1、西城區(qū)高三模擬測(cè)試 數(shù)學(xué)（理科） 2018.5第卷（選擇題 共40分）一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1若集合，則下列結(jié)論中正確的是（A） （B）（C）（D）2若復(fù)數(shù)滿足，則（A）（B）（C）（D）3下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（A）（B）（C）（D）4某正四棱錐的正（主）視圖和俯視圖如圖所示，該正四棱錐的側(cè)面積是（A） （B）（C） （D）5向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若向量與 共線，則實(shí)數(shù)（A）（B）（C）（D）6已知點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，則橢圓的離心率是（A）（B）（C）（D）7函數(shù)則“

2、”是“，使”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件8在直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，定義變換：將點(diǎn)變換為點(diǎn)，使得 其中這樣變換就將坐標(biāo)系內(nèi)的曲線變換為坐標(biāo)系內(nèi)的曲線則四個(gè)函數(shù)，在坐標(biāo)系內(nèi)的圖象，變換為坐標(biāo)系內(nèi)的四條曲線（如圖）依次是（A），（B），（C），（D）， 第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9已知圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則圓的面積為_；圓心到直線的距離為_10的展開式中的系數(shù)是_11在中，則_12設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是_13設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)槿糁本€上存在區(qū)域上的點(diǎn)，

3、則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 14地鐵某換乘站設(shè)有編號(hào)為 A，B，C，D，E 的五個(gè)安全出口若同時(shí)開放其中的兩個(gè)安全出口，疏散1000名乘客所需的時(shí)間如下：安全出口編號(hào)A，BB，CC，DD，EA，E疏散乘客時(shí)間（s）120220160140200則疏散乘客最快的一個(gè)安全出口的編號(hào)是_ 三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）求的定義域；（）若，且，求的值16（本小題滿分14分）如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？請(qǐng)說明理由17（本小題滿分13分

4、）在某地區(qū)，某項(xiàng)職業(yè)的從業(yè)者共約8.5萬(wàn)人，其中約3.4萬(wàn)人患有某種職業(yè)病為了解這種職業(yè)病與某項(xiàng)身體指標(biāo)（檢測(cè)值為不超過6的正整數(shù)）間的關(guān)系，依據(jù)是否患有職業(yè)病，使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了100名從業(yè)者，記錄他們?cè)擁?xiàng)身體指標(biāo)的檢測(cè)值，整理得到如下統(tǒng)計(jì)圖：（）求樣本中患病者的人數(shù)和圖中a，b的值；（）在該指標(biāo)檢測(cè)值為4的樣本中隨機(jī)選取2人，求這2人中有患病者的概率；（III）某研究機(jī)構(gòu)提出，可以選取常數(shù)，若一名從業(yè)者該項(xiàng)身體指標(biāo)檢測(cè)值大于，則判斷其患有這種職業(yè)?。蝗魴z測(cè)值小于，則判斷其未患有這種職業(yè)病從樣本中隨機(jī)選擇一名從業(yè)者，按照這種方式判斷其是否患有職業(yè)病寫出使得判斷錯(cuò)誤的概率最小的的值及

5、相應(yīng)的概率（只需寫出結(jié)論）18（本小題滿分14分）已知直線與拋物線相切于點(diǎn)（）求直線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)； （）設(shè)在拋物線上，為的中點(diǎn)過作軸的垂線，分別交拋物線和直線于，記的面積為，的面積為，證明：19（本小題滿分13分）已知函數(shù)，曲線在處的切線經(jīng)過點(diǎn)（）求實(shí)數(shù)的值；（）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值20（本小題滿分13分）數(shù)列：的各項(xiàng)均為整數(shù)，滿足：，且，其中 （）若，寫出所有滿足條件的數(shù)列；（）求的值；（）證明：西城區(qū)高三模擬測(cè)試數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 2018.5一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1C 2A 3D 4B 5D 6C 7A 8A 二、填空題：本大題共6小

6、題，每小題5分，共30分. 9， 10 1112（答案不唯一） 13 14D注：第9題第一空3分，第二空2分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15（本小題滿分13分）解：（）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以的定義域?yàn)?4分（） 5分 6分 7分 8分 由，得 9分 因?yàn)?，所以， 10分 所以 ，或 11分 解得 ，或（舍去） 13分16（本小題滿分14分）解：（）因?yàn)?，且， 所以 四邊形為平行四邊形，所以 2分 因?yàn)?平面， 3分所以 平面 4分（）在平面內(nèi)，過作因?yàn)?平面平面，平面平面，又 平面，所以 平面，所以 ， 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 5分

7、由題意得，所以 ，設(shè)平面的法向量為， 則 即 令，則，所以 7分平面的一個(gè)法向量為 ， 8分則 所以 二面角的余弦值 10分（）線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下： 11分解法一：設(shè)平面的法向量為， 則 即 令，則，所以 13分因?yàn)?，所以 平面與平面不可能垂直，從而線段上不存在點(diǎn)，使得平面 14分解法二：線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下： 11分假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè) ，其中設(shè) ，則有，所以 ，從而 ，所以 13分因?yàn)?平面，所以 所以有 ，因?yàn)?上述方程組無(wú)解，所以假設(shè)不成立所以 線段上不存在點(diǎn)，使得平面 14分17（本小題滿分13分）解：（）根據(jù)分層抽樣原則，容量為100的樣本

8、中，患病者的人數(shù)為人 2分， 4分（）指標(biāo)檢測(cè)數(shù)據(jù)為4的樣本中，有患病者人，未患病者人 6分設(shè)事件A為“從中隨機(jī)選擇2人，其中有患病者”則 ， 8分所以 9分（）使得判斷錯(cuò)誤的概率最小的 11分 當(dāng)時(shí)，判斷錯(cuò)誤的概率為 13分18（本小題滿分14分）解：（）由 得 2分依題意，有，且解得 3分 所以直線的方程為 4分 將 代入，解得 ， 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為 5分（）設(shè) ， 則 ，所以 7分依題意，將直線 分別代入拋物線與直線，得 ， 8分因?yàn)?， 10分 ， 12分所以 13分又 為中點(diǎn)，所以兩點(diǎn)到直線的距離相等， 所以 14分19（本小題滿分13分）解：（）的導(dǎo)函數(shù)為， 2分所以依題意，有 ， 即 ， 4分解得 5分（）由（）得當(dāng)時(shí)，所以，故單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以，故單調(diào)遞減所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減 8分因?yàn)?， 所以 最大值為 9分設(shè) ，其中 10分則 ，故 在區(qū)間上單調(diào)遞增 11分所以 ， 即 ， 12分故 最小值為 13分20（本小題滿分13分