1、第五章 線性多變量系統(tǒng)的綜合與設(shè)計(jì),5.1 引言,描述,分析,解決系統(tǒng)的建模、各種數(shù)學(xué)模型(時(shí)域、頻域、內(nèi)部、外部描述)之間的相互轉(zhuǎn)換等；,研究系統(tǒng)的定量變化規(guī)律(如狀態(tài)方程的解，即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析等)和定性行為(如能控性、能觀測(cè)性、穩(wěn)定性等) ；,綜合與設(shè)計(jì),在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)(被控系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)的基礎(chǔ)上，尋求控制規(guī)律，以使系統(tǒng)具有某種期望的性能。,5.1.1 問(wèn)題的提法,給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,若再給定系統(tǒng)的某個(gè)期望的性能指標(biāo)，它既可以是時(shí)域或頻域的某種特征量(如超調(diào)量、過(guò)渡過(guò)程時(shí)間、極、零點(diǎn))，也可以是使某個(gè)性能函數(shù)取極小或極大。此時(shí)，綜合問(wèn)題就是尋求一個(gè)控制作用 ，使得在該控制作用下

2、系統(tǒng)滿(mǎn)足所給定的期望性能指標(biāo)。,對(duì)于線性輸出反饋控制律,對(duì)于線性狀態(tài)反饋控制律,由此構(gòu)成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)分別為,或,閉環(huán)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣分別為,閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣,作為綜合問(wèn)題，將必須考慮三個(gè)方面的因素，即：,1)抗外部干擾問(wèn)題；,2)抗內(nèi)部結(jié)構(gòu)與參數(shù)的攝動(dòng)問(wèn)題，即魯棒性(Robustness)問(wèn)題；,3)控制規(guī)律的工程實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。,5.1.2 性能指標(biāo)的類(lèi)型,II. 非優(yōu)化型性能指標(biāo),I. 優(yōu)化型性能指標(biāo),鎮(zhèn)定問(wèn)題:漸近穩(wěn)定作為性能指標(biāo),極點(diǎn)配置問(wèn)題:以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)作為性能指標(biāo),解耦問(wèn)題: MIMO系統(tǒng)實(shí)現(xiàn) “一個(gè)輸入只控制一個(gè)輸出”作為性能指標(biāo),跟蹤問(wèn)題:使系統(tǒng)的輸出 無(wú)靜差地跟蹤外

3、部信號(hào),稱(chēng)為最優(yōu)控制（線性二次型最優(yōu)控制，即LQ調(diào)節(jié)器問(wèn)題）。,5.1.3 研究綜合問(wèn)題的主要內(nèi)容,1、可綜合條件,2、控制規(guī)律的算法問(wèn)題,5.1.4 工程實(shí)現(xiàn)中的一些理論問(wèn)題,1、狀態(tài)重構(gòu)問(wèn)題,2、魯棒性(Robustness)問(wèn)題,3、抗外部干擾問(wèn)題,經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中，不管是頻率法還是根軌跡法，本質(zhì)上都可視為極點(diǎn)配置問(wèn)題。,5.2 極點(diǎn)配置問(wèn)題,以下僅研究控制輸入為標(biāo)量的情況！,5.2.1 問(wèn)題的提法,給定單輸入單輸出線性定常被控系統(tǒng),控制輸入由系統(tǒng)的狀態(tài)反饋確定，因此將該方法稱(chēng)為狀態(tài)反饋方法。,該閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為,將這種使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)任意配置到所期望位置的問(wèn)題，稱(chēng)極點(diǎn)配置問(wèn)

4、題。,5.2.2 可配置條件,如果選取控制規(guī)律為,現(xiàn)在考慮極點(diǎn)的可配置條件，即如下的極點(diǎn)配置定理。,定理5.1 (極點(diǎn)配置定理) 線性定常系統(tǒng)可通過(guò)線性狀態(tài)反饋任意地配置其全部極點(diǎn)的充要條件是，此被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。,證明：略,現(xiàn)在考慮單輸入單輸出系統(tǒng)極點(diǎn)配置的算法。給定線性定常系統(tǒng),第1步：考察系統(tǒng)的能控性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可按下列步驟繼續(xù)。,5.2.3 極點(diǎn)配置的算法,第3步：確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣P。,非奇異線性變換矩陣P可由下式給出,若給定的狀態(tài)方程已是能控標(biāo)準(zhǔn)形，那么P = I。,第4步：利用給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)，可寫(xiě)出期望的特征多項(xiàng)式為,閉環(huán)系

5、統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，可能更為簡(jiǎn)便。例如，若n = 3，則可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫(xiě)為,即,如果n = 2或者n = 3，這種方法非常簡(jiǎn)便（對(duì)于n =4,5,6,，這種方法可能非常繁瑣）。還有其他方法可確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。下面介紹著名的愛(ài)克曼公式，可用來(lái)確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。,5.2.4 愛(ài)克曼公式(Ackermanns Formula),考慮系統(tǒng)，重寫(xiě)為,假設(shè)該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控，又設(shè)期望閉環(huán)極點(diǎn)為,利用線性狀態(tài)反饋控制律,則所期望的特征方程為,將系統(tǒng)狀態(tài)方程改寫(xiě)為,以此式來(lái)推導(dǎo)愛(ài)克曼公式。為簡(jiǎn)化推導(dǎo)，考慮n = 3的情況。,（需要指出的是，對(duì)任意正整數(shù)，下面推導(dǎo)可方便地加以推廣。）,考慮下列

6、恒等式,可得,也可得到,由于系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，所以能控性矩陣,的逆存在。在上式兩端均左乘能控性矩陣Q的逆，可得,上式兩端左乘0 0 1，可得,重寫(xiě)為,稱(chēng)為用于確定狀態(tài)反饋增益矩陣K的愛(ài)克曼方程。,例1 考慮如下線性定常系統(tǒng),式中,所以得出detQ = -1，因此，rankQ = 3。因而該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，可任意配置極點(diǎn)。,首先需檢驗(yàn)該系統(tǒng)的能控性矩陣。由于能控性矩陣為：,用3種方法中的每一種求解,方法1：該系統(tǒng)的特征方程為：,方法2：設(shè)期望的狀態(tài)反饋增益矩陣為,并使,和期望的特征多項(xiàng)式相等，可得,因此,從中可得,或,方法3：利用愛(ài)克曼公式可得,由于,且,可得,所期望的閉環(huán)極點(diǎn)或所期望

7、狀態(tài)方程的選擇是在誤差向量的快速性和干擾、測(cè)量噪聲的靈敏性之間的一種折衷。也就是說(shuō)，如果加快誤差響應(yīng)速度，則干擾和測(cè)量噪聲的影響通常也隨之增大。,對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，矩陣K不是唯一的，而是依賴(lài)于選擇期望閉環(huán)極點(diǎn)的位置（這決定了響應(yīng)速度與阻尼），這一點(diǎn)很重要。,因此，在決定給定系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣K時(shí)，最好通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真來(lái)檢驗(yàn)系統(tǒng)在幾種不同矩陣（基于幾種不同的期望特征方程）下的響應(yīng)特性，并且選出使系統(tǒng)總體性能最好的矩陣K。,如果系統(tǒng)是2階的，那么系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性（響應(yīng)特性）正好與系統(tǒng)期望的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置聯(lián)系起來(lái)。對(duì)于更高階的系統(tǒng)，期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置不能和系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性（響應(yīng)特性）聯(lián)系起來(lái)。

8、,5.3 利用MATLAB求解極點(diǎn)配置問(wèn)題,來(lái)實(shí)現(xiàn)。,P = poly(A),A = 0 1 0; 0 0 1; -1 -5 -6； P = poly(A) P =1.0000 6.0000 5.0000 1.0000,方法1,其次，再求期望的特征方程?？啥x矩陣J，使得,故狀態(tài)反饋增益矩陣K可由下式確定：,或,如果采用愛(ài)克曼公式來(lái)確定狀態(tài)反饋增益矩陣K，必須首先計(jì)算矩陣特征方程(A)。 對(duì)于該系統(tǒng),在MATLAB中，利用Polyvalm可計(jì)算矩陣多項(xiàng)式(A)。對(duì)于給定的矩陣J，如前所示，poly(J)可計(jì)算特征多項(xiàng)式的系數(shù)。對(duì)于,利用MATLAB命令Polyvalm(Poly(J), A)，

9、可計(jì)算下列(A)，即,方法2,5.4 狀態(tài)重構(gòu)問(wèn)題與Luenberger狀態(tài)觀測(cè)器,對(duì)不能量測(cè)狀態(tài)變量的估計(jì)通常稱(chēng)為觀測(cè)。估計(jì)或者觀測(cè)狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)稱(chēng)為狀態(tài)觀測(cè)器，或簡(jiǎn)稱(chēng)觀測(cè)器。,最小階狀態(tài)觀測(cè)器或最小階觀測(cè)器；,觀測(cè)器分為：,全維狀態(tài)觀測(cè)器；,降維狀態(tài)觀測(cè)器；,5.4.1 問(wèn)題的提法,考慮如下線性定常系統(tǒng),5.4.2 全維狀態(tài)觀測(cè)器的誤差方程,觀測(cè)器的誤差方程,則有,具有任意的期望特征值。也就是說(shuō)，可以確定觀測(cè)器的增益矩陣,5.4.3 對(duì)偶問(wèn)題,考慮如下的線性定常系統(tǒng),的極點(diǎn)配置問(wèn)題。,期望特征值，,5.4.4 可觀測(cè)條件,條件為原給定系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng),是狀態(tài)完全能控的。該對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)完

10、全能控的充要條件為,這正是原系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測(cè)性條件。這意味著。系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器存在的充要條件是系統(tǒng)完全能觀測(cè)。,Bass-Gura算法； 直接代入法； 愛(ài)克曼公式 。,設(shè)計(jì)算法,5.4.5 愛(ài)克曼公式(Ackermanns Formula),極點(diǎn)配置的愛(ài)克曼公式，其結(jié)果為,考慮如下的單輸出線性定常系統(tǒng),對(duì)于以上對(duì)偶系統(tǒng),其愛(ài)克曼公式為,觀測(cè)器增益矩陣的愛(ài)克曼公式,先檢驗(yàn)?zāi)苡^測(cè)性矩陣，即,該系統(tǒng)完全能觀測(cè)，且可確定期望的觀測(cè)器增益矩陣,采用愛(ài)克曼公式,從而,或者,全維狀態(tài)觀測(cè)器,5.4.6 系統(tǒng)設(shè)計(jì)的分離性原理：觀測(cè)器的引入對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的影響,Step1：確定反饋增益矩陣K，以產(chǎn)生期望的反饋閉環(huán)

11、系統(tǒng)的特征方程；,設(shè)計(jì)過(guò)程：,Step2：是確定觀測(cè)器的增益矩陣Ke，以產(chǎn)生期望的觀測(cè)器特征方程。,且假定該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控且完全能觀測(cè)。對(duì)基于重構(gòu)狀態(tài) 的線性狀態(tài)反饋控制,對(duì)閉環(huán)反饋系統(tǒng)特征方程的影響?？紤]如下線性定常系統(tǒng),觀測(cè)器的誤差方程為,將誤差向量代入上式，得,利用該控制，狀態(tài)方程為,合并兩式可得,描述了帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。該系統(tǒng)的特征方程為,或,觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)由極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的極點(diǎn)和由觀測(cè)器設(shè)計(jì)的極點(diǎn)兩部分組成。即：極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)計(jì)是相互獨(dú)立，可分別進(jìn)行設(shè)計(jì)，并合并為觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)。稱(chēng)為系統(tǒng)設(shè)計(jì)的分離性原理，這就給閉環(huán)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來(lái)了極大

12、的方便。,觀測(cè)器極點(diǎn)的選取通常使得觀測(cè)器響應(yīng)比系統(tǒng)的響應(yīng)快得多。一個(gè)經(jīng)驗(yàn)法則是選擇觀測(cè)器的響應(yīng)至少比系統(tǒng)的響應(yīng)快2-5倍。,第六章 最優(yōu)控制,本章介紹線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題。將使用Lyapunov穩(wěn)定性方法作為線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。,6.1 線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題,在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，經(jīng)常是選擇向量 u(t)，使得給定的性能指標(biāo)達(dá)到極小?？勺C明，當(dāng)二次型性能指標(biāo)的積分限由零變化到無(wú)窮大時(shí)，如,考慮如下的線性定常系統(tǒng),式中,式中的L（x,u）是x和u的二次型函數(shù)或Hermite函數(shù)，將得到線性控制律，即,采用二次型最優(yōu)控制方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是除了系統(tǒng)不可控的情況外，所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)將是穩(wěn)定的。

13、,考慮系統(tǒng)性能指標(biāo)為,式中，Q為正定（或正半定）Hermite或?qū)崒?duì)稱(chēng)矩陣，R為正定Hermite或?qū)崒?duì)稱(chēng)矩陣，u是無(wú)約束的向量。最優(yōu)控制系統(tǒng)使性能指標(biāo)達(dá)到極小，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,解決此類(lèi)問(wèn)題有許多不同的方法，這里介紹一種基于李亞普夫諾夫第二法的解法。,是相同的。,以下討論二次型最優(yōu)控制問(wèn)題，將采用復(fù)二次型性能指標(biāo)（Hermite性能指標(biāo)），而非實(shí)二次型性能指標(biāo)，因?yàn)閺?fù)二次型性能指標(biāo)包含作為特例的實(shí)二次型性能指標(biāo)。對(duì)于含有實(shí)向量和實(shí)矩陣的系統(tǒng)，這與下述性能指標(biāo),如果能用Lyapunov第二法作為最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，就能保證系統(tǒng)正常工作，也就是說(shuō)，系統(tǒng)輸出將能連續(xù)地朝所希望的狀態(tài)轉(zhuǎn)移。,6.1

14、.1 基于Lyapunov第二法的控制系統(tǒng)最優(yōu)化,與此不同的是先用公式表示出穩(wěn)定性條件，再在這些約束條件下設(shè)計(jì)系統(tǒng)：,從經(jīng)典理論來(lái)說(shuō)，首先設(shè)計(jì)出控制系統(tǒng)，再判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；,因此，設(shè)計(jì)出的系統(tǒng)具有固有穩(wěn)定特性的結(jié)構(gòu)。,參數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題,對(duì)于一大類(lèi)控制系統(tǒng)，在Lyapunov函數(shù)和用來(lái)綜合最優(yōu)控制系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)之間可找到一個(gè)直接的關(guān)系式。,6.1.2 參數(shù)最優(yōu)問(wèn)題的Lyapunov第二法的解法,下面討論Lyapunov函數(shù)和二次型性能指標(biāo)之間的直接關(guān)系，并利用這種關(guān)系求解參數(shù)最優(yōu)問(wèn)題?？紤]如下的線性系統(tǒng),達(dá)到極小，式中Q為正定（或正半定）Hermite或?qū)崒?duì)稱(chēng)矩陣。因而該問(wèn)題變?yōu)榇_定幾個(gè)可

15、調(diào)參數(shù)值，使得性能指標(biāo)達(dá)到極小。,在求解該問(wèn)題時(shí)，利用Lyapunov函數(shù)是很有效的。假設(shè),式中，P是一個(gè)正定的Hermite或?qū)崒?duì)稱(chēng)矩陣，因此可得,根據(jù)Lyapunov第二法可知，如果A是穩(wěn)定矩陣，則對(duì)給定的Q，必存在一個(gè)P，使得,因此，可由該方程確定P的各元素。,性能指標(biāo)J可按,例1 研究下圖系統(tǒng)。確定阻尼0的值，使得系統(tǒng)在單位階躍輸入r(t)=1(t)作用下，性能指標(biāo),達(dá)到極小。式中的e為誤差信號(hào)，并且e =r -c。假設(shè)系統(tǒng)開(kāi)始時(shí)是靜止的。,由圖可得,或,依據(jù)誤差信號(hào)e的形式，可得,則狀態(tài)方程為,式中,這里,性能指標(biāo)J可寫(xiě)為,式中的P由下式確定,由于A是穩(wěn)定矩陣，所以J的值取為,定義如

16、下?tīng)顟B(tài)變量,即,性能指標(biāo)J為,可得,6.1.3 二次型最優(yōu)控制問(wèn)題,已知系統(tǒng)方程為,確定最優(yōu)控制向量,的矩陣K，使得性能指標(biāo),求解最優(yōu)控制問(wèn)題可得,依照解參數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題時(shí)的討論，取,將控制代入指標(biāo)，可得,式中的P是正定的Hermite或?qū)崒?duì)稱(chēng)矩陣。則,滿(mǎn)足上式的正定矩陣P。,比較上式兩端，并注意到方程對(duì)任意x均應(yīng)成立，這就要求,因此，由上式確定P的各元素，并檢驗(yàn)其是否為正定的（可能不止一個(gè)矩陣P滿(mǎn)足該方程。若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則總存在一正定矩陣P滿(mǎn)足該方程。即，若解該方程并能找到一個(gè)正定矩陣P，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。必須丟棄非正定的P ）。,性能指標(biāo)可計(jì)算為,于是，性能指標(biāo)J可根據(jù)初始條件x(0)和P

17、求得。,式中T是非奇異矩陣。,為求二次型最優(yōu)控制問(wèn)題的解，可按下列步驟操作： 由于所設(shè)的R是正定Hermite或?qū)崒?duì)稱(chēng)矩陣，可將其寫(xiě)為,于是有,上式也可寫(xiě)為,求J對(duì)K的極小值，即求下式對(duì)K的極小值,給出最優(yōu)矩陣K。所以，當(dāng)二次型最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)控制律是線性的，并由,給出。式中矩陣P必須滿(mǎn)足下列退化矩陣?yán)杩ㄌ岱匠?設(shè)計(jì)方法1步驟如下：,2、將矩陣P代入,1、求解退化矩陣?yán)杩ㄌ崾?設(shè)計(jì)方法2步驟如下：,1、由作為K的函數(shù)的下式中確定矩陣P。,2、將矩陣P代入下式,于是性能指標(biāo)成為K的一個(gè)函數(shù)。,為極小。,3、確定K的各元素，使得性能指標(biāo)為極小。,如果性能指標(biāo)由輸出向量形式給出，而不是由狀態(tài)向量的形式給出，即,仍可用本節(jié)介紹的設(shè)計(jì)步驟來(lái)求最優(yōu)矩陣K。,式中,由圖可看出，被控對(duì)象的狀態(tài)方程為,式中,重寫(xiě)退化矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程,注意到A為實(shí)矩陣，Q為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，P為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。因此，上式可寫(xiě)為,該方程可簡(jiǎn)化為,最優(yōu)反饋增益矩陣K為,因此，最優(yōu)控制信號(hào)為,6.2 二次型最優(yōu)控制問(wèn)題的MATLAB解法,可解連續(xù)時(shí)間的線性