1、理科數(shù)學(xué)歸納法知識(shí)總結(jié)一 基本概念1.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步,第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ)),第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè)),兩步缺一不可二 易錯(cuò)點(diǎn) 1.歸納起點(diǎn)易錯(cuò)（1）n未必是從n=1開始例 用數(shù)學(xué)歸納法證明：凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為點(diǎn)拔：本題的歸納起點(diǎn)n=3（2） n=1時(shí)的表達(dá)式例 用數(shù)學(xué)歸納法證明，在驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子是（ ）A. 1 B. C. D. 點(diǎn)撥 n=1時(shí)，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項(xiàng)為，左邊是，故選B2.沒有運(yùn)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：錯(cuò)證：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左=右=1，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，則當(dāng)n=k+

2、1時(shí)，綜合（1）（2），等式對(duì)所有正整數(shù)都成立點(diǎn)撥：錯(cuò)誤原因在于只有數(shù)學(xué)歸納法的形式，沒有數(shù)學(xué)歸納法的“實(shí)質(zhì)”即在歸納遞推中，沒有運(yùn)用歸納假設(shè)3 從n=k到n=k+1增加項(xiàng)錯(cuò)誤例1 已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)n=k（且為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需證明（ ）A.n=k+1時(shí)命題成立 B. n=k+2時(shí)命題成立 C. n=2k+2時(shí)命題成立 D. n=2（k+2）時(shí)命題成立點(diǎn)撥：因n是正偶數(shù)，故只需證等式對(duì)所有偶數(shù)都成立，因k的下一個(gè)偶數(shù)是k+2，故選例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由k推導(dǎo)到k+1時(shí)，不等式左邊增加的式子是 點(diǎn)撥：求即可當(dāng) n=k時(shí)， 左邊，n=k+1時(shí)，左

3、邊,故左邊增加的式子是，即三 知識(shí)應(yīng)用用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、整除性問題、幾何問題等 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例4證明不等式 (nN)3 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例5 求證：能被6 整除.例6 證明：能被整除4 用“歸納猜想證明”解決數(shù)列問題 例7在數(shù)列中，（1）寫出；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式例8 在數(shù)列中，其中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式5用“歸納猜想證明”解決幾何問題例9n個(gè)半圓的圓心在同一條直線l上，這n個(gè)半圓每兩個(gè)都相交，且都在直線l

4、的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成多少段圓?。克?練習(xí)鞏固1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(n2-1)+2(n2-22)+n(n2-n2)=(nN*).2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：123+234+n(n+1)(n+2)=(n+1)( n+2)(n+3)(nN*).3.當(dāng)n1，nN*時(shí)，求證：4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nN*)5.用數(shù)學(xué)歸納法證明 49n+16n-1能被64整除(nN*)6.用數(shù)學(xué)歸納法證明 mn+2+(m+1)2n+1能被m2+m+1整除(nN*)7.在數(shù)列中，an0,且Sn=1/2(an+)(1)求a1、a2、a3；(2)猜測(cè)出an的關(guān)系式并用數(shù)學(xué)歸納法證明。8.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜想數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式，并