1、.,5.4 三大抽樣分布,.,本次課教學(xué)目的： 掌握三大抽樣分布的構(gòu)造性定義并熟悉一些重要結(jié)論 重點(diǎn)難點(diǎn): 三大抽樣分布的構(gòu)造及其抽樣分布 一些重要結(jié)論 教學(xué)基本內(nèi)容及其時(shí)間分配 三大抽樣分布的構(gòu)造性定義30分鐘 定理及其三個(gè)推論以及證明70分鐘 根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)所采取的教學(xué)方法和手段: 啟發(fā)式講授，圖文結(jié)合加深對(duì)三大分布的印象,.,引 言,有許多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，這是因?yàn)檫@三個(gè)統(tǒng)計(jì)量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，他們被稱為統(tǒng)計(jì)中的“三大抽樣分布”. 若設(shè) 是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個(gè)相互獨(dú)立的樣

2、本，則此三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造及其抽樣分布如表5.4.1所示.,.,.,5.4.1 分布(卡方分布),問題：如何確定 的分布？,.,圖像： 密度函數(shù)的圖像是一個(gè)只取非負(fù)值的偏態(tài)分布,數(shù)字特征：,.,.,.,.,.,.,5.4.2 F分布,其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度.,問題：如何確定 的分布？,.,.,Z的密度函數(shù)為,.,這就是自由度為m與n的F分布的密度函數(shù)。,）,.,.,.,.,.,有F分布的構(gòu)造知，若FF(m,n),則有1/F F(n,m),故對(duì)給定,，,.,.,5.4.3 t 分布,定義5.4.3,問題：如何確定 的分布？,.,所以在上式兩邊同時(shí)關(guān)于y求導(dǎo)得t分布的密度函數(shù)為：,這

3、就是自由度為的分布的密度函數(shù)。,.,.,.,.,自由度為1的分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，它的均值不存在； 1時(shí),分布的數(shù)學(xué)期望存在且為0。 1時(shí),分布的方差存在，且為/(-2)； 當(dāng)自由度較大 時(shí)，分布可以用(0,1)分布近似 (見下頁圖),.,.,N(0，1)和t(4)的尾部概率比較,.,。,.,.,.,5.4.4 一些重要結(jié)論,.,.,令Y=AX，則由多維正態(tài)分布的性質(zhì)知Y仍服從n維正態(tài)分布， 其均值和方差分別為,.,這證明了結(jié)論（1）,這證明了結(jié)論（2）,這證明了結(jié)論（3）,.,推論5.4.1 在定理5.4.1的記號(hào)下，有,將5.4.4 左端改寫為,由于分子是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，分母的根號(hào)里是自由度為n-1的t變量除以它的自由度，且分子與分母相互獨(dú)立，由t分布定 義可知，tt（n-1），推論證完。,證明 由定理5.4.1（2）可以推出,.,.,證明: 由兩樣本獨(dú)立可知，,與,相互獨(dú)立且,由F分布定義可知FF（m-1，n-1）,.,.,證明 由,由定理5.4.1知，,獨(dú)立，,相互獨(dú)立，根據(jù)t分布的定義即可得到（5.4.8）.,.,思考題