1、七橋問(wèn)題與一筆畫(huà),圍場(chǎng)鎮(zhèn)中學(xué) 劉巍,現(xiàn)今的加里寧格勒，舊稱哥尼斯堡，是一座歷史名城。在十八、十九世紀(jì)，那里是東普魯士的首府，曾經(jīng)誕生和培育過(guò)許多偉大的人物。著名的哲學(xué)家，古典唯心主義的創(chuàng)始人康德，終生沒(méi)有離開(kāi)過(guò)哥尼斯堡一步!二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，德國(guó)的希爾伯特也出生于此地。,著名的哥尼斯堡大學(xué)，傍倚于兩條支流的河旁，使這一秀色怡人的區(qū)域，又增添了幾分莊重的韻味!有七座橋橫跨普累格河及其支流，其中五座把河岸和河心島連接起來(lái)。這一別致的橋群，古往今來(lái)，吸引了眾多的游人來(lái)此散步。,哥尼斯堡城景致迷人，碧波蕩漾的普累格河，橫貫其境。在河的中心有一座美麗的小島。普河的兩條支流，環(huán)繞其旁匯成大河，把

2、全城分為下圖所示的四個(gè)區(qū)域：島區(qū)(A)，島區(qū)(B)，南區(qū)(C)和北區(qū)(D)。,科技館里的模型,問(wèn)題的魔力，竟然吸引了天才的歐拉(Euler。1707-1783)。這位年輕的瑞士數(shù)學(xué)家，以其獨(dú)具的慧眼，看出了這個(gè)似乎是趣味幾何問(wèn)題的潛在意義。,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.知道“一筆畫(huà)”問(wèn)題中的基本概念，了解一筆畫(huà)的意義； 2.探索“一筆畫(huà)”的規(guī)律； 3.掌握如何判斷和畫(huà)“一筆畫(huà)”。 重難點(diǎn)： 掌握如何判斷和畫(huà)“一筆畫(huà)”。,一筆畫(huà)知識(shí),1 .點(diǎn) 線 圖 數(shù)學(xué)中,我們把由有限個(gè)點(diǎn)和連接這些點(diǎn)的線(線段或弧)所組成的圖形叫做圖；圖中的點(diǎn)叫做圖的結(jié)點(diǎn);連接兩結(jié)點(diǎn)的線叫做圖的邊。圖3(b)中有三個(gè)結(jié)點(diǎn)：E、F、G，四條

3、邊：線段EG、FG以及連接E、F的兩段弧。從圖3(a)、(b)中可以看出，任意兩點(diǎn)之間都有一條通路(即可以從一點(diǎn)出發(fā)，沿著圖的邊走到另一點(diǎn))，這樣的圖，我們稱為連通圖；而圖3(c)的一些結(jié)點(diǎn)之間不存在通路 (如M與N)，像這樣 的圖就不是連通圖。,圖3,一筆畫(huà)知識(shí),2 .何謂“一筆畫(huà)” 從圖的一點(diǎn)出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫(huà)一次，不準(zhǔn)重復(fù)。從上圖中容易看出：能一筆畫(huà)出的圖首先必須是連通圖。但是否所有連通圖都可以一筆畫(huà)出呢？,圖1,圖2,圖3,3 .奇點(diǎn) 偶點(diǎn) 為了敘述方便，我們把與奇數(shù)條邊相連的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)，把與偶數(shù)條邊相連的點(diǎn)稱為偶點(diǎn)。如圖1中的9個(gè)結(jié)點(diǎn),4個(gè)奇點(diǎn)，5個(gè)偶

4、點(diǎn)。圖2中E、G為奇點(diǎn)，其余均為偶點(diǎn)。圖3中每個(gè)點(diǎn)均為偶點(diǎn)。,這是一些平面圖形，請(qǐng)你思考圖形能否一筆畫(huà)出與什么有關(guān)？,一筆畫(huà)知識(shí),事實(shí)上，這并不是偶然現(xiàn)象。假定某個(gè)圖可以一筆畫(huà)成，且它的結(jié)點(diǎn)X即不是起點(diǎn)，也不是終點(diǎn)，而是中間點(diǎn)，那么X一定是一個(gè)偶點(diǎn)。這是因?yàn)闊o(wú)論何時(shí)通過(guò)一條邊到達(dá)X，由于不能重復(fù)，必須從另一條邊離開(kāi)X。這樣與X連結(jié)的邊一定成對(duì)出現(xiàn)，所以X必為偶點(diǎn)，也就是說(shuō)：奇點(diǎn)在一筆畫(huà)中只能作為起或終點(diǎn)。由此可以看出，在一個(gè)可以一筆畫(huà)出的圖中，奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多只有兩個(gè)。,圖形能否一筆畫(huà)與圖形的交點(diǎn)有關(guān)系： 結(jié)論：全是偶頂點(diǎn)的圖形； 只有兩個(gè)奇頂點(diǎn)的圖形。 你們能解決“七橋問(wèn)題”了嗎？ 下面分小組

5、進(jìn)行討論，看哪個(gè)小組最先得到結(jié)論。,七橋問(wèn)題的解法和歐拉定理,在七橋問(wèn)題的圖中有四個(gè)奇點(diǎn)(見(jiàn)圖2)，因此，歐拉斷言：這個(gè)圖無(wú)法一筆畫(huà)出，也即游人不可能不重復(fù)地一次走遍七座橋。,圖2,歐拉在解決七橋問(wèn)題的同時(shí)徹底地解決了一筆畫(huà)的問(wèn)題，給出了下面的歐拉定理： 凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫(huà)成；畫(huà)時(shí)可以任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一定能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫(huà)完此圖。 凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)(其余均為偶點(diǎn))的連通圖，一定可以一筆畫(huà)完；畫(huà)時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)終點(diǎn)。 其他情況的圖，都不能一筆畫(huà)出。,一筆畫(huà)問(wèn)題的解決,1、甲乙兩個(gè)郵遞員去送信，兩人以同樣的速度走遍所有的街道，甲從A點(diǎn)出發(fā)，乙從B點(diǎn)出發(fā)，最后都回到郵局（C點(diǎn)）。如果要選擇最短的線路，誰(shuí)先回到郵局？,關(guān)于一筆畫(huà)問(wèn)題的生活轉(zhuǎn)化,2、下圖是一個(gè)公園的平面圖，要使游人走遍每一條路不重復(fù)，出口和入