1、第四章 金屬自由電子理論,解：,（1）,由周期性邊界條件得,每個(gè)波矢狀態(tài)可容納自旋相反的兩個(gè)電子，,則在面積元,中,容納電子數(shù)為,又,所以E到E+dE之間的狀態(tài)數(shù),（2）,在E到E+dE內(nèi)的電子數(shù)為dN,在絕對零度時(shí),則,4.2 設(shè)金屬中的電子可看成是在邊長為L的方匣內(nèi)運(yùn)動(dòng)的自由 粒子，試分別采用駐波邊界條件和周期性邊界條件，求狀態(tài)密 度的表示式。,解：,電子在方匣中運(yùn)動(dòng)，設(shè)其勢函數(shù),可寫為,，,則薛定諤方程,(1),令,(2),(3),代入(1)式可得,(4),應(yīng)用駐波邊界條件：,可得駐波解為,式中波矢的各分量分別為,(5),這里,為任意正整數(shù)，,因而,也只取正值。,由(5)式得知，,間中一

2、個(gè)狀態(tài)代表點(diǎn)所占體積為,代表金屬體體積。,由上式知道，,空間中的狀態(tài)密度等于8V。,這樣，如計(jì),入自旋，,之間的狀態(tài)數(shù),從(2)式知道，,于是，,狀態(tài)密度為,(6),另一方面，若應(yīng)用周期性邊界條件,則從(3)(4)兩式可得行波解,波矢各分量分別為,(7),取正負(fù)整數(shù)，電子的能量仍然表示為,從(7)式知道，在,空間中，每個(gè)狀態(tài)代表點(diǎn)所占體積為,因而,空間中的狀態(tài)密度為V，,計(jì)入自旋，,之間的,狀態(tài)數(shù)為,故狀態(tài)密度,(8),對比(6),(8)兩式知道，利用駐波邊界條件和周期性邊界條件求 出的狀態(tài)密度表示式是一樣的。,4.3 金屬鋰是體心立方晶格，晶格常數(shù)為a=3.5埃，試計(jì)算絕對零度時(shí)鋰的電子氣的

3、費(fèi)米能量 (以電子伏特表示）。,解：,體心立方,又,所以,解：,低溫下，金屬摩爾熱容量為,因,所以,可得,解：,因?yàn)?能量為E的等能面的方程式可寫為,橢球的體積為,得橢球內(nèi)所含狀態(tài)數(shù),為,之間的狀態(tài)數(shù)為,(1).解一維薛定諤方程,(1),令,(2),解：,從(1)式解得,利用周期性邊界條件,，得到,從上式可求得電子態(tài)在k空間的密度,從(2)式又知道,(3),可見能量E是波矢,的偶函數(shù)，,和,對應(yīng)同一能級(jí)，因而,在能量區(qū)間,內(nèi)的電子態(tài)數(shù),(4),式中,為電子的能態(tài)密度。,即,代入(4)式，成為,由(3)式得,于是得,計(jì)及電子的自旋，則得到能態(tài)密度為,(2).電子服從費(fèi)密統(tǒng)計(jì)。,故應(yīng)有,當(dāng)T=0K

4、時(shí)，費(fèi)密分布函數(shù),因此,(5),(3).按照定義，電子的平均能量(T=0K),利用(5)式化簡，從上式即得,（1）處于k狀態(tài)的自由電子能量為,，k為,電子波矢。,由此得到，費(fèi)密球內(nèi),證明：,當(dāng)T=0K時(shí)，電子全部占據(jù)費(fèi)密球內(nèi)各態(tài)。,空間中，狀態(tài)密度等于V，計(jì)入自旋，在波矢,的球殼內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為,在,，,電子的總能量,于是,(1),由此得到空間能量密度為,(2) 因?yàn)橘M(fèi)密球內(nèi)電子的總數(shù),(2),把(2)式代入(1)式便得電子的平均能量,設(shè)g(E)為單位體積樣品的狀態(tài)密度，當(dāng)系統(tǒng)由0K加熱直至,溫度T時(shí)，,(1),式中的f(E)是費(fèi)密分布函數(shù)。,的積分可利用如下的積分公式求得：如,，有,解：,它的總能量,(1)式已經(jīng)過部分積分，其中最后,式中y(E)為能量E的某一函數(shù)。