1、第一部分 初等數(shù)學(xué)方法,第一章 建模示例,第一節(jié) 選舉中的席位分配,一. 比例代表制 例：有A、B、C、D四個(gè)政黨，代表50萬選民，各政黨的選民數(shù)為： A黨：199,000 B黨：127,500 C黨：124,000 D黨： 49,500 要選出5名代表： A黨：2席 B黨：1席 C黨：1席 D黨：0席 缺少1席，如何分配這最后一席呢？,第一節(jié) 選舉中的席位分配,最大余數(shù)法 按每10萬選民1席分配后，按余數(shù)大小排序，多余的席位分給余數(shù)較大的各黨。 黨名 代表選民數(shù) 整數(shù)席 余 數(shù) 余額席 總席數(shù) A 199,000 1 99,000 1 2 B 127,500 1 27,500 0 1 C 1

2、24,000 1 24,000 0 1 D 49,500 0 49,500 1 1,第一節(jié) 選舉中的席位分配,洪德(dHondt)規(guī)則 分配辦法是：把各黨代表的選民數(shù)分別被1、2、3、除，按所有商數(shù)的大小排序，席位按此次序分配。即若A黨的人數(shù)比D黨的人數(shù)還多，那么給A黨3席、給D黨0席也是合理的。 除數(shù) A黨 B黨 C黨 D黨 1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,500 2 99,500 (4) 63,750 62,000 24,750 3 66,333 (5) 42,500 41,333 16,500 4 49,750 31,875 總席位 3 1 1

3、 0,第一節(jié) 選舉中的席位分配,北歐折衷方案 作法與洪德規(guī)則類似，所采用的除數(shù)依次為1.4、3、5、7、 A黨 B黨 C黨 D黨 2 2 1 0 三種分配方案，得到了完全不同的結(jié)果，最大余數(shù)法顯然對(duì)小黨比較有利，洪德規(guī)則則偏向最大的黨，北歐折衷方案對(duì)最大和最小黨都不利,第一節(jié) 選舉中的席位分配,二份額分配法(Quota Method) 一種以“相對(duì)公平”為標(biāo)準(zhǔn)的席位分配方法，來源于著名的“阿拉巴瑪悖論”(Alabama Paradox)。 美國憲法第1條第2款對(duì)議會(huì)席位分配作了明確規(guī)定，議員數(shù)按各州相應(yīng)的人數(shù)進(jìn)行分配。最初議員數(shù)只有65席，因?yàn)樽h會(huì)有權(quán)改變它的席位數(shù)，到1910年，議會(huì)增加到4

4、35席。憲法并沒有規(guī)定席位的具體分配辦法，因此在1881年，當(dāng)考慮重新分配席位時(shí)，發(fā)現(xiàn)用當(dāng)時(shí)的最大余數(shù)分配方法，阿拉巴瑪州在299個(gè)席位中獲得8個(gè)議席，而當(dāng)總席位增加為300席時(shí)，它卻只能分得7個(gè)議席。這一怪事被稱為有名的“阿拉巴瑪悖論”。,問題,三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席。,現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103, 63, 34, 問20席如何分配。,若增加為21席，又如何分配。,比例加慣例,對(duì)丙系公平嗎,“公平”分配方法,衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo),當(dāng)p1/n1= p2/n2 時(shí)，分配公平,p1/n1 p2/n2 對(duì)

5、A的絕對(duì)不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者對(duì)A的不公平程度已大大降低!,雖二者的絕對(duì)不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2 ，對(duì) 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方案應(yīng)使 rA , rB 盡量小,設(shè)A, B已分別有n1, n2 席，若增加1席，問應(yīng)分給A, 還是B,不妨設(shè)分配開始時(shí) p1/n1 p2/n2 ，即對(duì)A不公平, 對(duì)A的相對(duì)不公平度,將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量,類

6、似地定義 rB(n1,n2),將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配, 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ，定義,1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,則這席應(yīng)給 A,2）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,3）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,應(yīng)計(jì)算rB(n1+1, n2),應(yīng)計(jì)算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給,應(yīng)討論以下幾種情況,初始 p1/n1 p2/n2,問：,p1/n1p2/(n2+1) 是否會(huì)出現(xiàn)？,A,否!,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給 B,當(dāng) rB(

7、n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 該席給A,該席給A,否則, 該席給B,推廣到m方分配席位,該席給Q值最大的一方,Q 值方法,三系用Q值方法重新分配 21個(gè)席位,按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢,甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,同上,Q3最大，第21席給丙系,甲系11席，乙系6席，丙系4席,Q值方法分配結(jié)果,公平嗎？,Q1最大，第20席給甲系,進(jìn)一步的討論,Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？,席位分配的理想化準(zhǔn)則,已知: m方人數(shù)分別為 p1, p

8、2, , pm, 記總?cè)藬?shù)為 P= p1+p2+pm, 待分配的總席位為N。,設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2, , nm (自然應(yīng)有n1+n2+nm=N)，,記qi=Npi /P, i=1,2, , m,ni 應(yīng)是 N和 p1, , pm 的函數(shù)，即ni = ni (N, p1, , pm ),若qi 均為整數(shù)，顯然應(yīng) ni=qi,qi=Npi /P不全為整數(shù)時(shí)，ni 應(yīng)滿足的準(zhǔn)則：,記 qi =floor(qi) 向 qi方向取整； qi+ =ceil(qi) 向 qi方向取整.,1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),2) ni (N, p1, , pm ) ni

9、(N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m),即ni 必取qi , qi+ 之一,即當(dāng)總席位增加時(shí)， ni不應(yīng)減少,“比例加慣例”方法滿足 1），但不滿足 2）,Q值方法滿足 2）,但不滿足 1）。令人遺憾！,第二節(jié) 商業(yè)中心的影響范圍,問題：一個(gè)城市中，商業(yè)如何布局才能為大多數(shù)市民提供方便？農(nóng)村中，如何選擇集市貿(mào)易的地點(diǎn)以便擴(kuò)大物資交流？這些都要求我們對(duì)商業(yè)中心的影響作出估計(jì)。 若從經(jīng)營者的角度考慮，一個(gè)商店要獲得利潤就應(yīng)吸引足夠的顧客，應(yīng)該估計(jì)商店能吸引多遠(yuǎn)的顧客，高峰銷售時(shí)間的交通是否方便，因此也要估計(jì)商店的影響范圍。,第二節(jié) 商業(yè)中心的影響范圍,設(shè)A、B為兩個(gè)商業(yè)中心，T表

10、示某顧客去商業(yè)中心購物的概率，我們應(yīng)該考慮T應(yīng)與哪些因素有關(guān)？ 假設(shè)T只依賴于兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)： 一、是顧客到商業(yè)中心的距離D， 二、是商業(yè)中心的吸引力F。 即Tf(D,F)。 為了簡單起見，假設(shè)F13F2。 為了尋找兩個(gè)中心的影響區(qū)域，我們應(yīng)該確定顧客到每個(gè)中心去的可能性相等的點(diǎn)，即等概率點(diǎn)，它由如下方程確定 f(D1,F1)=f(D2,F2)。,第二節(jié) 商業(yè)中心的影響范圍,由T的含義，它隨F及D變化。當(dāng)F增加時(shí)，說明中心的吸引力增加，想去的人應(yīng)該增多，即T應(yīng)該增大；再根據(jù)一般人就近購物的心理，當(dāng)D增加時(shí)，T應(yīng)該減少。我們?nèi)〉男问綖?第三節(jié) 動(dòng)物的身長和體重,利用類比方法，借助力學(xué)的某些結(jié)果，建

11、立動(dòng)物身長和體重間的比例關(guān)系。 把四足動(dòng)物的軀干看作圓柱體，長度、直徑、截面積。將軀干與四肢的接觸處看作前后兩個(gè)接觸點(diǎn)，這樣這種圓柱體的軀干可以類比作一根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學(xué)的一些研究結(jié)果。,第三節(jié) 動(dòng)物的身長和體重,b/l已經(jīng)達(dá)到其最合適的數(shù)值，應(yīng)視為與這種動(dòng)物的尺寸無關(guān)的常數(shù),第四節(jié) 房屋保溫隔熱的經(jīng)濟(jì)效益核算,問題：房屋的保溫隔熱是一筆很大的開支，北方漫長的冬季需要保溫供暖，南方炎炎夏季需要降溫制冷。據(jù)研究，房屋內(nèi)熱量散發(fā)的途徑中30%是通過墻壁，10%通過窗，25%通過屋頂，其余通過地板等途徑散發(fā)。一般房屋建造時(shí)的主要保溫隔熱措施是在屋頂上采用10cm隔熱材料，對(duì)墻和

12、窗則沒有采用專門的隔熱措施，墻中空隙未加填充，而窗僅用46mm的單層玻璃。一些改進(jìn)的辦法可以用聚苯乙烯塑料球或尿素甲醛的化學(xué)材料填補(bǔ)空隙，或者采用雙層玻璃窗以減小房屋保溫隔熱的費(fèi)用。有人說：用填充隔熱墻的辦法所節(jié)約的熱量是采用雙層玻璃窗的5倍。實(shí)際情況如何？需建模定量分析。,第四節(jié) 房屋保溫隔熱的經(jīng)濟(jì)效益核算,1 問題的分析 房屋的保溫隔熱問題涉及兩個(gè)方面：熱交換的物理機(jī)理和費(fèi)用的經(jīng)濟(jì)學(xué)問題。影響熱損失的因素有很多：(1) 室內(nèi)溫度；(2) 室外溫度；(3) 傳熱方式：對(duì)流、傳導(dǎo)和輻射；(4) 墻面積；(5) 窗面積；(6) 墻的傳熱性質(zhì)；(7) 窗的傳熱性質(zhì)；(8) 墻厚度；(9) 窗厚度；(10) 保溫節(jié)省的熱量。 影響經(jīng)濟(jì)學(xué)的因素有：(1) 保溫措施的費(fèi)用；(2) 借款的費(fèi)用(貸款利息)；(3) 燃料費(fèi)用