1、解題能力的培養(yǎng),劉育新,一、數(shù)學(xué)教師為什么要解題,最后，只有具備一定的解題能力，才能贏得學(xué)生的尊敬與愛戴,首先，數(shù)學(xué)教師只有親身經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過(guò)程，才能有效地引導(dǎo)、啟發(fā)、幫助，甚至鑒別學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng),其次，只有親身經(jīng)歷解決問題的過(guò)程，才能更好地了解學(xué)生在解決問題過(guò)程中遇到的困難和障礙.,第三，只有具備一定的解題能力，才會(huì)有興趣并讀好數(shù)學(xué)專業(yè)書籍.,二、數(shù)學(xué)教師應(yīng)解一些什么樣的題,第四，數(shù)學(xué)教師應(yīng)欣賞并解答一定數(shù)量的歷史名題.,首先，數(shù)學(xué)教師要有選擇地研究一些教材上的例題和習(xí)題，特別是教材中B、C組題、探究題、思考題等,其次，數(shù)學(xué)教師應(yīng)及時(shí)關(guān)注并解答一些重大的考試的試題

2、,第三，數(shù)學(xué)教師應(yīng)解答一定數(shù)量的競(jìng)賽試題,學(xué)生解題能力的培養(yǎng),深入理解概念與命題。深入理解數(shù)學(xué)概念和命題，這是提高解題能力的基礎(chǔ)。所謂理解，就是人們認(rèn)識(shí)事物的聯(lián)系和關(guān)系，即進(jìn)而揭露其本質(zhì)和規(guī)律的一種思維活動(dòng)。,一、理解概念，有以下幾點(diǎn)要求：,1、為什么要引入這個(gè)概念。例如講無(wú)理數(shù)時(shí)，可以 從 不能等于一個(gè)分?jǐn)?shù)，他不是循環(huán)小數(shù)，也不是有限小數(shù)，是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)引入無(wú)理數(shù)的概念，并且可以從單位正方形對(duì)角線的長(zhǎng)能用數(shù)軸上一點(diǎn)表示來(lái)說(shuō)明引入無(wú)理數(shù)概念的合理性,2、理解概念的內(nèi)涵。就是掌握概念的本質(zhì)特征。例如無(wú)理數(shù)的本質(zhì)特征是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，但由于往往難以判斷小數(shù)循不循環(huán)，因此，它的本質(zhì)特征常用“他不是

3、一個(gè)分?jǐn)?shù)就不能等于兩個(gè)整數(shù)相除”來(lái)描述。,3、掌握概念的外延。就是這個(gè)概念包括那些對(duì)象。例如， 是無(wú)理數(shù)， 、 也是無(wú)理數(shù)；是無(wú)理數(shù)，sin100也是無(wú)理數(shù)0.1010010001是無(wú)理數(shù)，0.110110011000也是無(wú)理數(shù)。這樣可使學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)有一個(gè)形象的了解。,4 、掌握概念的性質(zhì)。例如,可以把無(wú)理數(shù)與有理數(shù)加以比較，從而加深對(duì)無(wú)理數(shù)的理解。兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商、乘方都是有理數(shù)，但兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和、差、積、商、乘方就不一定是無(wú)理數(shù)；一個(gè)非零有理數(shù)與一個(gè)無(wú)理數(shù)的和、差、積、商一定是無(wú)理數(shù)；有理數(shù)的方根不一定是有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的方根一定是無(wú)理數(shù)。,理解定理、公式、法則，有以下幾點(diǎn)要求：,

4、1、掌握推導(dǎo)過(guò)程。了解定理、公式、法則的來(lái)源是理解它不可缺少的環(huán)節(jié)。,2、掌握條件和結(jié)論，這是正確運(yùn)用它的必要條件。如一元二次方程求根公式必須符合下列條件：是一元二次方程；二次項(xiàng)系數(shù)不為零；判別式必須不小于零。結(jié)論中的兩個(gè)根都滿足方程，但應(yīng)理解為x=x1滿足方程或x=x2滿足方程，而不能把答案寫成 ；有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根不能理解為一個(gè)實(shí)數(shù)根。,3、掌握適用范圍。即在什么情況下才能使用，在什么情況下可以不用；在什么情況下不能使用。例如一元二次方程求根公式是通用的公式，但是在有的情況下用因式分解或用開平方法較簡(jiǎn)單，在有的情況下可以不必化為一般形式。如（x-2）(x-1)+x=2,則(x-2)(x-1

5、)+(x-2)=0,x(x-2)=0,即x1=0,x2=2.,4、掌握變化和活用。這是在高層次上對(duì)定理、公式、法則的理解。如解方程98x2+35x-3=0時(shí)，可設(shè)y=7x，得2y2+5x-3=0,解出y1=1/2,y2=-3,分別除以7，得x1=1/14,x2=-3/7.類似這樣的問題不需要學(xué)生死記硬背，也不需要老師灌輸給學(xué)生，要讓學(xué)生自己去體會(huì)，取得經(jīng)驗(yàn)。,二、熟悉基本的解題方法,一個(gè)習(xí)題不論解答多么復(fù)雜、多么困難，都是由一些基本的解題方法組成的，只有熟練地掌握基本解題方法，才有可能提高解題能力；只有打好基礎(chǔ)，才能得到提高，不能專解難題而忽略了對(duì)基本解題方法的教學(xué)。,熟悉基本解題方法，大致經(jīng)

6、歷套用、運(yùn)用、活用幾個(gè)階段，我們?cè)诮虒W(xué)上要自覺地、有意思地進(jìn)行訓(xùn)練,1、套用就是模仿，模仿老師的講解，模仿例題，套用解題方法解題（如教材中的課堂練習(xí)、做一做），目的是在解題中理解、熟悉基本的解題方法。例如在講完一元二次方程根的判別式以后，隨即進(jìn)行一定數(shù)量的練習(xí)，使學(xué)生掌握利用一元二次方程根的判別式來(lái)判斷根的情況的方法。,2、運(yùn)用就是可以用這些方法去解決一些問題（如教科書中的作業(yè)題），這些題比練習(xí)題要復(fù)雜，難度要大。如學(xué)生在掌握一元二次方程根的判別式方法以后，可以做一些利用判別式求變量的范圍，或已知方程的根的情況證明某個(gè)式子的習(xí)題；利用根的判別式分析二次函數(shù)值的符號(hào)等。,3、活用就是靈活運(yùn)用這些

7、方法，包括這些解題方法變化的形式；變換題中的已知條件，使之適合這些解題方法；發(fā)掘習(xí)題中的隱含田間，使之便于應(yīng)用這些解題方法等。例如遇到A2=BC, A2BC,A2BC就可以聯(lián)想到判別式；遇到有關(guān)等式，不等式的題目時(shí)，也可以采用判別式作為一種解題方法。,三、精心選擇講解例題,教師精心選擇、講解例題，是為解答數(shù)學(xué)習(xí)題起示范、啟發(fā)和引導(dǎo)作用，對(duì)于提高學(xué)生解答數(shù)學(xué)習(xí)題的能力起著不可替代的作用。,選擇例題在精不在多，選擇的標(biāo)準(zhǔn)可以考慮以下幾點(diǎn)：,1、典型性。有利于學(xué)生掌握有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法；是某一類型習(xí)題的代表，不是難題、偏題、怪題，用通法可解，不需要用特殊的解法；能總結(jié)規(guī)律性的東西，以利解決其他問

8、題。,2、探索性。有一定難度，對(duì)絕大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)又不是“深不可及”的，經(jīng)過(guò)努力是可以解決的，太難、太易都不利于學(xué)生解題能力的提高。,3、多解性。最好是由多種不同的解法，以利學(xué)生發(fā)揮創(chuàng)造性。,4、拓展性。由此可以引出新的問題和進(jìn)一步的思考。例如，可以適當(dāng)改變問題的條件或結(jié)論得出新的問題等。,范例：如圖所示，證明等腰三角形ABC中底邊BC上任一點(diǎn)到兩腰AB、AC的距離PD、PE之和為定值。,此題先讓學(xué)生思考，這個(gè)定值是什么？（如點(diǎn)P取在B或C的位置，得出這個(gè)定值是等腰三角形腰上的高）,方法1：全等三角形法。如圖，作PGBF于G，證明BGPPDB。,方法2：三角形面積法。如圖連AP，把ABC分成兩個(gè)

9、三角形ABP和ACP，然后利用面積證明。,平行線法。如圖，過(guò)B作直線BG/AC，作PGBG于G。,在學(xué)生解答的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)行講評(píng)。 第一種解法應(yīng)補(bǔ)充等腰直角三角形的情況，以保證論證的嚴(yán)密性。 第二種解法具有一定的普遍性，即利用面積解題。 第三種解法比較簡(jiǎn)單，突出了問題的實(shí)質(zhì)：兩平行線間的距離相等，可以進(jìn)一步拓展。,課余可以讓學(xué)生討論： （1）ABC是正三角形時(shí)，結(jié)論又會(huì)怎樣？ （2）點(diǎn)P在ABC底邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論又如何？,如果過(guò)C作CH/AB交BC延長(zhǎng)線于H，則得一菱形ABHC，同樣，P到BH、HC的距離PG、PM之和也使兩平行線間的距離，也是定值，這樣我們就可以得到：,菱形對(duì)角線上

10、一點(diǎn)到四邊距離之和為定值。,通過(guò)每一步的研究，我們發(fā)現(xiàn)，既然是兩平行線間的距離，那么這一點(diǎn)就不一定在對(duì)角線上，這樣又得到：,菱形內(nèi)的任一點(diǎn)到四邊的距離之和為定值。,四、切實(shí)加強(qiáng)思維能力的訓(xùn)練,數(shù)學(xué)教學(xué)中，開發(fā)思維能力是培養(yǎng)能力的核心，必須得到加強(qiáng)?！皢栴}解決”的核心也是很一般的思想方法或思維模式，總之要讓學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)思維”。波利亞也認(rèn)為：“一個(gè)教師，他若要采用同樣的方法去教他所有的學(xué)生-未來(lái)用數(shù)學(xué)和不用數(shù)學(xué)的人，那么，他在教解題時(shí)應(yīng)當(dāng)教三分之一的數(shù)學(xué)和三分之二的常識(shí)（即止一般性的思想方法或思維模式）”。盡管學(xué)生參加工作后，對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，許多數(shù)學(xué)知識(shí)用不上，但數(shù)學(xué)對(duì)于人們養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣

11、以及理性思維和創(chuàng)造性才能的發(fā)展，具有特殊的意義。 下面分思維方法和思維品質(zhì)兩個(gè)方面講述加強(qiáng)思維能力的訓(xùn)練。,1、學(xué)會(huì)正確的思維方式數(shù)學(xué)思維方法是人們對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)在聯(lián)系的能動(dòng)反映。學(xué)會(huì)正確的思維方法，對(duì)于提高解題能力起著重要作用。經(jīng)常用到的有以下幾種：,A、形象思維。數(shù)學(xué)中的形象思維方法就是對(duì)數(shù)學(xué)形象（圖形、圖表、數(shù)字、數(shù)學(xué)式）進(jìn)行加工，并形成形象的方式和程序。幾何變換、圖解法、列表法等等都包含有形象思維的方法。,B、直覺思維。直覺思維是人們對(duì)外界新事物一種迅速的識(shí)別，敏銳而深入的洞察，直接的本質(zhì)理解和綜合的整體判斷。直覺思維在解答數(shù)學(xué)習(xí)題中是一種有效的思維方法，它可以幫助學(xué)生迅速而直接地找到解

12、題方法。當(dāng)然，直覺思維不一定得出正確的結(jié)論，但仍不失為一種有效的思維方法，直覺思維正確與否往往與學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、理解問題的能力、解題經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)，皆大數(shù)學(xué)系題中的猜想、聯(lián)想、類比、合情推理都包含有直覺思維的方法。,C、辯證思維。辯證思維就是用事物是相互聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展的觀點(diǎn)分析解決問題。它也是解答數(shù)學(xué)題的基本思維方法，解答數(shù)學(xué)習(xí)題中的特殊與一般、正面與反面、局部與整體、聯(lián)想與類比等無(wú)不包含有辯證思維的方法。例如：若方程 -2 -a=0有解，求a的取值范圍。此題不是一元二次方程，不能用判別式求解。如果解出x，再討論a的取值范圍將比較麻煩，我們可以先解出a，再討論a的取值范圍。,D、邏輯思維。數(shù)學(xué)中的邏輯思維方法，是對(duì)數(shù)學(xué)概念、判斷和推理進(jìn)行加工改造，以形成新的概念、判斷和推理方法。它是數(shù)學(xué)中最重要、最基本的方法。從形式邏輯的觀點(diǎn)看，他應(yīng)符合矛盾律、排中律和充分理由律。解答數(shù)學(xué)習(xí)題中的分析與綜合、歸納與演繹、比較與分類等都包含邏輯思維的方法。,2、養(yǎng)成良好的思維品質(zhì),提高解答數(shù)學(xué)習(xí)題能力，除了學(xué)會(huì)正確的思維方法外，還必須養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)，主要是思維的靈活性、深刻性、廣闊性、批判性和創(chuàng)造性。,五、鉆研典型問