1、數(shù)學(xué)直通車-隨機(jī)變量及其分布,知識(shí)體系,第一節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,1. 基本概念 (1)隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果 的量叫做隨機(jī)變量，通常用字母X,Y,表示. （2）離散型隨機(jī)變量：所有可能的取值都能 的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量. （3）離散型隨機(jī)變量的分布列：設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值 為 取每一個(gè)值 (i=1,2,n)的概率P(X= )= ,則稱表 為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列.,變化而變化,一一列出,2. 離散型隨機(jī)變量的基本性質(zhì) （1） ; (2) . 3. 兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量X的分布列為 則稱X服從兩點(diǎn)分布. 4. 超幾何分布 一般地，在含有M件次品

2、的N件產(chǎn)品中任取n件，其中恰有X件次品，則事件X=k發(fā)生的概率為 P（X=k）= ,k=0,1,2,m,0(i=1,2,n),其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*，稱分布列 為 .如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X .,超幾何分布列,服從超幾何分布,題型一 隨機(jī)變量的概念 【例1】寫出下列隨機(jī)變量可能的取值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所表示的意義. （1）一個(gè)袋中裝有2個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù); (2)投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為X，所得點(diǎn)數(shù)的最大值為Y.,典例分析,分析 (1)所取三個(gè)球中，可能有一個(gè)白球，也可能有兩個(gè)白球，還可能沒有白球. （2

3、）投擲結(jié)果為（i,j）,其中1i6,1j6,其中i,jN,投擲結(jié)果用X,Y表示.,解 (1)可取0,1,2. =0表示所取三球沒有白球; =1表示所取三球是1個(gè)白球，2個(gè)黑球; =2表示所取三球是2個(gè)白球，1個(gè)黑球. （2）X的可能取值有2,3,4,5,12,Y的可能取值為1,2,3,6.若以(i,j)表示先后投擲的兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則 X=2表示（1，1）; X=3表示（1，2），（2，1）; X=4表示（1，3），（2，2），（3，1）; X=12表示(6,6); Y=1表示（1，1）; Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）; Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，

4、1），（3，2）; Y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），（6，6），（6，5），（6，1）.,學(xué)后反思 研究隨機(jī)變量的取值關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解所定義的隨機(jī)變量的含義，明確隨機(jī)變量所取的值對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果是進(jìn)一步求隨機(jī)變量取這個(gè)值時(shí)的概率的基礎(chǔ).,舉一反三 1. 已知下列四個(gè)命題： 某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的游客數(shù)量為X； 某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為X； 某水文站觀察到一天中長(zhǎng)江的水位為X； 某立交橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)為X. 其中不是離散型隨機(jī)變量的是（ ） A. 中的X B. 中的X C. 中的X D. 中的X,解析: 中的隨機(jī)變量X可能取的值，我們都可以按一定次序一一列出，因此，它們都是離散型

5、隨機(jī)變量；中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無(wú)法按一定次序一一列出，故X不是離散型隨機(jī)變量.,答案: C,題型二 求離散型隨機(jī)變量的分布列 【例2】已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列.,分析 本題主要考查互斥事件、獨(dú)立事件離散型隨機(jī)變量的分布列，考查運(yùn)用概率的知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.,解 可能取的值為0,1,2,3, P(=0)= , P(=1)=,又P(=3)= , P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3) = . 的分布列為,學(xué)后反思 求概率分布（分布列）的一般步驟

6、為： （1）明確隨機(jī)變量的取值范圍; （2）搞清楚隨機(jī)變量取每個(gè)值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率值; （3）列出分布列（一般用表格形式）; （4）檢驗(yàn)分布列（用它的兩條性質(zhì)驗(yàn)算）.,舉一反三 2. 一袋中裝有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，用X表示取出球的最大號(hào)碼，求X的分布列. 解析：隨機(jī)變量X的可能取值為3,4,5,6. 從袋中隨機(jī)取3個(gè)球，包含的基本事件總數(shù)為 ,事件“X=3”包含的基本事件總數(shù)為 ,事件“X=4”包含的基本事件總數(shù)為 ;事件“X=5”包含的基本事件總數(shù)為 ; 事件“X=6”包含的基本事件總數(shù)為 .,從而有P（X=3）

7、= ,P(X=4)= , P(X=5)= , P(X=6)= . X的分布列為,題型三 分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 【例3】若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 試求出常數(shù)c的值.,分析 利用分布列的兩個(gè)性質(zhì)， 0, 求解.,學(xué)后反思 離散型隨機(jī)變量的兩個(gè)性質(zhì)主要解決以下兩類問題: (1)通過(guò)性質(zhì)建立關(guān)系，求得參數(shù)的取值或范圍，進(jìn)一步求得概率，得出分布列; （2）求對(duì)立事件的概率或判斷某概率的成立與否.,解 由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì),可知 解得c= ,X的分布列為,舉一反三 3. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=a ，i=1,2,3,求a的值.,解析： 根據(jù)題意，得 ,解得a= .,題型四 利用隨機(jī)變

8、量的分布列解決概率問題 【例4】(12分)袋中裝有標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等.用表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字,求： （1）取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率； （2）隨機(jī)變量的概率分布； （3）計(jì)分介于20分到40分之間的概率.,分析 （1）是古典概型; （2）確定隨機(jī)變量所取的值； （3）計(jì)分介于20分到40分之間的概率等于=3與=4的概率之和.,解 (1)方法一：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，1 則P（A）= .4 方法二：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為

9、A，“一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為B，1 則事件A和事件B是互斥事件2 因?yàn)镻(B)= ,.3 所以P(A)=1-P(B)= .4,(2)由題意，所有可能的取值為2,3,4,5, P(=2)= ,.5 P(=3)= ,.6 P(=4)= ,.7 P(=5)= .8 所以隨機(jī)變量的概率分布列為 .10,(3)“一次取球所得分介于20分到40分之間”的事件記為C，則P(C)=P(=3)+P(=4)= .12,學(xué)后反思 把所求事件的概率轉(zhuǎn)化為分布列中的基本事件或由基本事件組成的事件的概率問題是用分布列解決問題的關(guān)鍵.,舉一反三 4. （2009北京模擬）一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，剩余的10張

10、抽獎(jiǎng)卡中有一等獎(jiǎng)1張，可獲500元獎(jiǎng)品，二等獎(jiǎng)3張，每張可獲100元獎(jiǎng)品，其余6張沒有獎(jiǎng)，某人從這10張卡中任意抽取2張. (1)試求出這個(gè)人中獎(jiǎng)的概率; (2)試求出這個(gè)人獲得獎(jiǎng)品的總價(jià)值X（元）的概率分布列; (3)試求出這個(gè)人獲得獎(jiǎng)品的總價(jià)值不少于200元的概率.,解析： (1)記“這個(gè)人中獎(jiǎng)”為事件A，則 P(A)=1-P( )= . (2)由題意知X的所有可能值為0,100,200,500,600,且 P(X=0)= ;P(X=100)= ; P(X=200)= ;P(X=500)= ; P(X=600)= . 故X的分布列為,(3)記“這個(gè)人獲得獎(jiǎng)品的總價(jià)值不少于200元”為事件B

11、，則P(B)=P(X=200)+P(X=500)+P(X=600)=,易錯(cuò)警示,【例】某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)的分布列.,錯(cuò)解 P(=1)=0.9,P(=2)=0.10.9=0.09, P(=3)=0.10.10.9=0.009, P(=4)= 0.9=0.000 9, P(=5)= 0.9=0.000 09,故其分布列為,錯(cuò)解分析 當(dāng)=5時(shí)，應(yīng)包含兩種情形：一是前4發(fā)都沒有命中，恰第5發(fā)命中，概率為 0.9; 二是這5發(fā)子彈均未命中目標(biāo)，概率為 ,所以P（=5）= 0.9+ =0.000 1或P(=5)=1-(0.9+0

12、.09+0.009+0.000 9)=0.000 1.,正解 錯(cuò)解中取1,2,3,4時(shí)的概率均正確，當(dāng)=5時(shí)，只要前四次射不中，都要射第5發(fā)子彈，不必考慮第5發(fā)子彈射中與否，所以P(=5)= ,從而知耗用子彈數(shù)的分布列為,考點(diǎn)演練,(2009威海模擬)在15人的數(shù)學(xué)興趣小組中，有5名三好學(xué)生，現(xiàn)從中任意選8人參加“希望杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽，一定有三好學(xué)生參加的概率 為 .,答案:,解析: “一定有三好學(xué)生參加”其實(shí)就是至少有1名三好學(xué)生參加，設(shè)選出的三好學(xué)生的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N=15，M=5，n=8.由于 P(X=1)= , P(X=2)= , P(X=3)= , P(X=4)= ,

13、 P(X=5)=,因此，一定有三好學(xué)生參加的概率為 P（X1）=P(X=1)+P(x=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) = 故一定有三好學(xué)生參加的概率為,11. (2009濟(jì)南模擬)設(shè)隨機(jī)變量的分布列P(= )=ak(k=1,2,3,4,5). （1）求常數(shù)a的值； （2）求P( ); (3)求P( ).,解析： 的分布列為 (1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a= . (2)P( )=P(= )+P(= )+P(=1) = . 或P( )=1-P( ) = . (3)因?yàn)? ),只有= , , 滿足， 故P( ) =P(= )+P(= )+P(= ) =,12. (200

14、9天津改編)在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.從這10件產(chǎn)品中任取3件，求： (1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列; (2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率.,解析： （1）由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為 ，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為 ，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X=k)= ，k=0,1,2,3. 所以隨機(jī)變量X的分布列是,(2)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件 ，“恰好取出2件一等品”為事件 ，“恰好取出3件一等品”為事件 .

15、由于事件 彼此互斥， 且A= , 而P( )= ， P( )=P(X=2)= ， P( )=P(X=3)= , 所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為 P(A)=P( )+P( )+P( ) =,第二節(jié) 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用,基礎(chǔ)梳理,1. 條件概率及其性質(zhì) （1）條件概率的定義 設(shè)A,B為兩個(gè)事件，且P（A）0,稱P（B|A）= 為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率. （2）條件概率的求法 求條件概率除了借助定義中的公式，還可以借助古典概型概率公式，即P（A|B）= (3)條件概率的性質(zhì) 條件概率具有一般概率的性質(zhì)，即 . 如果B和C是兩個(gè)互斥事件，即 P(BC|A)= .

16、,0P(B|A)1,P(B|A)+P(C|A),2. 事件的相互獨(dú)立性 設(shè)A,B為兩個(gè)事件，如果P（AB）= ,則稱事件A與事件B相互獨(dú)立. 3. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) （1）在 條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). （2）如果事件A與B相互獨(dú)立，那么 與, 與 ，與也都相互獨(dú)立. 4. 二項(xiàng)分布 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)= (k=0,1,2,n).此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作 ,并稱p為成功概率.,P(A)P(B),相同,A,B,XB（n,p）,題型一 條件概率 【例

17、1】在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品.現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件.試求: （1）第一次取到不合格品的概率; (2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率. 分析（1）是求簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率; (2)為條件概率問題，可利用條件概率的概率公式求解.,典例分析,解 設(shè)A=第一次取到不合格品,B=第二次取到不合格品. (1)P(A)= .,(2)根據(jù)條件概率的定義計(jì)算，需要先求出事件AB的概率: P(AB)= , 所以P（B|A）=,學(xué)后反思 （1）在等可能性事件的問題中，求條件概率通用的方法是利用條件概率公式P(B|A)= ，這就需要求出P(AB)和P（A），用到原

18、來(lái)的概率知識(shí). (2)本題中可以計(jì)算事件B的概率為P(B)=P(AB+ )=P(AB)+P( )= ,可見，條件概率P(B|A)P(B).,舉一反三 1. 有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，求這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率.,解析： 設(shè)種子發(fā)芽為事件A，種子成長(zhǎng)為幼苗為事件AB（發(fā)芽，又成活為幼苗），出芽后的幼苗成活率為P（B|A）=0.8,P(A)=0.9,由P（B|A）= , 得 P（AB）=P(B|A)P(A)=0.80.9=0.72. 故這粒種子成長(zhǎng)為幼苗的概率為0.72.,題型二 相互獨(dú)立事件的概率 【例2】甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員一次試跳2

19、米高度成功的概率分別為0.7、0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求： （1）甲試跳三次，第三次才成功的概率； （2）甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率； （3）甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率.,分析 因?yàn)榧?、乙兩人試跳成功與否相互之間沒有影響，每人每次的試跳成功與否也不相互影響，故應(yīng)利用獨(dú)立事件求概率的方法求解.,解 （1）記“甲第i次試跳成功”為事件 ，“乙第i次試跳成功”為事件 . 依題意得P（ ）=0.7,P( )=0.6,且 , (i=1,2,3)相互獨(dú)立， =0.30.30.7=0.063. (2)“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事

20、件C， 方法一： ,且 , , 彼此互斥， =0.70.4+0.30.6+0.70.6=0.88. 方法二： =1-0.30.4=0.88.,(3)設(shè)“甲在兩次試跳中成功i次”為事件 (i=0,1,2)，“乙在兩次試跳中成功i次”為事件 (i=0,1,2), 事件“甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次”可表示為 ,且 為互斥事件， 所求的概率為,學(xué)后反思 (1)用相互獨(dú)立事件的乘法公式解題的步驟： 用恰當(dāng)字母表示題中有關(guān)事件； 根據(jù)題設(shè)條件，分析事件間的關(guān)系； 將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積或若干個(gè)乘積之和（相互乘積的事件之間必須滿足相互獨(dú)立）；,利用乘法公式計(jì)算概率. (2

21、)兩個(gè)事件相互獨(dú)立，是指它們其中一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響.一般地，兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐录遣豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生的，而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提的.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，這一點(diǎn)與互斥事件的概率和也是不同的.,舉一反三 2. 栽培甲、乙兩種果樹，先要培育成苗，然后再進(jìn)行移栽.已知甲、乙兩種果樹成苗的概率分別為0.6,0.5,移栽后成活的概率分別為0.7,0.9. (1)求甲、乙兩種果樹至少有一種果樹成苗的概率； （2）求恰好有一種果樹能培育成苗且移栽成活的概率.,解析： 分別記甲、乙兩種果樹成苗為事件 ，甲、乙兩種

22、果樹移栽成活為事件 . P（ ）=0.6,P( )=0.5,P( )=0.7,P( )=0.9. (1)甲、乙兩種果樹至少有一種果樹成苗的概率為 1- =1-0.40.5=0.8. (2)分別記兩種果樹培育成苗且移栽成活為事件A、B，則 P(A)= =0.42,P(B)= =0.45, 恰好有一種果樹培育成苗且移栽成活的概率為 =0.420.55+0.580.45=0.492.,題型三 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 【例3】甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是23和34.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，每人各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響. （1）求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率

23、； （2）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率； （3）假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則中止其射擊.問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？,分析 （1）“至少1次未擊中”包含多種情況，可求其對(duì)立事件的概率. （2）甲恰好擊中目標(biāo)2次與乙恰好擊中目標(biāo)3次相互獨(dú)立. （3）乙恰好射擊5次被中止，相當(dāng)于前2次射擊至少有1次擊中，第3次擊中，第4次、第5次未擊中.,解 （1）記“甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1.由題意，射擊4次，相當(dāng)于做4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). 故P（ ）=1-P( )=1- ,所以甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)的概率為 . (2)記“甲射

24、擊4次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件 ,“乙射擊4次，恰有3次擊中目標(biāo)”為事件 ，則 由于甲、乙射擊相互獨(dú)立，故 所以兩人各射擊4次，甲恰有2次擊中目標(biāo)且乙恰有3次擊中目標(biāo)的概率為 .,（3）記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件 ，“乙第i次射擊未擊中”為事件 (i=1,2,3,4,5),則 ,且 . 由于各事件相互獨(dú)立，故 所以乙恰好射擊5次后被中止射擊的概率為451 024.,舉一反三 3. 甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，采用五局三勝制，若每場(chǎng)比賽中甲獲勝的概率是 ,乙獲勝的概率是 ,求比賽以甲三勝一負(fù)而結(jié)束的概率.,解析： 甲三勝一負(fù)即共進(jìn)行四局比賽，前三局甲二勝一負(fù)，第四局甲勝，所求概率為,

25、題型四 綜合應(yīng)用 【例4】(14分)一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是 . (1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列； （2）求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.,分析 (1)可看做6次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn); （2）X的取值為0,1,2,3,4,5,6; (3)可通過(guò)求對(duì)立事件的概率解決.,解 （1）將通過(guò)每個(gè)交通崗看做一次試驗(yàn)，則遇到紅燈的概率為13,且每次試驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的, 故XB(6 , ),3 以此為基礎(chǔ)求X的分布列. 由XB(6, ),P（X=k）= ，4 k=0,1,2,3,4,5,6. 所

26、以X的分布列為 .10,(2)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的事件為X1=X=1或X=2或或X=6,.12 所以其概率為 P(X1)= P(X=k) =1-P(X=0)= 14,學(xué)后反思 （1）解決概率問題要注意的“三個(gè)步驟”： 確定事件的性質(zhì).古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).把所給問題歸結(jié)為四類事件中的某一種; 判斷事件的運(yùn)算.和事件、積事件,即是至少有一個(gè)發(fā)生還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘公式; 運(yùn)用公式. 古典概型：P（A）= , 互斥事件：P（AB）=P(A)+P(B),條件概率：P（B|A）= , 獨(dú)立事件：P（AB）=P(A)P(B), n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)： (2)判斷

27、一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)： 是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn); 隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù).,舉一反三 4. （2010新鄉(xiāng)模擬）在某次世界杯上，巴西隊(duì)遇到每個(gè)對(duì)手，戰(zhàn)勝對(duì)手的概率為 ,打平對(duì)手的概率為 ,輸?shù)母怕蕿?，且獲勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，已知小組賽中每支球隊(duì)需打三場(chǎng)比賽，獲得4分以上（含4分）即可小組出線.,（1）求巴西隊(duì)小組賽結(jié)束后得5分的概率； （2）求小組賽后巴西隊(duì)得分的分布列及巴西隊(duì)小組賽出線的概率.,解析： (1)“記巴西隊(duì)小組賽結(jié)束后得5分”為事件A，必為一勝兩平， 則 故巴西隊(duì)小組賽結(jié)束后得5分的概率為 . （2）巴西隊(duì)小

28、組賽后的得分用表示，則=0,1,2,3,4,5,6,7,9. 則P（=0）= ; P（=1）= ; P（=2）= P（=3）= P（=4)=,P（=5）= ; P（=6）= ; P（=7）= ; P（=9）= . 所以的分布列為 記“巴西隊(duì)小組賽出線”為事件B. P(B)=P(4)= 故巴西隊(duì)小組賽出線的概率為 .,易錯(cuò)警示,【例】某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過(guò)，便可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止.如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過(guò)的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年內(nèi)李明參加

29、駕照考試次數(shù)的分布列，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率.,錯(cuò)解 的取值分別為1,2,3,4, =1,表示李明第一次參加駕照考試就通過(guò),P(=1)=0.6; =2，表示李明第一次考試未通過(guò)，第二次考試通過(guò)， P（=2）=（1-0.6）0.7=0.28;,=3表示李明第一、二次考試未通過(guò),第三次考試通過(guò), P(=3)=（1-0.6）(1-0.7)0.8=0.096; =4表示李明前三次考試未通過(guò)，第四次考試通過(guò), P(=4)=(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)0.9=0.021 6. 故李明實(shí)際參加考試次數(shù)的分布列為 李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率為 P=1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0

30、.8)(1-0.9)=0.997 6.,錯(cuò)解分析 不會(huì)計(jì)算=4時(shí)的概率，錯(cuò)算為P（=4）=(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)0.9=0.021 6，而使各事件的概率和不為1，而實(shí)際上=4的概率計(jì)算方法有兩種，其一是前三次都未通過(guò)就必須參加第4次，而不管第4次結(jié)果如何（通過(guò)與否），其二是用間接法1-P(=1)+P(=2)+P(=3)也可得出正確結(jié)論.,正解 的取值分別為1,2,3,4. =1，表示李明第一次參加駕照考試就通過(guò)了，故P（=1）=0.6; =2，表示李明第一次考試未通過(guò)，第二次通過(guò)了，故P（=2）=（1-0.6）0.7=0.28; =3，表示李明第一、二次考試未通過(guò)，第三次通

31、過(guò)了，故P（=3）=（1-0.6）（1-0.7）0.8=0.096; =4，表示李明第一、二、三次考試都未通過(guò)，故P（=4）=（1-0.6）（1-0.7）（1-0.8）=0.024. 故李明實(shí)際參加考試次數(shù)的分布列為,李明在第一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率為 1-（1-0.6）(1-0.7)(1-0.8)(1-0.9)=0.997 6.,考點(diǎn)演練,10. (2008湖北)某籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是12,他投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率為.(用數(shù)字作答),解析: 由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式,得 .,答案:,11. 1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球

32、放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球，問：從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？,解析： 從2號(hào)箱取出紅球，有兩種互斥的情況：一是從1號(hào)箱取出紅球，二是從1號(hào)箱取出白球. 記事件A：最后從2號(hào)箱中取出的是紅球; 事件B:從1號(hào)箱中取出的是紅球. 則 , , P(A|B)= ,P(A| )= , 從而P(A)=P(AB)+P(A )= P（A|B)P(B)+P(A| )P( )=,12. 甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為12,乙每次擊中目標(biāo)的概率為23. （1）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,求X的概率分布列； （2）求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率； （3）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率.,解析：

33、 （1）X的所有可能取值為0,1,2,3,且XB(3, ). 故P（X=0）= ; P（X=1）= ; P（X=2）= ; P（X=3）= . X的概率分布列如下表： (2)乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為 (3)設(shè)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，甲擊中目標(biāo)2次且乙擊中目標(biāo)0次為事件 ,甲擊中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次為事件 ，,則A= , 為互斥事件. P（A）=P（ ）+P（ ）,第三節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差,基礎(chǔ)梳理,1. 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 (1)均值 稱EX= 為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的 .,平均水平,（2）方差 稱

34、DX= 為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的 .其 為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記作X. 2. 均值與方差的性質(zhì) （1）E（aX+b）= . (2)D(aX+b)= .(a,b為實(shí)數(shù)),平均偏離程度,算術(shù)平方根,aEX+b,3. 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 （1）若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)= ,V(X)= . (2)若XB（n,p）,則E(X)= ,V(X)= . (3)離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布，則EX=,p,p(1-p),np,np(1-p),典例分析,題型一 求隨機(jī)變量的均值 【例1】某公園有甲、乙兩個(gè)相鄰景點(diǎn)，原擬定甲景點(diǎn)內(nèi)有2個(gè)A班的同學(xué)和2個(gè)B

35、班的同學(xué)；乙景點(diǎn)內(nèi)有2個(gè)A班的同學(xué)和3個(gè)B班的同學(xué)，后由于某種原因，甲、乙兩景點(diǎn)各有一個(gè)同學(xué)交換景點(diǎn)參觀.求甲景點(diǎn)A班同學(xué)數(shù)的分布列及期望.,分析 所有可能的取值為1,2,3.,解 設(shè)甲景點(diǎn)內(nèi)A班同學(xué)數(shù)為,則 P（=1）= ,P(=2)= P(=3)= 故的分布列為 E()=,學(xué)后反思 求離散型隨機(jī)變量X的期望的步驟為： （1）理解X的意義，寫出X可能取的全部值； （2）計(jì)算出X取每一個(gè)值時(shí)的概率； （3）寫出X的分布列； （4）利用公式E(X)= 求出期望.,舉一反三 1. 某有獎(jiǎng)競(jìng)猜活動(dòng)設(shè)有A、B兩組相互獨(dú)立的問題，答對(duì)問題A可贏得獎(jiǎng)金3萬(wàn)元，答對(duì)問題B可贏得獎(jiǎng)金6萬(wàn)元.規(guī)定答題順序可任選

36、，但只有一個(gè)問題答對(duì)后才能解答下一個(gè)問題，否則中止答題.假設(shè)你答對(duì)問題A、B的概率依次為 、 .若你按先A后B的次序答題，寫出你獲得獎(jiǎng)金的數(shù)額的分布列及期望值E.,解析： 若按先A后B的次序答題，獲得獎(jiǎng)金數(shù)額的可取值為0,3(萬(wàn)元)，9（萬(wàn)元）. P（=0）= , P（=3）= , P（=9）= . 的分布列為,題型二 求隨機(jī)變量的方差 【例2】編號(hào)1，2，3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)1，2，3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生人數(shù)是X. （1）求隨機(jī)變量X的概率分布列； （2）求隨機(jī)變量X的期望與方差.,的數(shù)學(xué)期望為E=,分析 （1）隨機(jī)變量X的意義是對(duì)號(hào)入座的學(xué)生個(gè)數(shù)，所有

37、取值為0,1,3.若有兩人對(duì)號(hào)入座，則第三人必對(duì)號(hào)入座.由排列與等可能事件概率易求分布列; （2）直接利用數(shù)學(xué)期望與方差公式求解.,解 （1）P（X=0）= ,P（X=1）= , P（X=3）= , 故X的概率分布列為 (2)E(X)= V(X)=,學(xué)后反思 求離散型隨機(jī)變量X的方差的步驟： （1）寫出X的所有取值； （2）計(jì)算P（X=xi）; (3)寫出分布列，并求出期望E(X)； （4）由方差的定義求出V(X). 說(shuō)明： 若XB(n,p)，則E(X)=np，V(X)=np(1-p)；若XH(n,M,N），則E(X)= ,V(X)=,舉一反三 2. 設(shè)在15個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品，每次任

38、取1個(gè)，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的個(gè)數(shù). （1）求X的分布列； （2）求X的均值E(X)和方差V(X).,解析： (1)P(X=0)= , P(X=1)= , P(X=2)= . 故X的分布列為 (2)X的均值E(X)和方差V(X)分別為 E(X)= ; V(X)=,題型三 期望與方差性質(zhì)的應(yīng)用 【例3】（2008海南、寧夏）A、B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量X1和X2,根據(jù)市場(chǎng)分析， 和 的分布列分別為 (1)在A、B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬(wàn)元， 和 分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤(rùn)，求方差D 、D ; （2）將x（0 x100）萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，（100-

39、x）萬(wàn)元投資B項(xiàng)目，f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差的和.求f(x)的最小值，并指出x為何值時(shí)，f(x)取得最小值.,分析 (1)根據(jù)題意，利用公式E(aX+b)=aEX+b求出隨機(jī)變量Y1、Y2的分布列，進(jìn)而求出方差D 、D . (2)根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式，把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.,解 （1）由題設(shè)可知 和 的分布列分別為 =50.8+100.2=6, =20.2+80.5+120.3=8, (2)f(x) 當(dāng) 時(shí)，f(x)=3為最小值.,學(xué)后反思 在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的均值和方差時(shí)，首先要搞清其分布特征及分布列，然后準(zhǔn)確應(yīng)用公式.特別是充分利用均值和

40、方差的性質(zhì)解題，能避免繁瑣的運(yùn)算過(guò)程，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.,舉一反三 3. 若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p（0p1）,用隨機(jī)變量X表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù). （1）求方差V(X)的最大值； （2）求 的最大值.,解析： (1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0、1, 并且有P(X=1)=p,P(X=0)=1-p, 從而E(X)=0(1-p)+1p=p. D(X)= 當(dāng)p= 時(shí)，V(X)取得最大值14. (2) 0p1,當(dāng)且僅當(dāng) ,即 時(shí)取等號(hào)， 故當(dāng) 時(shí)， 取得最大值 .,題型四 期望與方差的綜合應(yīng)用 【例4】(14分)（2008廣東）隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等

41、品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而生產(chǎn)1件次品虧損2萬(wàn)元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為. (1)求的分布列； （2）求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（即的數(shù)學(xué)期望）； （3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%,一等品率提高為70%,如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？,分析 求的分布列時(shí)，要先求取各值時(shí)的概率.,解 （1）的所有可能取值有6,2,1,-21 P(=6)= =0.63,.2 P(=2)= =0.25,.3 P(=1)= =0.1,4 P(=-2)= .5

42、 故的分布列為 7,(2)E()=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34 .9 (3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x,則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為 E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01 =4.76-x(0 x0.29).12 依題意，E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.0313 所以三等品率最多為3%.14,學(xué)后反思 本題主要考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)，遷移知識(shí)的能力.解決該類實(shí)際問題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題，利用已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行處理，這也是今后高考的一大熱點(diǎn).,舉一反三 4. 某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.

43、3,一旦發(fā)生，將造成400萬(wàn)元的損失.現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用，單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬(wàn)元和30萬(wàn)元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為0.9和0.85.若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)使用、聯(lián)合使用或不采用，請(qǐng)確定哪種預(yù)防方案使總費(fèi)用最少.（總費(fèi)用=采取預(yù)防措施的費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件造成損失的期望值）,解析： (1)不采取預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用即損失期望為4000.3=120(萬(wàn)元); (2)若單獨(dú)采取預(yù)防措施甲，則預(yù)防措施費(fèi)用45萬(wàn)元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1-0.9=0.1,損失期望值為4000.1=40(萬(wàn)元)，所以總費(fèi)用為45+40=85（

44、萬(wàn)元）；,（3）若單獨(dú)采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬(wàn)元.發(fā)生突發(fā)事件的概率為1-0.85=0.15，損失期望值為4000.15=60(萬(wàn)元)，故總費(fèi)用為30+60=90(萬(wàn)元)； （4）若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為45+30=75（萬(wàn)元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為(1-0.9)(1-0.85)=0.015，損失期望值為4000.015=6（萬(wàn)元），所以總費(fèi)用為75+6=81(萬(wàn)元). 綜合(1),(2),(3),(4),比較其總費(fèi)用可知，應(yīng)選擇聯(lián)合采用甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費(fèi)用最少.,易錯(cuò)警示,【例】盒子里有大小相同的10個(gè)球，其中標(biāo)號(hào)為1的有3個(gè)球，標(biāo)號(hào)為2的有4個(gè)

45、球，標(biāo)號(hào)為5的有3個(gè)球.第1次從盒子中任取1個(gè)球，放回后第2次再任取1個(gè)球（假設(shè)取到的每個(gè)球的可能性都相同）.記第1次與第2次取得球的標(biāo)號(hào)之和為X,求隨機(jī)變量X的分布列.,錯(cuò)解 由題意可知X可取3,6,7; P(X=3)=C120.30.4=0.24; P(X=6)=C120.30.3=0.18; P(X=7)=C120.40.3=0.24. 故隨機(jī)變量X的分布列為,錯(cuò)解分析 錯(cuò)解忽視兩次取到的球的標(biāo)號(hào)相同，因而隨機(jī)變量X的取值為2,3,4,6,7,10.,正解 由題意可知，隨機(jī)變量X的取值是2,3,4,6,7,10,且P(X=2)=0.30.3=0.09, P(X=3)=C120.30.4=

46、0.24, P(X=4)=0.40.4=0.16, P(X=6)=C120.30.3=0.18, P(X=7)=C120.40.3=0.24, P(X=10)=0.30.3=0.09. 故隨機(jī)變量X的分布列為,10. 某保險(xiǎn)公司新開設(shè)了一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，若在一年內(nèi)事件E發(fā)生，該公司要賠償a元，設(shè)一年內(nèi)事件E發(fā)生的概率為p,為使公司收益的期望值等于a的10%.公司應(yīng)要求投保人交的保險(xiǎn)金為 元.,考點(diǎn)演練,解析: 設(shè)要求投保人交x元，隨機(jī)變量表示公司的收益額， 則P(=x)=1-p,P(=x-a)=p, E=x(1-p)+(x-a)p=x-ap, x-ap=0.1a,x=(0.1+p)a.,答案: (

47、0.1+p)a,11. (2009全國(guó))某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人.現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣)從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核. (1)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù); (2)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率; (3)記表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.,解析： （1）由于甲組有10名工人，乙組有5名工人，根據(jù)分層抽樣原理，若從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核，則應(yīng)從甲組抽取2名工人，乙組抽取1名工人.,(2)記A表示事件“從甲組抽取的工人中恰有1名女工人”， 則P(A)= (3)的可能取

48、值為0,1,2,3. Ai表示事件“從甲組抽取的2名工人中恰有i名男工人”，i=0,1,2. B表示事件“從乙組抽取的是1名男工人”. Ai與B獨(dú)立，i=0,1,2. P(=0)= P(=1)= P(=3)= P(=2)=1-P(=0)+P(=1)+P(=3)= .,故的分布列為 E=,12. (2008四川)設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每一位顧客購(gòu)買甲種商品的概率為0.5,購(gòu)買乙種商品的概率為0.6,且購(gòu)買甲種商品與購(gòu)買乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購(gòu)買商品也是相互獨(dú)立的. （1）求進(jìn)入商場(chǎng)的一位顧客購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的概率； （2）求進(jìn)入商場(chǎng)的一位顧客至少購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的概率； （3）

49、記表示進(jìn)入商場(chǎng)的三位顧客中至少購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布列和期望.,解析： (1)P=0.5(1-0.6)+(1-0.5)0.6=0.2+0.3=0.5. (2)P=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8. (3)B(3,0.8),可取0,1,2,3. P(=0)= P(=1)= P(=2)= P(=3)= 故的分布列為 E=30.8=2.4.,第四節(jié) 正態(tài)分布,基礎(chǔ)梳理,1. 正態(tài)曲線的定義 函數(shù) ,x(-,+)（其中實(shí)數(shù)和（0）為參數(shù)）的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線. 2. 正態(tài)分布 如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)ab,隨機(jī)變量X滿足 P(aXb)= ,(x)dx,則稱X的分布

50、為正態(tài)分布. 正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作N(, ),如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為XN(, ).,3. 正態(tài)曲線的性質(zhì) 正態(tài)曲線 ，xR有以下性質(zhì): (1)曲線位于x軸 ,與x軸不相交; (2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線 對(duì)稱; （3）曲線在 處達(dá)到峰值 ; (4)曲線與x軸之間的面積為 ; (5)當(dāng)一定時(shí)，曲線隨著的變化而沿x軸平移； (6)當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定， ，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中； ，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散. 4. 正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 （1）P(-X+)= ; （2）P(-2X+2)= ; （3）P(-3X+3

51、)= .,上方,x=,x=,1,越小,越大,0.682 6,0.954 4,0.997 4,5. 3原則 （1）3原則的含義 在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量X只取 之間的值，并簡(jiǎn)稱為3原則. (2)正態(tài)總體在(-3,+3)外取值的概率 正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間 之內(nèi)，而在此區(qū)間外取值的概率只有 ,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.,(-3,+3),(-3,+3),0.002 6,典例分析,題型一 正態(tài)曲線 【例1】若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為 . (1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式； （2）求正態(tài)變量在(-4,4上的概率.

52、,分析 要確定一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個(gè)參數(shù),的值，其中決定曲線的對(duì)稱軸的位置，則與曲線的形狀和最大值有關(guān).,解 （1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即=0.如圖所示. 由 , 得=4, 故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式為 ,xR. (2)P(-4X4)=P(0-4X0+4)=P(-X+)=0.682 6.,學(xué)后反思 (1)解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對(duì)曲線的影響. （2）正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，其中是隨機(jī)變量取值的期望，可用樣本均值去估計(jì)，是隨機(jī)變量取值的標(biāo)準(zhǔn)差，

53、可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì).,舉一反三 （2008安徽）設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N 和 的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有( ) A. B. C. D.,答案: A,解析: 正態(tài)分布函數(shù) 圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，而 =D,其大小表示變量的集中程度，值越大，數(shù)據(jù)分布越分散，圖象越“矮胖”；值越小，數(shù)據(jù)分布越集中，圖象越“瘦高”.,分析 這里=1,=2，可將所求問題的概率轉(zhuǎn)化為已知概率的三個(gè)區(qū)間.,題型二 正態(tài)分布中的概率計(jì)算 【例2】設(shè)隨機(jī)變量XN(1, ),試求: (1)P(-1X3); (2)P(3X5); (3)P(X5).,解 （1）P(-1X3)=P(1-2X1+2)=0.682 6. (2)P(3X5)=

54、P(-3X-1) = P(-3X5)-P(-1X3) = P(1-4X1+4)-0.682 6 = (0.954 4-0.682 6)=0.135 9.,(3)P(X5)=P(X-3) = 1-P(-3X5) = 1-P(1-4X1+4) = (1-0.954 4)=0.022 8.,學(xué)后反思 求正態(tài)分布下隨機(jī)變量X在某一范圍內(nèi)的概率，要借助于正態(tài)曲線的性質(zhì)，將所求問題的概率轉(zhuǎn)化為已知概率的三個(gè)區(qū)間上.,舉一反三 2. 設(shè)XN(5,1)，求P(X7).,解析： =5,=1,且P(-2X+2)=0.954 4， P(3X7)=0.954 4. P（X7）+P(X3)=1-0.954 4=0.045 6. 又P(X7)=P(X3)（根據(jù)對(duì)稱性）, P(X7)= 0.045 6=0.022 8.,題型三 正態(tài)分布的應(yīng)用 【例3】某年級(jí)的一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)近似服從N(70, ),如果規(guī)定低于60分為不及格，求： (1)成績(jī)不及格人數(shù)占的比例是多少； （2）成績(jī)?cè)?090內(nèi)的學(xué)生占多少.,分析 第（1）題首先根據(jù)正態(tài)分布N(, )在區(qū)間(-,+),(-2,+2),(-3,+3)內(nèi)取值的概率分別是68.26%，95.44%