1、第二十四章 圓,24.1.2垂直于弦的直徑,九年級(jí)數(shù)學(xué)上 新課標(biāo) 人,趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23m，你能求趙州橋主橋拱的半徑嗎？,趙州橋(如圖所示)是我國(guó)隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷史,是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.,6.圖形中的已知條件、結(jié)論分別是什么？你能用語(yǔ)言敘述這個(gè)命題嗎？,學(xué) 習(xí) 新 知,共同探究1,在自己課前準(zhǔn)備的紙片上作圖：,1.任意作一條弦AA.,2.過圓心O作弦AA的垂線，得直徑CD交AA于點(diǎn).,3.觀察圖形，你能找到哪些線段相等？,4.你能證明你的結(jié)論嗎？寫出你的證明過程.,5.如果沿著CD

2、折疊，你能不能得到相等的??？,O,A,A,C,D,M,證明：連接、，在中，,，是等腰三角形，,又，,這就是說，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)，在圓上都有關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，因此關(guān)于直線對(duì)稱.,即是的垂直平分線,結(jié)論證明,即直徑CD平分弦A 并且平分 及,把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)A重合， 、 分別與 、 重合,O,A,A,C,D,M,垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧,A,共同探究2,2.條件改為：過圓心，平分弦. 結(jié)論改為：垂直于弦，平分弦所對(duì)的劣弧，平分弦所對(duì)的優(yōu)弧. 這個(gè)命題正確嗎？結(jié)合上邊的圖形說明.,思考： .垂徑定理的條件和結(jié)論分別是什么？,條件：

3、過圓心，垂直于弦. 結(jié)論：平分弦，平分弦所對(duì)的劣弧，平分弦所對(duì)的優(yōu)弧.,3.你能用語(yǔ)言敘述這個(gè)結(jié)論嗎？ 4.為什么要求“弦不是直徑”？否則會(huì)出現(xiàn)什么情況？,推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.,共同探究3,教材例2講解 共同分析： 1.如何根據(jù)趙州橋的實(shí)物圖畫出幾何圖形？ 2.結(jié)合所畫圖形思考： （1）橋的跨度是弧所在圓的 ，弧的中點(diǎn)到弦的距離是 ,它與所在圓的 半徑之間的關(guān)系是 . （2）如何找到弧的中點(diǎn)？,（3）如何把圓的半徑轉(zhuǎn)化為三角形中的線段？ （4）構(gòu)造的直角三角形中三邊之間有什么特點(diǎn)？ （5）直角三角形中已知一邊、另外兩邊之間的關(guān)系，如何求另兩邊長(zhǎng)？,解

4、得：R273（m）,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.52+（R7.23）2,趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.,OA2 = AD2 + OD2,OD = OCCD = R7.23m,由題意可知 AB=37m，CD=7.23m，,解：如圖，用 表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為O，半徑為R經(jīng)過圓心O 作弦AB 的垂線OC，D為垂足，OC與AB 相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，D是AB的中點(diǎn)，C是 的中點(diǎn)，CD就是拱高,思考： 1.在圓中解決有關(guān)弦的問題，常作什么輔助線？ 2.在圓中解決有關(guān)弦的問題，常用什么方法？,1.圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸. 2.垂徑定理和推

5、論及它們的應(yīng)用. 3.垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，將圓的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題. 3.圓中常作輔助線連半徑、過圓心作弦的垂線.,課堂小結(jié),檢測(cè)反饋,解析：由垂徑定理可知B、D均成立；由OCEODE可得A也成立不一定成立的是OE=BE故選C,O,C,D,A,B,E,1.如圖所示，AB是O的直徑，CD是弦，CDAB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不一定成立的是（ ） A.COEDOE B.CEDE C.OEBE D.,C,2.如圖，已知O的半徑為13，弦AB長(zhǎng)為24，則點(diǎn)O到AB的距離是（ ） A.6 B.5 C.4 D.3,B,解析：過O作OCAB于C，OC過O， AC=BC= AB=12，在RtAOC中，

6、由勾股定理得： 故選B.,3.如圖所示，P為O內(nèi)一點(diǎn)，OP=3cm，O半徑為5cm，則經(jīng)過P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為_；最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為_,8cm,10cm,解析：當(dāng)弦與OP垂直時(shí)，弦最短，連接OA,由勾股定理可得，AP= =4，OPAB，AB=2AP=8，最短弦為8cm.過P點(diǎn)經(jīng)過圓心的弦最長(zhǎng)為直徑，最長(zhǎng)弦為10cm故填8cm,10cm.,4.如圖，AB是O的弦，半徑OCAB于點(diǎn)D. （1）若AB=8cm，OC=5cm,求CD的長(zhǎng)； （2）若OC=5cm，OD=3cm，求AB的長(zhǎng)； （3）若AB=8cm，CD=2cm，求O的半徑.,（3）設(shè)O的半徑為r，則OD=r-2,OCAB，AD= AB=4cm，在RtOAD中，OA2=DO2+AD2，r2=（r-2)2+42，解得r=5，O的半徑為5cm.,解：連接OA