1、雙曲線及其標準方程 一、教學目標(一)知識教學點使學生掌握雙曲線的定義和標準方程，以及標準方程的推導(二)能力訓練點在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，從而培養(yǎng)學生分析、歸納、推理等能力(三)學科滲透點本次課注意發(fā)揮類比和設想的作用，與橢圓進行類比、設想，使學生得到關于雙曲線的定義、標準方程一個比較深刻的認識二、教材分析1重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程(解決辦法：通過一個簡單實驗得出雙曲線，再通過設問給出雙曲線的定義；對于雙曲線的標準方程通過比較加深認識)2難點：雙曲線的標準方程的推導(解決辦法：引導學生完成，提醒學生與橢圓標準方程的推導類比)3疑點：雙曲線的方程是二次函數(shù)關系嗎？(解決辦

2、法：教師可以從引導學生回憶函數(shù)定義和觀察雙曲線圖形來解決，同時讓學生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉化為函數(shù)式)三、活動設計提問、實驗、設問、歸納定義、講解、演板、口答、重點講解、小結四、教學過程(一)復習提問1橢圓的定義是什么？(學生回答，教師板書)平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓教師要強調條件：(1)平面內；(2)到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a|F1F2|2橢圓的標準方程是什么？(學生口答，教師板書)(二)雙曲線的概念把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？1簡單

3、實驗(邊演示、邊說明)如圖2-23，定點F1、F2是兩個按釘，MN是一個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿過套管，點M移動時，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫出另一支注意：常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形這樣作出的曲線就叫做雙曲線2設問問題1：定點F1、F2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？請學生回答，不能強調“在平面內”問題2：|MF1|與|MF2|哪個大？請學生回答，不定：當M在雙曲線右支上時，|MF1|MF2|；當點M在雙曲線左支上時，|MF1|MF2|問題3：點M與定點F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|

4、？請學生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|正確表示為|MF2|-|MF1|問題4：這個常數(shù)是否會大于等于|F1F2|？請學生回答，應小于|F1F2|且大于零當常數(shù)=|F1F2|時，軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線；當常數(shù)|F1F2|時，無軌跡3定義在上述基礎上，引導學生概括雙曲線的定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記(三)雙曲線的標準方程現(xiàn)在來研究雙曲線的方程我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程這時

5、設問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引導學生給出雙曲線的方程的推導標準方程的推導：(1)建系設點取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)建立直角坐標系設M(x，y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c0)，那么F1、F2的坐標分別是(-c，0)、(c，0)又設點M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(2)點的集合由定義可知，雙曲線就是集合：P=M|MF1|-|MF2|=2a=M|MF1|-|MF2|=2a(3)代數(shù)方程(4)化簡方程(由學生演板)將這個方程移項，兩邊平方得：化簡得：兩邊再平方，整理得：(c2

6、-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)(以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導)由雙曲線定義，2c2a 即ca，所以c2-a20設c2-a2=b2(b0)，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2這就是雙曲線的標準方程兩種標準方程的比較(引導學生歸納)：教師指出：(1)雙曲線標準方程中，a0，b0，但a不一定大于b；(2)如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上(3)雙曲線標準方程中a、b、c的關系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2(四)練習與例題1求滿足下列的雙曲線的標準方程：

7、焦點F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；3已知兩點F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會出現(xiàn)什么情況？由教師講解：按定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42因為2a=12，2c=10，且2a2c所以動點無軌跡(五)小結1定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡3圖形(見圖2-25)：4焦點：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)5a、b、c的關系：c2=a2+b2；c=a2+b2五、布置作業(yè)1根據(jù)下列條件，求雙曲