1、1,第一章 行列式,一. 排列與反序,二. n 階行列式的定義,三. 行列式的性質(zhì),四. 行列式的計算,行列式的概念定義,行列式的基本性質(zhì)及計算方法,2,一. 排列與反序,奇排列，偶排列,反序，反序數(shù),二. n階行列式的定義,例：34512,反序數(shù)：6,偶排列,例：五階行列式，,帶正號,3,三. 行列式的性質(zhì),性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。,性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式的值變號。,性質(zhì)5：(i) 行列式某行（列）的元全為零；(ii) 行列式有兩行（列）相同；(iii) 行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，若上述條件之一滿足，則行列式等于0 。,性質(zhì)3：用數(shù) k 乘行列式的某一行

2、（列）中所有元素，等于用數(shù) k 乘此行列式。,性質(zhì)4：如果某一行（列）是兩組數(shù)的和，則此行列式就等于兩個行列式的和，而這兩個行列式除這一行（列）以外全與原來行列式的對應(yīng)的行（列）一樣。,性質(zhì)6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一數(shù)k后再加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。,4,(1),(2),幾個重要結(jié)論：,5,(3),上三角形行列式 （主對角線下側(cè)元素都為0）,(4),下三角形行列式 （主對角線上側(cè)元素都為0）,6,四. 行列式的計算,1. 利用行列式性質(zhì)計算：,化為三角形行列式,2. 利用行列式按行按列展開定理，并結(jié)合行列式性質(zhì)進(jìn)行計算,化為箭形行列式,7,例1：,箭形行列

3、式,對第 i 列,提出公因子 ai,8,9,例2：,按第1列展開,10,按第1列展開,11,第二章 矩陣,一. 矩陣概念,二. 矩陣的基本運算,三. 逆矩陣的計算,四. 矩陣的初等變換,12,簡記為：,實矩陣: 元素是實數(shù),數(shù),一些特殊的矩陣：,零矩陣、行矩陣、列矩陣、方陣、 對角陣、單位陣,一. 矩陣概念,13,矩陣相等:,同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等,兩個矩陣同型，且對應(yīng)元素相等,矩陣加（減）法：兩個同型矩陣，對應(yīng)元素相加（減）,數(shù)與矩陣相乘：,數(shù) 與矩陣 的乘積記作 或 ，規(guī)定為,矩陣與矩陣相乘：,規(guī)定,設(shè),轉(zhuǎn)置矩陣:,把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的 新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩

4、陣，記作 或 .,二. 矩陣的基本運算,14,A是n 階方陣，,方陣的冪：,方陣的多項式：,方陣的行列式：,滿足:,15,定義：,唯一性： 若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.,判定定理:,n階方陣A可逆,且,滿足規(guī)律：,三. 逆矩陣的計算,例: 已知,求：,_,16,2. 克萊姆法則（求解線性方程組）,1. 解矩陣方程,17,具體包括：對換變換、倍乘變換、倍加變換,四. 矩陣的初等變換,即，, 用初等行變換法求矩陣的逆矩陣,18,例: 設(shè) 且 ,求矩陣X.,解：,19,第三章 線性方程組,一. 向量組的線性相關(guān)性,線性相關(guān)，線性無關(guān)的定義和判定。,至少有一個向量可由其余 m-1 個向量線性

5、表示,定理：向量組 線性相關(guān),至少存在一組不全為零的m個數(shù),使得等式,成立。,20,二. 向量組的秩、矩陣的秩及其求法,極大線性無關(guān)組：,矩陣的秩：矩陣的行秩矩陣的列秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。,向量組的秩：一個向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩。,化成行階梯形矩陣后，看非零行的行數(shù)。,如何求向量組或矩陣的秩,（將向量組寫成）矩陣,初等行變換,行階梯形矩陣,若向量組的一個部分組線性無關(guān)，但將,向量組中任何一個向量添加到這個線性無關(guān)的部分組中去，得到的都是線性相關(guān)的部分組，則稱該線性無關(guān)部分組為 向量組的極大線性無關(guān)組。,21,例：判斷下列向量組的線性相關(guān)性并求秩。 (1,0,0,2

6、,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12);,解 因為,所以, 向量組的秩等于4，故向量組線性無關(guān).,化A為階梯形，比較rA,n之間的關(guān)系,三. 線性方程組的求解,非齊次：,無窮多解,唯一解,齊次：,無窮多解,唯一解,（非零解）,四. 線性方程組解的結(jié)構(gòu),齊次：,基礎(chǔ)解系解集合中的一個極大線性無關(guān)組,通解：,非齊次：,通解：,其中 為AX=b,化B為階梯形，比較rA,rB,n之間的關(guān)系,（零解）,的一個特解； 是導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系。,無解,23,解,例. 求下列齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系和通解:,24,所以, 方程組等價于,分別取,得一個基礎(chǔ)解系為

7、:,通解:,（ 為任意常數(shù)）,25,解,例. 求下列非齊次線性方程組的通解:,26,同解方程組為:,通解為:,27,二. n維線性空間，基底與坐標(biāo),三. 基底變換與坐標(biāo)變換,一. 線性空間的概念,第四章 線性空間,線性空間，子空間,基底，維數(shù)，坐標(biāo)；,如何求基底變換的過渡矩陣；,如何求基底變換下的坐標(biāo)變換；,28,作業(yè),(1)求由基底1,2,3到基底1,2,3的過渡矩陣;,在R3中有以下兩組基底：,(2)已知向量在基1,2,3下的坐標(biāo)為(1, 2, 3)T，求 在基1,2,3 下的坐標(biāo)。,29,解：(1)基1, 2, 3到基1, 2, 3的過渡矩陣為,即：,30,在基1,2,3下的坐標(biāo)為(-1

8、/2, -7/2, 9/2)T.,(2),設(shè)在基1,2,3下的坐標(biāo)為,31,例. 設(shè),(1)在R3中求由基1, 2, 3到基1, 2, 3的過渡矩陣;,(2)求向量=(2, 5, 3)T在基1, 2, 3下的坐標(biāo).,(3)已知向量在基1, 2, 3下的坐標(biāo)為(2, 5, 3)T，求 在基1, 2, 3下的坐標(biāo)。,32,解：(1)基1, 2, 3到基1, 2, 3的過渡矩陣為,即：,33,在基1, 2, 3下的坐標(biāo)為(2, -5, 10)T.,(2),34,在基1, 2, 3下的坐標(biāo)為(8, -23, 36)T.,(3),設(shè)在基1,2,3下的坐標(biāo)為,35,二. n維線性空間V中線性變換的矩陣,一

9、. 線性變換的定義,第五章 線性變換,映射 變換 線性變換,1. 線性變換在給定基底下的矩陣,2. 線性變換在不同基底下的矩陣,相似變換,36,2. 已知R3中的線性變換 使得,求 T 在 下的矩陣.,其中：,37,解：,38,三. 矩陣的對角化,1. 矩陣的特征根與特征向量,定義:,設(shè) 是 階方陣，,若數(shù) 和 維非零列向量 ，使得,成立，則稱,是方陣 的一個特征根（值），,為方陣 的對應(yīng)于特征值 的一個特征向量。,39,2. 特征根與特征向量的求法,求出 即為特征根;,把得到的特征根 代入上 式，,即為所求特征向量。,稱為矩陣 的特征方程。,40,解：A的特征方程為,(-1)2(+1)0,所以A的特征值為1=2=1, 3=-1.,對1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于,例: 求矩陣,特征根和全部特征向量， 并將其對角化。,即：,41,所以k11+k22(k1k20)是屬于