1、,第12章 二叉樹模型介紹,2,本章主要內(nèi)容,二叉樹模型的基本思想 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價(jià) 12.2 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 12.3 兩步二叉樹 12.4 看跌期權(quán) 12.5 美式期權(quán) 12.6 Dalta 12.7 u和d的確定 12.8二叉樹其他問(wèn)題 課堂練習(xí),3,二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型,要對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，我們需要知道標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格如何變動(dòng) 簡(jiǎn)單但非常有力的一個(gè)模型是二項(xiàng)式模型 - 在每個(gè)（很短）的時(shí)間間隔期末，股票價(jià)格只能有兩個(gè)可能的取值 - 當(dāng)時(shí)間間隔足夠短，這是很好的近似 - 有利于解釋期權(quán)定價(jià)模型背后所包含的原理 - 可以用于對(duì)象美式期權(quán)這樣的衍生證券進(jìn)行定價(jià),4,把期權(quán)的有效期分為很多

2、很小的時(shí)間間隔 ，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔 內(nèi)證券價(jià)格只有兩種運(yùn)動(dòng)的可能：,1、從開始的 上升到原先的 倍，即到達(dá) ；,2、下降到原先的 倍，即 相應(yīng)地，期權(quán)價(jià)值也會(huì)有所不同， 分別為 和,5,相同期限下步長(zhǎng)越小,精確度越高,5,二叉樹模型的思想實(shí)際上是在用大量離散的小幅度二值運(yùn)動(dòng)來(lái)模擬連續(xù)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng),6,此時(shí),因?yàn)槭菬o(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，可用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，得,將 代入上式就可得到：,其中,6,無(wú)套利定價(jià)法： 構(gòu)造投資組合包括 份股票多頭和1份看漲期權(quán)空頭 當(dāng) 時(shí),股票價(jià)格的變動(dòng)對(duì)組合無(wú)影響則組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合,7,本章主要內(nèi)容,二叉樹模型的基本思想 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價(jià) 12.2 風(fēng)險(xiǎn)中性

3、定價(jià) 12.3 兩步二叉樹 12.4 看跌期權(quán) 12.5 美式期權(quán) 12.6 Dalta 12.7 u和d的確定 12.8二叉樹其他問(wèn)題 課堂練習(xí),8,假設(shè)一種股票當(dāng)前價(jià)格為$20，三個(gè)月后的價(jià)格將可能為$22或$18。 假設(shè)股票三個(gè)月內(nèi)不付紅利。 歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)格$21，有效期為三個(gè)月后以買入股票的進(jìn)行估值。,9,單步二叉樹模型,10,定價(jià)思路： 構(gòu)造一個(gè)股票和期權(quán)的組合，使得在三個(gè)月末該組合的價(jià)值是確定的。 它的收益率一定等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。 由此得出該期權(quán)的價(jià)格。 構(gòu)造組合： 該組合包含一個(gè)股股票多頭頭寸 和一個(gè)看漲期權(quán)的空頭頭寸。,11,上升時(shí)：股票價(jià)格從$20上升到$22，期權(quán)的價(jià)

4、值為$l，該證券組合的總價(jià)值為22-1； 下降時(shí)：股票價(jià)格從$20下降到$18，期權(quán)的價(jià)值為零，該證券組合的總價(jià)值為18。 如果選取某個(gè)值，以使得該組合的終值對(duì)兩個(gè)股票價(jià)格都是相等的，則該組合就是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。 221=18 =0.25,12,一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合是： 多頭：0.25股股票 空頭：一個(gè)期權(quán) 定價(jià)： 如果股票價(jià)格上升到$22，該組合的價(jià)值為： 220.25-14.5 如果股票價(jià)格下跌到$18，該組合的價(jià)值為：180.254.5 無(wú)論股票價(jià)格是上升還是下降，在期權(quán)有效期的末尾，該組合的價(jià)值總是$4.5。,13,在無(wú)套利均衡的情況下，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合的盈利必定為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 假設(shè)在這種情況下，

5、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率12。 該組合現(xiàn)在價(jià)值一定是$4.5的現(xiàn)值。 即：4.5e-0.120.25=4.3674 股票現(xiàn)在的價(jià)格已知為$20。 假設(shè)期權(quán)的價(jià)格由f來(lái)表示。 現(xiàn)在該組合的價(jià)值：200.25f=5f=4.3674 即f=0.633,14,偏離均衡價(jià)格時(shí)的套利： 如果期權(quán)的價(jià)值超過(guò)了$0.633，構(gòu)造該組合的成本就有可能低于$4.367，并將獲得超過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的額外收益； 如果期權(quán)的價(jià)值低于$0.633，那么賣空該證券組合將獲得低于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的資金。,15,單步二叉樹的一般結(jié)論,假設(shè)：期權(quán)的期限為T，U1,d1 股票上漲的比率為u-1 股票下跌的比率為1-d u+d=2,16,組合 股股票

6、多頭 期權(quán)空頭 當(dāng)股票上升，有效期末組合價(jià)值S0u-fu 當(dāng)股票下降，有效期末組合價(jià)值S0d-fd 得S0u-fu= S0d-fd,17,T0 成本S0-f 組合現(xiàn)值 得 得,18,已知 u=1.1，d=0.9，r=0.12，T=0.25，fu=1，fd=0,19,本章主要內(nèi)容,二叉樹模型的基本思想 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價(jià) 12.2 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 12.3 兩步二叉樹 12.4 看跌期權(quán) 12.5 美式期權(quán) 12.6 Dalta 12.7 u和d的確定 12.8二叉樹其他問(wèn)題 課堂練習(xí),20,風(fēng)險(xiǎn)中性,上述期權(quán)定價(jià)是根據(jù)標(biāo)的股票的價(jià)格估計(jì)期權(quán)的價(jià)值，未來(lái)上升和下降的概率已包括在股票價(jià)格

7、中，說(shuō)明，當(dāng)根據(jù)股票的價(jià)格為期權(quán)定價(jià)時(shí)，不需要股票價(jià)格上升和下降的概率。,21,E（f）=pfu+（1-p）fd，期權(quán)的預(yù)期收益 根據(jù)p的解釋，p是上升的概率，（1-p）下降的概率 得，f的價(jià)值是其未來(lái)預(yù)期收益按照無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的貼現(xiàn)值,22,風(fēng)險(xiǎn)中性,變量p解釋為股票價(jià)格上升的概率，于是變量1p，就是股票價(jià)格下降的概率。 在T時(shí)刻預(yù)期的股票價(jià)格ST： E（ST）=pS0u+(1-p)S0d 即E（ST）=pS0（u-d）+S0d 。 將 代入上式，化簡(jiǎn)得： E（ST）=S0erT 即：平均來(lái)說(shuō)，股票價(jià)格以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率增長(zhǎng)。 因此，設(shè)定上升運(yùn)動(dòng)的概率等于p就是等價(jià)于假設(shè)股票收益等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率,23,

8、風(fēng)險(xiǎn)中性的例子,S0=20 S0u=22，S0d=18 K=21 fu=1，fd=0 r=0.12，T=0.25,E（f）=pfu+（1-p）fd,24,12.2,用單步二叉樹圖說(shuō)明無(wú)套利和風(fēng)險(xiǎn)中性估值方法如何為歐式期權(quán)估值 解：在無(wú)套利方法中，我們通過(guò)期權(quán)及股票建立無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，使組合收益率等價(jià)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，從而對(duì)期權(quán)估值。 在風(fēng)險(xiǎn)中性估值方法中，我們選取二叉樹概率，以使股票的期望收益率等價(jià)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，而后通過(guò)計(jì)算期權(quán)的期望收益并以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)得到期權(quán)價(jià)值。,25,12.4,某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為$50。已知6個(gè)月后將為$45或$55。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10（連續(xù)復(fù)利）。執(zhí)行價(jià)格為$50，6個(gè)月后

9、到期的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？,-f+50=-26.16 所以，f =-50*0.5+26.16=1.16,看跌期權(quán)的價(jià)值f=（0*0.7564+5*0.2436）e-0.1*0.5 =1.16,26,12.16,某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為$50。已知在6個(gè)月后，股價(jià)將變?yōu)?60或$42。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為12（連續(xù)復(fù)利）。計(jì)算執(zhí)行價(jià)格為$48，有效期為6個(gè)月的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少。證明無(wú)套利原理和風(fēng)險(xiǎn)中性估價(jià)原理得出相同的答案。,27,12.16,28,12.16,29,12.1,股票現(xiàn)價(jià)為$40。已知在一個(gè)月后股價(jià)為$42或$38。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為8（連續(xù)復(fù)利）。執(zhí)行價(jià)格為$39的1個(gè)月期歐式看漲期權(quán)

10、的價(jià)值為多少？ 解：考慮一資產(chǎn)組合：賣空1份看漲期權(quán)；買入份股票。 若股價(jià)為$42，組合價(jià)值則為423； 若股價(jià)為$38，組合價(jià)值則為38 當(dāng)42338，即0.75時(shí)， 組合價(jià)值在任何情況下均為$28.5，其現(xiàn)值為： 28.5e0.08*0.08333=28.31 即：f4028.31 其中f為看漲期權(quán)價(jià)格。 所以，f400.75 - 28.31=$1.69 另解：（計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性概率p） 42p+38(1-p)=40erT =40e0.08*0.08333 4p=40e0.08*0.08333 -38 P=0.5669. 期權(quán)的價(jià)值應(yīng)是其預(yù)期收益以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的貼現(xiàn)值。 f=(3*0.5669+

11、0*0.4331) e-0.08*0.08333 =1.69美元,30,本章主要內(nèi)容,二叉樹模型的基本思想 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價(jià) 12.2 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 12.3 兩步二叉樹 12.4 看跌期權(quán) 12.5 美式期權(quán) 12.6 Dalta 12.7 u和d的確定 12.8二叉樹其他問(wèn)題 課堂練習(xí),31,兩步二叉樹圖的例子 1）條件： 開始的股票價(jià)格為$20，并在兩步二叉樹圖的每個(gè)單步二叉樹圖中，股票價(jià)格可以上升10或者下降10。 我們假設(shè)在每個(gè)單步二叉樹的步長(zhǎng)是三個(gè)月，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是年率12。 期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為$21,32,33,34,35,計(jì)算在節(jié)點(diǎn)B的期權(quán)價(jià)格： u=1.1,d=0.

12、9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 節(jié)點(diǎn)B的期權(quán)價(jià)格為： e-0.120.25(0.65233.2十0.34770)=2.0257 同理求出節(jié)點(diǎn)C的期權(quán)價(jià)格為：0 計(jì)算節(jié)點(diǎn)A的期權(quán)價(jià)格: 知道在節(jié)點(diǎn)B的期權(quán)價(jià)值為2.0257;以及在節(jié)點(diǎn)C的期權(quán)價(jià)值為零。 因此，節(jié)點(diǎn)A的期權(quán)價(jià)值： e-0.120.25(0.65232.0257十0.34770)=1.2823 于是期權(quán)的價(jià)格為:$1.2823,36,二叉樹的一般結(jié)論,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是r。每個(gè)單步二叉樹的時(shí)間長(zhǎng)度t,37,因?yàn)?所以 將1式，2式，帶入3式，得到,38,p2, 2p(1-p), (1-p)2是達(dá)到最后上、中、下三個(gè)節(jié)點(diǎn)

13、的概率。 衍生證券的價(jià)格等于它在它在風(fēng)險(xiǎn)中性世界的預(yù)期收益按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值。,39,12.5,某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為$100。有連續(xù)2個(gè)時(shí)間步，每個(gè)時(shí)間步的步長(zhǎng)為6個(gè)月，每個(gè)單步二叉樹預(yù)期上漲10，或下降10。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為8（連續(xù)復(fù)利）。執(zhí)行價(jià)格為$100的一年期歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少？,40,41,12.6,考慮習(xí)題12.5中的情況，執(zhí)行價(jià)格為$100的一年期歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？證明歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系。,42,12.6,43,本章主要內(nèi)容,二叉樹模型的基本思想 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價(jià) 12.2 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 12.3 兩步二叉樹 12.4 看跌

14、期權(quán) 12.5 美式期權(quán) 12.6 Dalta 12.7 u和d的確定 12.8二叉樹其他問(wèn)題 課堂練習(xí),44,看跌期權(quán)的例子P203,兩年歐式看跌期權(quán)，K=52,S0=50,t=1，股票價(jià)格或者按比例 （+-）=20%,u=1.2,d=0.8,r=0.05，風(fēng)險(xiǎn)中性概率p,45,12.9,某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為$50。已知在兩個(gè)月后，股票價(jià)格為$53或$48。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10（連續(xù)復(fù)利）。請(qǐng)用無(wú)套利原理說(shuō)明，執(zhí)行價(jià)格為$49的兩個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少？,46,12.9,u1,d1 股票上漲的比率為u-1=0.06 股票下跌的比率為1-d=0.04 u+d=2 3/50=0.06,2/

15、50=0.04,47,12.10,某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為$80。已知在4個(gè)月后，股票價(jià)格為$75或$85。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為5（連續(xù)復(fù)利）。請(qǐng)用無(wú)套利原理說(shuō)明，執(zhí)行價(jià)格為$80的4個(gè)月后到期的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？,48,12.10,49,12.12,某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為$50。有連續(xù)2個(gè)時(shí)間步，每個(gè)時(shí)間步的步長(zhǎng)為3個(gè)月，每個(gè)單步二叉樹的股價(jià)或者上漲6或者下跌5。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為5（連續(xù)復(fù)利）。執(zhí)行價(jià)格為$51,有效期為6個(gè)月的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少？,50,12.13,考慮習(xí)題12.12中的情況，執(zhí)行價(jià)格為$51，有效期為6個(gè)月的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？證明歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系

16、。如果看跌期權(quán)是美式期權(quán)，在樹圖上的任何節(jié)點(diǎn)，提前執(zhí)行期權(quán)是否會(huì)更優(yōu)呢？ 解：（1）如上題u=1.06, d=0.95,p=0.5689 計(jì)算二叉樹圖的結(jié)果如下,51,如上圖，當(dāng)?shù)竭_(dá)中間的終節(jié)點(diǎn)時(shí)，期權(quán)的損益為5150.350.65；當(dāng)?shù)竭_(dá)最低的終節(jié)點(diǎn)時(shí)，期權(quán)的損益為5145.1255.875。 因此，期權(quán)的價(jià)值為：,（3）為確定提前執(zhí)行是否會(huì)更優(yōu)，我們要計(jì)算比較每一節(jié)點(diǎn)處立即執(zhí)行期權(quán)的損益。 在C節(jié)點(diǎn)處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為5147.53.5，大于2.8664。因此，期權(quán)必須在此節(jié)點(diǎn)處被執(zhí)行，在A、B節(jié)點(diǎn)處均不執(zhí)行。,52,12.17,某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為$40。有連續(xù)2個(gè)時(shí)間步，每個(gè)時(shí)間步的步長(zhǎng)

17、為3個(gè)月，每個(gè)單位二叉樹的股價(jià)或者上漲10或者下跌10。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為12（連續(xù)復(fù)利）。 (A)執(zhí)行價(jià)格為$42的6個(gè)月期限的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？ (B)執(zhí)行價(jià)格為$42的6個(gè)月期限的美式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少？,53,54,12.17,55,12.18,用“試錯(cuò)法”來(lái)估算習(xí)題12.17中的期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為多高時(shí)，立即執(zhí)行期權(quán)是最佳的？,在此C節(jié)點(diǎn)處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為37-36=1，小于1.552. 因此美式看跌期權(quán)不會(huì)在此節(jié)點(diǎn)處被執(zhí)行。,56,（2）假設(shè)美式看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為$38，計(jì)算股價(jià)二叉樹圖的結(jié)果如下： 在此C節(jié)點(diǎn)處，立即執(zhí)行期權(quán)的損益為38362，比1.890多0.11收益。因此，美式看跌期權(quán)必須在此節(jié)點(diǎn)處被執(zhí)行。從以上分析可得，當(dāng)執(zhí)行價(jià)格高于或等于$38時(shí)，提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)都是更優(yōu)的選擇。,57,本章主要內(nèi)容,二叉樹模型的基本思想 12.1 利用二叉樹給期權(quán)定價(jià) 12.2 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 12.3 兩步二叉樹 12.4 看跌期權(quán) 12.5 美式期權(quán) 12.6 Dalta 12.7 u和d的確定 12.8二叉樹其他問(wèn)題 課堂練習(xí),58,Dalta-期權(quán)價(jià)格變化與股票價(jià)格變化之間的比率,59,結(jié)論 隨著時(shí)間而變化 Delta是為了構(gòu)造一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖，對(duì)每一個(gè)賣空的期權(quán)頭寸我們應(yīng)該持