1、第一節(jié) n 階行列式的定義,一、二階行列式,其中元素 aij 的第一個下標 i 為行指標，第二個下標 j 為列指標。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。,為方便記,主對角線,副對角線,例如,二、三階行列式,可用下面的對角線法則記憶,例1,解,按對角線法則，有,例2 證明,證明：,中，6項的行下標全為123，而列下標分別為,在三階行列式,123，231，312 此三項均為正號 132，213，321 此三項均為負號,為了給出n 階行列式的定義，下面給出全排列及其逆序數(shù)的概念及性質。,三、全排列及其逆序數(shù),定義 由1，2， ，n 組成的有序數(shù)組稱為一個n級 全排列。記為 j1 j2 jn

2、.,例如 32541 是一個5級全排列 83251467是一個8級全排列,3級全排列的全體共有6種，分別為 123，231，312，132，213，321,n級全排列的種數(shù)為,定義 在一個排列 中，若數(shù) 則稱這兩個數(shù)組成此排列的一個逆序。,例如 排列 32514 中,我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序, n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準次序。,排列的逆序數(shù),3 2 5 1 4,定義 一個排列 j1 j2 jn 中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)。記為 （ j1 j2 jn ） 如果 （ j1 j2 jn ）為偶數(shù)，則稱此排列為偶排列。 如果 （ j1 j2 jn ）為奇數(shù)，則稱此排列為奇排

3、列。 注： （ j1 j2 jn ）= 0 時，為偶排列。,3 2 5 1 4,逆序數(shù)為3,1,故此排列的逆序數(shù)為 ( 32541)=3+1+0+1+0=5.,例如 排列 32514 中,分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼 個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，這每個 元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).,計算排列逆序數(shù)的方法,例1 計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.,解,此排列為偶排列.,解,當 時為偶排列；,當 時為奇排列.,逆序數(shù)的性質,定理1 下列結論成立,定理2一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性,例如：因為 ，所以2314是偶排列。將 3，4互換，其他元

4、素不動得新的排列2413，而 ，所以2413是奇排列。,推論1,奇排列調成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)， 偶排列調成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù).,證明,由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的 變化次數(shù),而標準排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此,知推論成立.,定理3 時，n個元素的所有排列中，奇排列和偶排列的個數(shù)相等，各為,例如在前面的三級排列中，總數(shù)為6， 奇偶排列各為3個， 奇排列為132，213，321， 偶排列為123，231，312,四、n階行列式的定義,三階行列式,說明,（1）三階行列式共有 6 項，即 項,（2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的 乘積,例如,列標排列的逆序數(shù)為,列標排列的

5、逆序數(shù)為,偶排列,奇排列,（3）當每一項行指標排列均為123時，這一項的正負號取決于列指標排列的奇偶性，偶排列帶正號，奇排列帶負號。,定義,其中 為行標排列 的逆序數(shù).,階行列式也可定義為,事實上,按行列式定義有,記,對于D中任意一項,總有且僅有 中的某一項,與之對應并相等;,反之,對于 中任意一項,也總有且僅有D中的某一項,與之對應并相等,于是D與,中的項可以一一對應并相等,從而,其中 是兩個 級排列，為行 標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和.,更一般的我們有:,說明,1、行列式是一種特定的算式，它是根據求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;,2、 階行列式是 項的代數(shù)和;,3、 階行列式的每項都是位于不同行、不同列 個元素的乘積;,4、 一階行列式 不要與絕對值記號相混淆;,5、 的符號為,例1計算對角行列式,分析,展開式中項的一般形式是,從而這個項為零，,所以 只能等于 ,同理可得,解,即行列式中不為零的項為,例2 計算上三角行列式,分析,展開式中項的一般形式是,所以不為零的項只有