1、電類高等數(shù)學(xué)（下）期終試卷參考解答 04.6一. 填空題:1. ; 2. p ; 3. ; 4. ; 5. 。二. 單項(xiàng)選擇題：1D ； 2. A ; 3. C 。 三1 。2z = 0是一級(jí)極點(diǎn)，z = 1是二級(jí)極點(diǎn) 。 ， ， ，。3 ，因?yàn)?， 所以 。4 ，當(dāng)時(shí)，有 ， ， 所以 。5， 設(shè) ，則 。四1。2對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，齊次方程的通解為 ，設(shè)非齊次方程的特解 ，代入方程求得 ，非齊次方程的通解為 。由 ，所以，所求特解為 。五 法一：，同理 y1z0n 。法二： 補(bǔ)1：，取上側(cè) ， 而 ，。六由曲線積分與路徑無(wú)關(guān)得 這是Euler方程，令 則 ，解得 ，由 ， 七由 。

2、但 。由收斂數(shù)列必有界知 。又因正項(xiàng)級(jí)數(shù) 。從而 級(jí)數(shù) 收斂 ，又 所以 收斂 ，從而 收斂。04-05-3高等數(shù)學(xué)電類期末試卷參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 05.6.23一. 填空題(本題共5小題，每小題4分，滿分2 0分)1.;2.;3.;4.;5.二. 單項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題4分，滿分1 6分) 1.C;2.B;3.D;4.B.三. (本題共5小題，每小題7分，滿分3 5分)1. 令,則, ,2. 由條件得 , 即 , 3. 而 4.(1) 將作奇延拓,再作周期延拓. , , (2), 5. (1) (2)四(本題滿分7分) 在內(nèi)有奇點(diǎn):(二級(jí)極點(diǎn)), (一級(jí)極點(diǎn)) 原式 是可去奇點(diǎn),留

3、數(shù)為0,故原積分=0. 五(本題滿分8分) 收斂域?yàn)?(2分)設(shè)則 六(本題滿分8分) 因此絕對(duì)值級(jí)數(shù)發(fā)散. , 又為L(zhǎng)eibniz型級(jí)數(shù),故收斂.而單調(diào)減少,且, 所以收斂.由收斂級(jí)數(shù)性質(zhì)知原級(jí)數(shù)收斂. 故原級(jí)數(shù)條件收斂.七(本題滿分6分)由于級(jí)數(shù)收斂,所以,因而有界.設(shè) , 則 .當(dāng)時(shí),又級(jí)數(shù)收斂,由比較判別法知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,故原級(jí)數(shù)收斂.06-07-3高數(shù)A期末試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（A） 學(xué)號(hào) 姓名 密封線一。填空題(本題共10小題，每小題3分，滿分30分)1已知曲面上一點(diǎn)處的法線垂直于平面，則，；2交換積分次序； 3設(shè)，則；4設(shè)正向閉曲線：，則曲線積分；5.設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則

4、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為； 6設(shè)，則； 7. 設(shè)，其以為周期的級(jí)數(shù)的和函數(shù)記為，則；8.設(shè)正向圓周，則； 9函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的類型是本性奇點(diǎn)（如為極點(diǎn)，應(yīng)指明是幾級(jí)極點(diǎn)），；10使二重積分的值達(dá)到最大的平面閉區(qū)域?yàn)?二(本題共2小題，每小題8分，滿分16分)11判斷級(jí)數(shù)的斂散性.解 記 ，則，而收斂，故收斂.12求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù).解 記 ，收斂區(qū)間為，在收斂區(qū)間的兩端點(diǎn)處，級(jí)數(shù)都發(fā)散，故收斂域?yàn)?，三(本題共2小題，每小題9分，滿分18分)13將函數(shù) 在上展開為以為周期的級(jí)數(shù).解 ，14將函數(shù) 在圓環(huán)域內(nèi)展開為級(jí)數(shù). 解 四（15）(本題滿分9分) 驗(yàn)證表達(dá)式 為某一函數(shù)的全微分，并求其原函數(shù)

5、.解 ，所驗(yàn)證的表達(dá)式確是某一函數(shù)的全微分. 采用湊微分法 ,故原函數(shù)為 .五（16）(本題滿分9分)利用留數(shù)計(jì)算反常積分.解 六（17）(本題滿分10分)已知流體的流速函數(shù) ，求該流體流過由上半球面與錐面 所圍立體表面的外側(cè)的流量. 解 七（18）(本題滿分8分) 設(shè)函數(shù)，且，利用二重積分證明不等式：證明 所證不等式等價(jià)于不等式： ，而其中 07-08-3高數(shù)（A）參考答案一1、 2、 3、 13 4、 5、 1 6、 7、 8、 3 9、 。二10、。 11、，。 12、時(shí)，收斂；時(shí)，發(fā)散；時(shí)，當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散。 13、條件收斂。（提示：）三14、。四15、。五16、。六17、（略）七18

6、、提示：用格林公式，再利用輪換對(duì)稱性。08-09-3高數(shù)A期末試卷（A）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)09.6.8一.填空題(本題共9小題，每小題4分，滿分36分)1. 曲面在點(diǎn)處的法線方程是；2. 設(shè)，則梯度；3. 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是，則冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是；4. 設(shè)閉曲線，取逆時(shí)針方向，則曲線積分的值是；5. 設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的充分必要條件是；6. 將函數(shù)在上展開為余弦級(jí)數(shù)，其和函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值； 7. 設(shè)為圓周，取逆時(shí)針方向，則積分的值是；8. 留數(shù)； 9.?。ㄗⅲ捍鸢覆晃ㄒ唬墒沟眉?jí)數(shù)收斂，且級(jí)數(shù)發(fā)散. 二. 計(jì)算下列各題(本題共4小題，滿分30分)10（本小題滿

7、分7分）設(shè)，其中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算.解 ，11（本小題滿分7分）判別級(jí)數(shù)的斂散性解 ，由比值法得知級(jí)數(shù)收斂。12（本小題滿分8分）判別級(jí)數(shù)是否收斂，若收斂，判別是絕對(duì)收斂，還是條件收斂？并說明理由.解 顯然，記，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，由判別法得知級(jí)數(shù)收斂，且，而級(jí)數(shù)發(fā)散，由比較判別法得知級(jí)數(shù)發(fā)散，故條件收斂。13. （本小題滿分8分） 將函數(shù)展開為以為周期的級(jí)數(shù).解 ，于是由收斂定理得： 三（14）（本題滿分7分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù).解 收斂域?yàn)?，令，則四（15）。（本題滿分7分）將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展開為級(jí)數(shù).解 五（16）. （本題滿分7分）計(jì)算 ，其中為曲線，方

8、向沿增大的方向.解 記，由公式得六（17）（本題滿分7分）計(jì)算，其中為被所截部分，取上側(cè).解 補(bǔ)一個(gè)面，取下側(cè)，由和所圍成的區(qū)域記為，由公式得七（18）（本題滿分6分）設(shè)，若存在常數(shù)，使得，則收斂.證 由于，故正數(shù)列單調(diào)遞減且有下界，數(shù)列收斂，從而得正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和收斂，即收斂，再由比較判別法得收斂. 或證 由，得正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和有上界，即得收斂，再由比較判別法得收斂. 09-10-3高數(shù)A期末試卷（A）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)10.6.29一.填空題(本題共9小題，每小題4分，滿分36分)1. 將（其中為連續(xù)函數(shù)）寫成球面坐標(biāo)系下的三次積分；2. 球面在點(diǎn)處的切平面方程為；3. 已知為某個(gè)二元函數(shù)

9、的全微分，則；4. 設(shè)，且以為周期，為的級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則，；5. 設(shè)為圓周，取逆時(shí)針方向，則；6. 留數(shù)； 7. 設(shè)，則散度；8. 設(shè)是錐面，取下側(cè)，則； 9. 設(shè)，其中，則. 二. 計(jì)算下列各題(本題共4小題，每小題7分，滿分28分)10設(shè) 是由方程所確定的隱函數(shù)，求.解 ，（2分），11計(jì)算 .解 ，原式12判斷級(jí)數(shù)的斂散性.解 ，由達(dá)朗貝爾比值判別法知級(jí)數(shù)收斂. 13. 求冪級(jí)數(shù)的收斂域（注：級(jí)數(shù)若在收斂區(qū)間的端點(diǎn)處收斂，須說明是絕對(duì)收斂還是條件收斂.）.解 ，所以，故當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)條件收斂，故收斂域?yàn)?三（14）（本題滿分7分）將在上展開成正弦級(jí)數(shù)，并在上寫出它的和函數(shù).解 ，四（15）。（本題滿分7分）將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展開為級(jí)數(shù).解 ，,五（16）（本題滿分7分）計(jì)算，其中為，方向?yàn)槟鏁r(shí)針.解 ，