。質(zhì)量隨時間的變化為： * 區(qū)域V表內(nèi)單位時間的質(zhì)量增加量： * 質(zhì)量的減少：

32、通過表面流出（遷移）的質(zhì)量。 設體積V表的周界為S，其單位法向矢量為 ， 是流動速度，則有：,于是質(zhì)量守恒定律可表示為： （b）動量守恒定律 “在慣性參考系內(nèi)，物體系的總動量隨時間的變化率等于作用在物體系的外力總和” 對連續(xù)介質(zhì)，V為連續(xù)介質(zhì)所占的體積，為密度， S為體積V的界面，面元ds的法向矢量為 ， 為運動速度， 為單位質(zhì)量所受的體力， 為應力。,物體的動量變化率為： 體力： 面力： 所以有： 即： （c）動能的變化 動能的變化率：,單位時間內(nèi)體力的功為： 單位時間內(nèi)面力的功： 物體的變形功為： 于是有： 3）熱力學定律 （a）熱力學第一定律（能量守恒定律） U(增加的內(nèi)能和動能)=W(

33、外力的功)+Q(增加的熱量),能量的增加量U=總動能+總內(nèi)能= 外力的功W=體力功+面力功= 熱量Q=內(nèi)源放熱-流出的熱量= 其中e為單位質(zhì)量介質(zhì)的內(nèi)能；h為在單位時間內(nèi)單位質(zhì)量的內(nèi)源放出的熱量； 是熱流密度。 于是能量守恒定律為：,與動能方程 相比較可得： （b）熱力學第二定律（不可逆過程的方向） T為絕對溫度；假定物體系有均勻的溫度分布，此物體系統(tǒng)（熱力學系統(tǒng)）從一個狀態(tài) 轉(zhuǎn)變到另一個相鄰狀態(tài)時，與外界交換的熱量為Qe。 對可逆過程： 對不可逆過程： 定義一個函數(shù)，使dS =Qe/ T，S是熵。,對可逆過程： 對不可逆過程： 即dS Qe/ T， dS =Qe/ T +Qi/ T，其中Qe

34、 / T是系統(tǒng)與外界相互作用的熵變； Qi / T是系統(tǒng)內(nèi)部運動引起的熵變。 對連續(xù)介質(zhì)，s是單位質(zhì)量介質(zhì)的熵。于是有：,而熱量為： 于是有： 其微分形式為： 或： 與熱力學第一定律聯(lián)立得：,引入自由能f=e-Ts后，并考慮到df/dt=de/dt-sdT/dt-Tds/dt，于是熱力學第二定律變?yōu)椋?4）熱力學狀態(tài)變量和損傷變量 （a）外變量（外部狀態(tài)量） 如果一個狀態(tài)變量不是以前所發(fā)現(xiàn)的那些狀態(tài)變量的函數(shù)，它就被稱為基本（Primitive）狀態(tài)變量。 可測量（直接或間接）的基本狀態(tài)變量，稱為外變量，如溫度T和應變等。,（b）內(nèi)變量（內(nèi)部狀態(tài)量） 是一種不一定能夠被直接測定，但實際上又可以像可觀測量一樣處理、與基本狀態(tài)變量獨立的熱力學變量，它們與基本狀態(tài)變量一道唯一地決定不可逆系統(tǒng)的狀態(tài)。 內(nèi)變量的具體物理含義一般是非常廣泛的，它取決于具體材料的熱力學系統(tǒng)歷史和在特定環(huán)境條件下的內(nèi)部組織與結(jié)構(gòu)狀態(tài)。 損傷變量是一種用于描述材料內(nèi)部損傷狀態(tài)變化發(fā)展及其對材料力學作用影響的內(nèi)部狀態(tài)變量。一個耗散系統(tǒng)的當前狀態(tài)，同它的既往歷史有關。在損