1、數(shù)學大發(fā)現(xiàn) 三虛幻之數(shù)要讓人類接受到一種新數(shù)，開始往往是非常困難的，甚至還曾經(jīng)有人為此丟了性命。第一個發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的人古希臘人希帕索斯就被畢達哥拉斯的忠實信徒們拋進大海喂了鯊魚。負數(shù)雖然沒有弄出人命，但是也在好幾個世紀中把歐洲的數(shù)學家們搞得六神無主暈頭轉向。大名鼎鼎的英國數(shù)學家、牛津大學教授瓦里斯曾經(jīng)因為負數(shù)鬧了一個大笑話，他說：負數(shù)比無窮大還要大，連后來的大數(shù)學家歐拉，也對此深信不疑！直至19世紀時，有些數(shù)學家如德摩根、馬塞勒還說負數(shù)十分荒唐，主張把它從代數(shù)里驅逐出去！正當歐洲數(shù)學家們被無理數(shù)和負數(shù)弄得暈頭轉向還沒有完全清醒過來的時候，新的問題又來了，他們遇到了一種更為奇怪的數(shù)，就是負數(shù)開平方

2、。比如解方程x2+1=0，移項得x2=-1最后解出x兒當然指的是實數(shù))的平方能夠等于-1呢?最初遇到這種數(shù)的人，是法國的舒開。然而第一個認真討論這種數(shù)的，卻是文藝復興時期意大利有名的怪杰、三次方程解法獲得者之一的卡丹。卡丹在1545年提出一個問題：把10分成兩部分，使它們的面積是40。2他列出方程x(10-x)=40整理后得x-10x+40=0，結果解出這兩個根是5嘲地說：盡管我的良心會受到多大的責備，但是，的的確確5 5差不多過了100年，1637年，解析幾何的創(chuàng)始人笛卡兒才給這種虛幻之數(shù)取了一個名字叫虛數(shù)(和實數(shù)相對)。又過了140年，大數(shù)學家歐拉還是說這種數(shù)只是存在于幻想之中，并且用i(

3、imaginary虛幻)來表示它的單位牛津大學教授瓦里斯具有豐富的想象力，給虛數(shù)找到了一個更巧妙的解釋假設某人欠別人10畝地，即他有-10畝，而這-10畝地又恰好是個正方形，那么它的邊長不就是最有名的是萊布尼茲評論虛數(shù)時一段頗帶神秘色彩的話：圣靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個理想世界的端兆，那個介于存在與不存在之間的兩棲怪物，那個我們稱之為虛的-1的平方根?？?，虛數(shù)竟成了上不著天、下不著地的兩棲怪物！虛數(shù)從開始出現(xiàn)以后，經(jīng)過了兩個世紀，還是得不到人們的正式承認。大家都知道，把一個實數(shù)和一個純虛數(shù)相加，得到形式如a+bi的這種數(shù)，叫做復數(shù)。復數(shù)這個名詞是德國數(shù)學家高斯先提出的。高斯雖

4、然感到這種數(shù)有點虛無縹緲，但又覺得它很有可愛之處。你看，如果不承認這種數(shù)，代數(shù)方程便有的無解，有的一個解，有的兩個解五花八門，毫無規(guī)律可言；如果承認了它，代數(shù)方程就都有解，而且n次方程不多不少恰好有n個解！此外，對復數(shù)進行代數(shù)運算，其結果還是復數(shù)(實數(shù)和純虛數(shù)只是復數(shù)的特例)，這樣便形成了一個完整的數(shù)域。復數(shù)既然有這么多的優(yōu)越性，為什么數(shù)學家對它總是疑慮層層、遲遲不接受呢?直至19世紀中期，劍橋大學的教授們?nèi)匀槐е鴧拹旱男那椋瑢λM行抵制。簡單點說，就是因為這種數(shù)看不見，同時也用不上，缺乏實踐的基矗為此立功的是挪威測量學家末塞爾，他找到了復數(shù)的幾何表示法。眾所周知，所有實數(shù)都可以用直線上的點來

5、表示，正數(shù)用0右邊的點來表示，負數(shù)用0左邊的點表示；無理數(shù)如2，可以用單位邊長的正方形的對角線長度來表示。因為看得見，大家才不得不承認了負數(shù)和無理數(shù)。末塞爾發(fā)現(xiàn)，所有復數(shù)a+bi都可以用平面上的點來表示，而且復數(shù)a+bi與平面上的點一一對應。這樣一來，復數(shù)就找到了一個立足之地，而且開始在地圖測繪學上找到了它應用的價值。同時，數(shù)學家又找到了復數(shù)的三角表示法r(cos+sin)，其中r叫Q做復數(shù)的模，叫做幅角。后來又找到了復數(shù)的指數(shù)表示法re(e表示自然Q對數(shù)的底)。即復數(shù)z=a+bi=r(cos+isin)=re。若令r=1，=，就in i可以得到e=1，即e-1=0，這個著名的式子是歐拉得到的

6、，它把數(shù)學中五個最重要的數(shù)1，0，i，e溶為一體，被譽為整個數(shù)學中最卓越的公式之一。復數(shù)在幾何上找到了它的位置以后，人們對它就另眼相看了。從18世紀末起，以歐拉為首的一些數(shù)學家，開始發(fā)展一門新的數(shù)學分支，叫做復變函數(shù)論。大家都學過函數(shù)，但在中學里，函數(shù)自變量的取值范圍僅限于實數(shù)。如果把函數(shù)自變量z的取值范圍擴大到復數(shù)，那么這種函數(shù)就叫做復變函數(shù)。即復變函數(shù)W=f(z)，其中z，W都是復數(shù)。一個復數(shù)如果可以表示為平面上的一個點，那么自變量z的取值范圍就是平面上的一個點的集合，相應的函數(shù)W的取值范圍卻是另一個平面上的一個點的集合。從幾何角度來看，所謂復變函數(shù)，就是把甲平面上的一個圖形A(點的集合)

7、變換成乙平面上的一個圖形B(也是點的集合)。研究復變函數(shù)性質的這一門科學，就是復變函數(shù)論。19世紀以后，由于法國數(shù)學家柯西、德國數(shù)學家黎曼、魏爾斯特拉斯的巨大貢獻，復變函數(shù)論取得了飛躍的發(fā)展，并且廣泛的運用到了空氣動力學、流體力學、電學、熱學、理論物理學等方面。把這種虛幻之數(shù)第一次應用到工程部門取得重大成就的，是俄羅斯的航空之父儒可夫斯基。尼古拉葉哥洛維奇儒可夫斯基1847年1月17日生于俄國弗拉基米爾省，21歲畢業(yè)于莫斯科大學的應用數(shù)學專業(yè)。他具備多方面的才能，特別在航空專業(yè)方面很有造詣，后來就專門從事飛行的研究。1890年，儒可夫斯基在俄國自然科學家會議上作了關于飛行的理論的演說。第二年便

8、寫出了有名的關于飛行的著作論鳥之飛翔。他在長期的觀察和研究過程中，發(fā)現(xiàn)了鳥類飛行的許多奧秘，即作出了一個大膽的預言：飛機可以在空中翻筋斗，當時不少人對他的預言都持懷疑態(tài)度，根本沒有哪一個飛行員敢于冒險去嘗試。十多年以后，陸軍中尉聶斯切洛夫做了世界上第一次飛機空中翻筋斗的飛行動作，以后這種特技飛行就稱為聶斯切洛夫筋斗。儒可夫斯基的預言被證實了，他的預言就是根據(jù)復變函數(shù)的理論計算出來的。在儒可夫斯基生長的時代，飛機剛剛飛上了天。飛機為什么能飛上天，它應該怎樣設計，怎樣改進，這一切一切找不到可靠的理論根據(jù)，全憑實驗來摸索，特別是無法運用數(shù)學這個有力工具。由于盲目的實踐，所以成功的機會很少，失敗的時候

9、居多。一般的科學家都認為，飛行這門學問只能以實驗為基矗莫斯科航空學校校長勃勞茨就曾經(jīng)說過：要想依靠數(shù)學來建立航空學的某些定律，是很危險的事情。儒可夫斯基卻不相信這一套。他研究了圍繞和流過障礙物的不斷運動著的氣流分子，于1906年(就是萊特兄弟的飛機飛上天空后的第三年)發(fā)表了論文論連接渦流，成功地解決了空氣動力學的主要問題，創(chuàng)立了以空氣動力學為基礎的機翼升降原理，并找到了計算飛機翼型的方法。這一切的成就，都是依賴于那個前人感到不可捉摸的虛幻之數(shù)，以及由它延伸出來的復變函數(shù)論。儒可夫斯基翼型，依賴于有名的儒可夫斯基變換，這是一個公式線性的復變函數(shù)1 a2 W2 z其中z為自變量，W為函數(shù)a是一個常

10、數(shù)。前面說過，當自變量z的取值范圍是平面上一個點集時，函數(shù)W的取值范圍是另一平面上的一個點集。復變函數(shù)z平面上一個圖形A變換成W平面上的一個圖B(這種變換又稱為轉繪)。上述儒可夫斯基變換，能把z平面上以P(P不在坐標軸上)為圓心的圓，變成W平面上飛機翼型的截面圖。這個翼型就是有名的儒可夫斯基翼型。實際上，儒可夫斯基從理論上提出的這個翼型，要想完全照樣制作是比較困難的。實際使用的翼型是根據(jù)實驗而描出的經(jīng)驗曲線制作的。但是，由于這種理論上的翼型能夠用解析式完美地表達出來，對具有這種假想翼型的飛機性能就可以作充分的計算或估計，然后把計算的結果和實際的翼型作比較，就可以為設計出各種優(yōu)良翼型提供資料?？?/p>

11、之，有了理論的翼型，就可以指導我們的實踐，在制作翼型的過程中避免盲目性。所以儒可夫斯基翼型在航空工程學上有著重要的意義，從而為從事這項工作的人們所熟悉。1916年儒可夫斯基的重要著作航空理論基捶被譯成法文，成為航空工程師和飛機設計家的必備手冊。然而，另外有一個中學老師聲稱也會解三次方程，他便是塔塔利亞。塔塔利亞是16世紀意大利著名的靠自學成才的數(shù)學家，為三次方程求解做出了杰出的貢獻。塔塔利亞原名方塔那，出生于意大利北部的布里西亞，父親在郵局任職。他幼年時，正值意大利與法國交戰(zhàn)。有一次父母帶他逃到天主教堂避難。法軍闖進教堂，殺死他的父親，方塔那的頭部也受了重傷。是母親在尸骸堆中找到他，由于傷勢過

12、重，加上神經(jīng)受到刺激，傷愈后說話不靈，吐字不清，于是得了個綽號叫塔塔利亞(意大利語，結巴之意)。后來他就以此綽號為筆名發(fā)表文章。塔塔利亞由于幼年喪父，家境貧寒。因而經(jīng)濟拮據(jù)，沒錢買文具紙張，母親就把丈夫墳墓上的青石碑當做石板，教孩子在上面寫寫畫畫，認字學算術。小塔塔利亞天資智慧，勤奮刻苦，在數(shù)學上很有造詣，成年后就在意大利各地教授數(shù)學并以此來維持生活。他曾將歐幾里得的幾何原本譯成意大利文，還發(fā)表了不少軍事科學著作和數(shù)學論著，特別是成功地把數(shù)學理論應用于動力學中，對后來成為世界著名的物理學家的伽利略有著重要的影響。1530年，布里西亞一位中學數(shù)學教師科拉向塔塔利亞提出了兩個挑戰(zhàn)性的問題：第一，試

13、求一個數(shù)，其立方加上它的平方之二倍等于5(即求滿足方程3x+3x2=5的x值)。第二，試求三個數(shù)，其中第二個數(shù)比第一個數(shù)大2，第三個數(shù)又比第二個數(shù)大2，三數(shù)之積等于1000即求解方程x(x+2)(x+4)=1000，3 2x+6x+8x=1000。當時，類似這樣的三次方程都在數(shù)學界的禁區(qū)之內(nèi)，沒有人敢去問津。塔塔利亞出于好奇心，躍躍欲試，經(jīng)過一番推演，居然得出了答案，即：1 x2 364 64 x27 27塔塔利業(yè)求出了這兩道題的實根后，并沒有公布自己的解法。但從此以后，塔塔利亞在數(shù)學領域便開始嶄露頭角。費羅的學生菲俄聽說塔塔利亞解出了科拉的三次方程，心中很不服。他和塔塔利亞約定，于1535年

14、2月22日在米蘭市大教堂進行一場公開的數(shù)學競賽。當塔塔利亞得知菲俄是費羅教授登堂入室的弟子時，心想，競賽時菲俄難免會拿三次方程來為難自己，切不可掉以輕心。于是，他苦心鉆研三次方程的解法，晝夜不停的運算，卻毫無進展。比賽日期漸漸迫近，塔塔利亞心急如焚、惶恐不安。2月11日，他伏案通宵，鉆研到第二天早上。當他走出戶外呼吸一口新鮮空氣的時候，多日冥思苦想得不到解答的問題，竟豁然開朗，終于找到了進一步解決三次方程的辦法。塔塔利亞回憶說：我運用了自己的一切努力、勤勉和技巧，以便取得解這些方程的法測。結果很好，我在規(guī)定的期限前十天，即2月12日，就做到了這點。2月22日，米蘭的大教堂熱鬧非凡，大家都等著看

15、競賽。比賽開始了，3雙方各出了30個三次方程的題目，其中包括x+mx=n類型的方程。這些難題，使前來觀陣的人們無不搖頭咂舌，迷惑不解。可是，不到兩個小時，塔塔利亞便出人意料地宣布，30個題已全部解答出來了。眾人瞠目結舌，心中卻是贊嘆不已。然而菲俄卻一籌莫展，一道題也未解出。最后塔塔利亞以300大獲全勝。消息一經(jīng)傳出，極大地震驚了數(shù)學界。塔塔利亞在獲勝之后，再接再勵，繼續(xù)鉆研。終于在1541年得到了三次方程的公式解，打開了僵持了700多年的局面。一般一元三次方程的形式如b y3+by2+cy+d=0，設y 3b2 2b3 bc x3 327 3b 22b3 bc令p 227 33 2得新方程：x

16、+px+q=0(1)在此，只須研究這樣類型的三次方程就行了?？柕さ霓k法，是引入兩個新變量t與u。令tu 32 22 p3(2)+4(3)則為：(t 3化簡得：(t 32 p3即t 3(2)與(4)聯(lián)立，可得：u這里t、u只取正根。卡爾丹用幾何方法證明：x即為方程(1)的一個解。我們可以用牛頓二項式定理驗證(6)式成立：x3 3q 33即證明x+px+q=0將(5)、(6)式結合起來可得到：q q2 p3 qq 2p 3x 22 32 23這就是塔塔利亞-卡爾丹公式。它又可以化簡為：3 q3 qx 22這里D 23 D0時，有一實根二虛根。D0時，有三個實根。D=0時，若P=q=0，有三重零根

17、；若(q)2 23三次方程(1)應當有三個根，但卡爾丹只求出實根，是不完全的。直到21732年歐拉才得到求出全部根的方法。如果、表示1的兩個立方虛根，2即方程x+x+1=0的兩個根，則t和u的立方根寫全了分別應為：3 32 32 33 2t,tw,tw和uw,uw這樣，方程(1)的全部根應為：q qx 12 2x 22 2X 32 2b最后，由前設y 3中國剩余定理在我國古代勞動人民中，長期流傳著隔墻算、剪管術、秦王暗點兵等數(shù)學游戲。有一首孫子歌，甚至遠渡重洋，輸入日本：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百令五便得知。這些饒有趣味的數(shù)學游戲，以各種不同形式，介紹世界聞名的孫子問

18、題的解法，通俗地反映了中國古代數(shù)學一項卓越的成就。孫子問題在現(xiàn)代數(shù)論中是一個一次同余問題，它最早出現(xiàn)在我國公元四世紀的數(shù)學著作孫子算經(jīng)中。孫子算經(jīng)卷下物不知數(shù)題說：有物不知其數(shù)，三個一數(shù)余二，五個一數(shù)余三，七個一數(shù)又余二，問該物總數(shù)幾何?顯然，這相當于求不定方程組N=3x+2，N=5y+3，N=7x+2的正整數(shù)解N，或用現(xiàn)代數(shù)論符號表示，等價于解下列的一次同余組：N2(mod3)3(mod5)2(mod7)孫子算經(jīng)所給答案是N=23。由于孫子問題數(shù)據(jù)比較簡單，這個答數(shù)通過試算也可以得到。但是孫子算經(jīng)并不是這樣做的。物不知數(shù)題的術文指出解題的方法：三三數(shù)之，取數(shù)七十，與余數(shù)二相乘；五五數(shù)之，取數(shù)

19、二十一，與余數(shù)三相乘；七七數(shù)之，取數(shù)十五，與余數(shù)二相乘。將諸乘積相加，然后減去一百零五的倍數(shù)。列成算式就是：N=702+213+152-2105。這里105是模數(shù)3、5、7的最小公倍數(shù)，容易看出，孫子算經(jīng)給出的是符合條件的最小正整數(shù)。對與一般余數(shù)的情形，孫子算經(jīng)術文指出，只要把上述算法中的余數(shù)2、3、2分別換成新的余數(shù)就行了。以R、R、R 12 3表示這些余數(shù)，那么孫子算經(jīng)相當于給出公式N=70R+21R+15R-P105(P是整數(shù))1 23孫子算法的關鍵，在于70、21和15這三個數(shù)的確定。后來流傳的孫子歌中所說七下媳、廿一枝和正半月，就是暗指這三個關鍵的數(shù)字。孫子算經(jīng)沒有說明這三個數(shù)的來歷

20、。實際上，它們具有如下特性：357 70 3357 21 5357 15 7也就是說，這三個數(shù)可以從最小公倍數(shù)M=357=105中各約去模數(shù)3、5、7后，再分別乘以整數(shù)2、1、1而得到。假令k=2，k=1，k=1，那么整1 23數(shù)k(i=1，2，3)的選取使所得到的三數(shù)70、21、15被相應模數(shù)相除的時i候余數(shù)都是1。由此出發(fā)，立即可以推出，在余數(shù)R、R、R的情況下1 23 M357 Rk1 13 13 1M 357 R2k 25 5M 357 Rk3 37 37 3綜合以上三式又可得到357 357 357 R21 32 53 7R(mod3)1R(mod5)2R(mod7)3因為M=357

21、可被它的任一因子整除，于是又有：357 357 357(R 123 57R(mod3)1R(mod5)2R(mod7)3這里的P是整數(shù)。這就證明了孫子算經(jīng)的公式。應用上述推理，可以完全類似地把孫子算法推廣到一般情形：設有一數(shù)N，分別被兩兩互素的幾個數(shù)a、aa相除得余數(shù)R、R、R，即1 2n 12 nNR(mod ai)(i=1、2、n)i只需求出一組數(shù)K，使?jié)M足i Mki1(mod aai)(i ai那么適合已給一次同余組的最小正數(shù)解是M MM MN 11 22 33 nn aa aa 12 3n這就是現(xiàn)代數(shù)論中著名的剩余定理。如上所說，它的基本形式已經(jīng)包含在孫子算經(jīng)物不知數(shù)題的解法之中。不過

22、孫子算經(jīng)沒有明確地表述這個一般的定理。孫子問題出現(xiàn)在公元四世紀的中國算書中，這并不是偶然的。我國古代天文歷法資料表明，一次同余問題的研究，明顯地受到天文、歷法需要的推動，特別是和古代歷法中所謂上元積年的計算密切相關。大家知道，一部歷法，需要規(guī)定一個起算時間，我國古代歷算家把這個起點叫做歷元或上元，并且把從歷元到編歷年所累積的時間叫做上元積年。上元積年的推算需要求解一組一次同余式。以公元三世紀三國時期魏國施行的景初歷做例，這部歷法規(guī)定以冬至、朔旦(朔日子夜)和甲子日零時會合的時刻作為歷元。設a是一回歸年日數(shù)，b是一朔望月日數(shù)，當年冬至距甲子日零時是R，離平朔時刻是R日，那么影初歷上元積元數(shù)N就是

23、同余組1 2aNR(mod 60)R(mod b)i 2的解。到了南北朝時期，祖沖之大明歷(公元462年)更要求歷元必須同時是甲子年的開始，天日月合璧、五星聯(lián)珠(就是日、月、五大行星處在同一方位)，月亮又恰好行經(jīng)它的近地點和升交點。這樣的條件下推算上元積年，就相當于要求解十個同余式了。天文歷法數(shù)據(jù)一般又都十分龐雜，所以，在孫子算經(jīng)成書前后的魏晉南北朝時期，我國的天文歷算家無疑已經(jīng)能夠求解形式比孫子算經(jīng)物不知數(shù)題復雜得多的一次同余式，因而必定掌握了按一定程序計算一次同余式的方法。孫子算經(jīng)比例題的形式總結、反映了這一事實。以后天文歷算家長期沿用孫子算法推算上元積年，這中間肯定會引起更加深入的探討。

24、到公元13世紀，大數(shù)學家秦九韶集前法之大成，終于在一次同余式的研究上獲得了超越前人的輝煌成果。秦九韶，字道古，生活于南宋時期，自幼喜好數(shù)學，經(jīng)過長期積累和苦心鉆研，于公元1247年寫成數(shù)書九章。這部中世紀的數(shù)學杰作，在許多方面都有創(chuàng)造，其中求解一次同余組的大衍求一術和求高次方程數(shù)值解的正負開方術，更是具有世界意義的成就。這里主要介紹秦九韶對一次同余論的偉大貢獻。秦九韶在數(shù)書九章中明確地系統(tǒng)地敘述了求解一次同余組的一般計算步驟。秦的方法，正是前述的剩余定理。我們知道，剩余定理把一般的一M次同余問題歸結為滿足條件K(mod a)的一組數(shù)k的選定。秦九韶給i ii ai這些數(shù)起名叫乘率，并且在數(shù)書九

25、章卷一大衍總術中詳載了計算乘率的方法-大衍求一術。在秦九韶那個時代，計算仍然使用算籌。秦九韶在一個小方盤上，右上布置奇數(shù)g，右下布置定數(shù)a，左上置1(他叫它做天元1)，然后在右行上下交互以少降多，所得商數(shù)和左上(或上)，直到右上方出現(xiàn)1為止。下頁就是秦九韶的一般籌算圖式，右邊是一個數(shù)字例子(g=20，a=27，k=c=23)。4秦九韶在數(shù)書九章中采集了大量例題，如古歷會積、積尺尋源、推計土功、程行計地等等，廣泛應用大衍求一術來解決歷法、工程、賦役和軍旅等實際問題。在這些實際問題中，模數(shù)a并不總是兩兩互i素的整數(shù)。秦九韶區(qū)分了元數(shù)(a是整數(shù))、收數(shù)(a是小數(shù))、i i通數(shù)(a是分數(shù))等不同情形，

26、并且對每種情形給出了處理方法。大i衍總術把收數(shù)和通數(shù)化成元數(shù)的情形來計算，而對于元數(shù)不兩兩互素的情形，給出了可靠的程序，適當選取那些元數(shù)的因子作定數(shù)而把問題歸結為兩兩互素的情形。所有這些系統(tǒng)的理論，周密的考慮，即使以今天的眼光看來也很不簡單，充分顯示出秦九韶高超的數(shù)學水平和計算技巧。秦九韶小時曾跟隨他父親到南宋京城杭州，向太史局(主管天文歷法的機構)的官員學習天文歷法，大衍求一術很可能就是他總結天文歷法計算上元積年方法的結果。但是大衍求一術似乎沒有為他同時代的人所充分理解。明中葉以后幾乎失傳。一直到清代大衍求一術又重新被發(fā)掘出來，引起了許多學者(張敦仁、李銳、駱騰風、黃宗憲等)的興趣。他們對大

27、衍求一術進行了解釋、改進和簡化，其中黃宗憲求一術通解對模數(shù)非兩兩互素的情形給出了更加簡明的方法，但是時代已是晚清。從孫子算經(jīng)物不知數(shù)題到秦九韶的大衍求一術，我國古代數(shù)學家對一次同余式的研究，不僅在中國數(shù)學史上而且在世界數(shù)學史上占有光榮的地位。在歐洲，最早接觸一次同余式的，是和秦九韶同時代的意大利數(shù)學家斐波那契(11701250)，他在算法之書中給出了兩個一次同余問題，但是沒有一般的算法。整個水平?jīng)]有超過孫子算經(jīng)。直到十八、十九世紀，大數(shù)學家歐拉(17071783)于公元1801年對一般一次同余式進行了詳細研究，才重新獲得和秦九韶大衍求一術相同的定理，并且對模數(shù)兩兩互素的情形，給出了嚴格證明。歐

28、拉和高斯事先并不知道中國人的工作。公元1852年英國傳教士偉烈亞力(18151887)發(fā)表中國科學摘記，介紹了孫子算經(jīng)物不知數(shù)題和秦九韶的解法，引起了歐洲學者的重視。1876年，德國馬蒂生(18301906)首先指出孫子問題的解法和高斯方法一致，當時德國著名數(shù)學史家康托(18291920)看到馬蒂生的文章以后，度評價了大衍術，并且稱贊發(fā)現(xiàn)這一方法的中國數(shù)學家是最幸運的天才。直到今天，大衍求一術仍然引起西方數(shù)學史家濃厚的研究興趣。如1973年，美國出版的一部數(shù)學史專著十三世紀的中國數(shù)學中，系統(tǒng)介紹了中國學者在一次同余論方面的成就，作者力勃雷希(比利時人)在評論素九韶的貢獻的時候說道：秦九韶在不定

29、分析方面的著作時代頗早，考慮到這一點，我們就會看到，薩頓稱秦九韶為他那個民族，是毫不夸張的。印度學者對一次同余論也有過重要貢獻。從公元6世紀到12世紀，他們發(fā)展了一種稱為庫塔卡的算法，用來求解和一次同余式等價的不定方程組。庫塔卡法出現(xiàn)在孫子算法之后，印度數(shù)學家婆羅門芨多(七世紀)、摩柯吠羅(九世紀)等人的著作中，都有和物不知數(shù)題相同的一次同余問題。這當然不是要借此斷言庫塔卡法一定受到了孫子算法的影響，但是有人(如萬海依等)硬說中國的大衍求一來源于庫塔卡，就是毫無根據(jù)的妄說了。萬海依居然把中國算法中數(shù)碼從左到右橫寫作為大衍術受印度影響的重要根據(jù)。大家知道，中國古代至遲從春秋戰(zhàn)國時期就開始使用算籌

30、記數(shù)，我們今天還可以從現(xiàn)存的公元前三世紀的貨幣上看到這種從左到右的記數(shù)方法。由此可見，萬海依的論點多么荒唐可笑。中國古代數(shù)學家對一次同余論的研究有明顯的獨創(chuàng)性和繼承性，大衍求一術在世界數(shù)學史上的崇高地位是毋容置疑的，正因為這樣，在西方數(shù)學史著作中，一直公正地稱求解一次同余組的剩余定理為中國剩余定理。影子的數(shù)學應用自古以來，人們仰望遙遠的天空時，就會情不自禁地想道：天到底有多高呢?由于天高不可測，人們便想知道，掛在天空的太陽離地到底有多遠。孔子不能回答小兒辯日的問題，然而，初生的牛犢不怕虎，有一個兒童卻敢于當著大人的面巧辯太陽離地有多遠。約在公元300年，晉元帝司馬睿問他才七八歲的兒子司馬紹道：

31、長安離我們這兒遠，還是太陽離我們這兒遠?司馬紹回答：太陽。因為：有聞客自長安來，卻未聞有人從日邊來。元帝很高興，第二天在宴會上說起這件事，當時別人又問司馬紹一遍相同的問題，可是他卻回答長安遠。這下讓元帝大為掃興，正要提示，只見司馬紹不慌不忙地補充說：舉目見日，不見長安。這兩句話引得元帝滿心歡喜，登時四座驚服。司馬紹才思敏捷，后來的人把遠方親友不能見面的思念用長安遠為辭。成為千古名喻。那么，到底是長安遠還是太陽遠，科學家們卻是用具體的數(shù)學來說話。長安在大地上，自然有辦法丈量，而那個太陽高懸在空中，要測量它離我們這兒有多遠就很難了。然而，人類的智慧到底還是征服了大自然。這就是利用影子。一首題為影子

32、的詩寫道：豈能依此長短，判定人的高矮！這首詩只有寥寥12個字，卻揭示了一條深刻的哲理，它寓含于科學與人生之中，就影子本身來說，它貌不驚人，從來都是某種物體的附屬品，又是虛無陰暗的代表，習慣被人瞧不起，認為是毫無價值的、空洞的，甚至把它的存在也看成是多余的。然而，我們豈可以依此長短來判斷人的高矮呢?誠然，大自然的奇觀五光十色，令人眼光繚亂，有多少驚奇奧妙的情與景令人神往??！對于張目可見的影子實在不屑一提?？墒牵嬲目茖W家卻不認為影子毫無用處，因為他們早就理解了其中的哲理，明白了衡量一件事物的價值是不能光憑外感來做標準的。不是嗎?因為有了影子，人類才揭示了日食的秘密，同時，光學之中出現(xiàn)了成像原理

33、，微積分學中有了變化率，測量學中有了測高望遠之術，定時裝置中有了日晷早在公元前6世紀，古希臘學者塔利斯就曾經(jīng)借用影子的作用去拯救戰(zhàn)火中受難的百姓，據(jù)說當時美地亞和呂地亞國(位于現(xiàn)今土耳其西部)發(fā)生戰(zhàn)爭，連續(xù)五年未分勝負，滿目瘡痍，哀鴻遍野。老百姓處于水深火熱之中。塔利斯目睹慘景，便去游說兩國首領，曉以利害，建議停戰(zhàn)，但均遭到冷遇。于是，他便揚言，上天反對戰(zhàn)亂，某月某日利用日食作為警告。果然到了那天，兩軍正在酣戰(zhàn)，突然太陽失去光輝，白晝頓時成了黑夜，雙方將領大為恐慌，從此罷戰(zhàn)言和。這個傳說當然未必可信，因為那時塔利斯是否有能力預測日食發(fā)生的時間是值得懷疑的，但這說明影子在宇宙空間也有如此妙用；而

34、塔利斯深知影子的妙用，因此也敢于大膽地回答金字塔之謎的問題：即金字塔有多高?當時，埃及法老阿美西斯懸賞征求這個答案。當然，要求答案是準確可靠的，如果信口開河，無根據(jù)地胡謅一個數(shù)，這會要受到懲罰的。因此，在很長一段時間里沒有人應征。終于有一天，金字塔前人山人海，爭相目睹塔利斯的測高表演。首先，他在廣場上豎立一根木棍，在日光照耀下，順著影子從木棍的底部引出一條直線，量線長等于木棍高的地方做一個記號；他目不轉睛地注視著影子的變化，當棍頂?shù)挠白优c記號重合時，立即快步跑到金字塔塔頂?shù)挠白犹幦プ鲆粋€標志；他認為，木棍影長與棍長相等時，塔高就應該等于塔影長的，只需量塔影長就知道塔高了。是的，這個方法很簡單，

35、他的原理也是容易被接受的。可是，當他量了塔影的部分長度(全部長度應是從塔中心開始，而有一部分處于底盤位置)，準備再去量取金字塔底盤的寬度時，有人喊叫起來：塔利斯的測量不準！等他弄清是怎么回事時，不禁皺起眉頭，看看影子，嘆了口氣！原來，就在他跑去設立塔頂影子的標志時，木棍的影子又變動了；而且，由于金字塔的底盤很大，需要量取底盤寬度，以便確定中心到邊界的距離，按這距離加上所見影子的長度才是塔高，本來選擇影子方向也不能嚴格與塔的一邊平行，現(xiàn)在方向又偏移了，因此他的失敗之處在于測量目的物不是一根桿，而是底盤很大的金字塔。塔利斯雖然第一次嘗試失敗了，但后來，卻利用影子不停息地移動的性質巧妙地進行了新的嘗

36、試：觀測兩次，第一次定下木棍頂和塔頂?shù)挠白游恢胊和A，第二次b和B，那么，ABab就是塔高與棍長之比了。棍長既為已知，自然就容易求出塔高來。人們驚訝地看到塔利斯的超人智慧，無不嘆為觀止。然而，一座塔、一棵樹，甚至一座山固然都可以應用這個方法測量高度，卻沒有人敢想象更高的物體，譬如說太陽，它到底有多高呢?富于幻想的科學家想到，既然太陽是掛在天上的，日高也就是高了。那末，誰能夠測得日高呢?第一個接受挑戰(zhàn)的是我國三國時代的科學家趙爽(公元3世紀)，趙爽在作周髀算經(jīng)注釋時巧妙地創(chuàng)造了雙表人影法來解決這個難題，他繪制了一幅日高圖，在平地上面立兩表(表即桿的意思)，日照下顯出影長AB和CD，作CE=AB，

37、則ED為兩影長度之差；接著他證明黃甲與黃乙的面積相等，而黃甲的面積是表高與兩表之間距離的乘積，用影差作為黃乙的寬去除黃甲面積，便得黃乙的長，它的上端與日頭相齊，加上表高，就是日高了。趙爽測日高的方法可用下式表示：GA FD ED固然，由于地面不是很平的，而且表高與表間距離相對于日高來說過于微小，所以測得的日高是不夠準確的。但是，趙爽卻為后人提供了一種極為先進的測高望遠之術。歷史的發(fā)展必然會使科學不斷進步，就在趙爽之后幾十年，與其同世紀的劉徽提出一種重差理論，發(fā)明了重差術，重就是重復，差是日照影子長度的差值，說明只需測兩次求日影的差，就可以算出距離。劉徽對趙爽的日高測量法作了比較大的發(fā)揮，他認為

38、，重差法用測日高可能不準確，但是，用于測量一座山、一座塔的高度卻是游刃有余；特別是用于測量可望不可即的景物更是別開生面，譬如說在大陸要隔海測量海島高度就可以用這種方法。AC dED劉徽對影子的研究，使測高望遠之術更加向前推進了一步。無獨有偶。趙爽創(chuàng)立用影子的有關數(shù)據(jù)進行測量的方法，不但被劉徽推廣和發(fā)揮，在外國也有驚人的成果。例如，1569年在威尼斯出版的一本書上繪制的圖，所說明的測量建筑物高度的方法，其原理與海島算經(jīng)的望海島題一樣；此外，明末時期，意大利傳教士利瑪竇來我國，曾口授測量法義一書，也記載有與望海島相類似的題目。外國的成果與劉徽方法大同小異，雖不能說他們的成果是源自劉徽，然而，這已是

39、16、17世紀的事了，而劉徽的重差術卻在他們一千多年前已研究出來了。有人追溯更早期利用影子測量景物的方法，可溯源至古埃及或古印度的時代，但是，除職像塔利斯那樣的傳說之外，基本上已沒有什么當時的文獻可查。而在歐洲，雖然有許多利用影子原理的測量的方法記載在數(shù)學書籍或某些文學作品中(例如凡爾納在小說神秘島中描述了算術測峭壁的高度)，也多半是近代的事；像16世紀威尼斯出版的那本書則是很少見的。人的自身能力是有限的，不能直接去丈量海島的高度，更無法量出至海島的距離，然而，憑借影子，卻能把理想(甚至可以稱為幻想)變成現(xiàn)實。如果我們回味那首短短的影子詩，就能悟出一番真諦。人們在研究影子的功用時，也曾出現(xiàn)一些

40、疑點，例如有人懷疑塔利斯第一次應用木棍的影子測量金子塔高度的原理是否正確。木棍比金字塔矮得多，木棍的影長等于棍子高度時，=45，但此時不是45，說明金字塔影長并不就是它的高度。那么，為什么可以認為塔利斯的方法是可行的呢?道理很明顯，因為木棍與金字塔的距離相對于與太陽的距離來說太微不足道了，因此太陽射至木棍和塔的光線可以認為是平行的，這也是趙爽方法實際上不能用于測日高的原因之一。從另一方面看，如果光源很近(例如是一盞燈)，塔利斯的方法就不實用了，而劉徽的方法卻是可行的。費爾馬定理費爾馬是一個十分活躍的業(yè)余數(shù)學家，喜歡和別人通信討論數(shù)學問題。他差不多和同時代的數(shù)學家都通過信，受到人們的敬重。費爾馬

41、經(jīng)常提出一些難題，寄給熟人，請他們解答，然后再把這些解答與自己的解答對照。他提出的猜想，有被否定掉的；但是他證明過的定理，卻從沒有被推翻過。其中，不少成了后來書上的重要定理。費爾馬在數(shù)論上作過杰出貢獻。例如，他發(fā)現(xiàn)并證明了一個很重要的基本定理：P-1若P為素數(shù)，正整數(shù)a不能被P整除，那么a-1這個數(shù)，一定能夠被P整除。這個定理叫做費爾馬定理或者費爾馬小定理。1640年，當費爾馬證完這個定理后，興奮地寫信告訴他的朋友說：我浸浴在陽光中！這個定理按其在數(shù)論和近世代數(shù)中的重要性來說，的確是值得稱道的。6比如我們要考察5-1這個數(shù)能不能被7整除，根據(jù)費爾馬小定理，由于6 7-15-1=5-1，所以知道

42、它一定能被7整除。事實也正是這樣。6 5-1=15624=72232。100因為這個數(shù)小，所以可以寫出來判斷。如果是問1981-1能不能被101整除，就不好算出來看了，但是根據(jù)100 101 1981-1=1981-1-1，所以可以保險這個數(shù)能被101整除。1621年，20歲的費爾馬，在巴黎買了一本丟番都的算術學的法文譯本。不知他在什么時候，在書中關于不2 22定方程x+y=z的全部正整數(shù)解的這一頁上，用拉丁文寫了這么一段話：任何一個數(shù)的立方，不能分解為兩個數(shù)的立方之和；任何一個數(shù)的四次方，不能分解成兩個數(shù)的四次方之和；一般來說，任何次冪，除平方以外，不可能分解成其他兩個同次冪之和。我想出了這

43、個斷語的絕妙證明，是書上這空白太窄了，不容我把證明寫出來。在自己的書上空白處寫心得，是一些人的讀書習慣，通常叫作頁端筆記。費爾馬的這段頁端筆記，用數(shù)學的語言來表達就是：形如n nn x+y=z的方程，當n大于2時，不可能有正整數(shù)解。費爾馬雖然在數(shù)學上有很多重大成就，但是他生前幾乎沒有出版過什么數(shù)學著作。他的著作大都是在他死后，由他的兒子，把他的手搞和與別人往來的書信整理出版的。費爾馬死后，有人翻閱他的那本丟番都的書，發(fā)現(xiàn)了那段寫在書眉上的話。1670年，他的兒子出版了費爾馬里的這一部分頁端筆記，大家才知道這一問題。后來，人們就把這一論斷，稱為費爾馬大定理或者費爾馬問題。哥德巴赫猜想哥德巴赫本來

44、是普魯士派往俄羅斯的一位公使。后來，他成了一名數(shù)學家。哥德巴赫和費爾馬一樣，很喜歡和別人通信討論數(shù)學問題。不過，他在數(shù)學上的成就和聲望，遠遠不如費爾馬，有的人甚至認為他不是數(shù)學家。其實，有資料說，他是彼得堡科學院院士。哥德巴赫與另一名彼得堡科學院院士、著名數(shù)學家歐拉經(jīng)常通信。他們有15年以上的通信歷史，經(jīng)常討論的是數(shù)學問題。1742年6月7日，哥德巴赫寫信告訴歐拉，說他想冒險發(fā)表一個猜想：大于5的任何數(shù)是三個素數(shù)的和。這里要順便交待一句，有一個時期，人們把1看成是特殊的素數(shù)；后來，才像今天這樣，把1與素數(shù)嚴格區(qū)別開來。同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中說，他認為：每一個偶數(shù)都是兩個素數(shù)之

45、和，雖然我還不能證明它，但我確信這個論斷是完全正確的。這次通信的內(nèi)容傳播出來后，當時數(shù)學界把他們兩人通信中談到的問題，叫做哥德巴赫問題。后來，它被歸納為：命題A：每一個大于或者等于6的偶數(shù)，都可以表示為兩個奇素數(shù)的和；命題B：每一個大于或者等于9個奇數(shù)，都可以表示為三個奇素數(shù)的和。這就是今天我們所說的哥德巴赫猜想，實際上，應該是哥德奇巴赫-歐拉猜想。比如50=19+31，51=7+13+31 52=23+29，53=3+19+31當然，表示方法可能是很多的。比如50=3+47=7+43=13+37=19+31很明顯，如果命題A成立，那么，命題B也就成立。因為假設N是大于或者等于9的奇數(shù)，那么，

46、N-3就是大于或者等于6的偶數(shù)。命題A成立，就是存在著奇素數(shù)P與P，使得N-3=P+P，這就是N=3+P+P，就像前面的1 21 21 250與53的關系一樣。但反過來，如果證明了命題B成立，并不能保證命題A就一定成立。19世紀的很多大數(shù)學家，都研究過哥德巴赫猜想，但是進展不大。1900年，希爾伯特在巴黎國際數(shù)學家會議上，提出了23個研究題目，這就是有名的希爾伯特問題，可以說這是23個大難題。哥德巴赫猜想命題A，與另外兩個有關的問題一起，被概括為希爾伯特第八問題。到了1912年，在第五屆國際數(shù)學會議上，著名的數(shù)論大師蘭道發(fā)言說，哥德巴赫問題即使改成較弱的命題C，也是現(xiàn)代數(shù)學家所力不能及的。命題

47、C意思是：不管是不超過3個，還是不超過30個，只要你想證明存在著一個這樣的正數(shù)c，而能使每一個大于或等于2的整數(shù)，都可以表示為不超過c個素數(shù)之和。過了9年，到了1921年，著名數(shù)論大師哈代在哥本哈根召開的國際數(shù)學會上說：哥德巴赫猜想的困難程度，可以與任何沒有解決的數(shù)學問題相比擬。哈代也認為是極其困難的，但是不像蘭道說得那樣絕對。1930年，蘇聯(lián)25歲的數(shù)學家西涅日爾曼，用他創(chuàng)造的正密率法，證明了蘭道說的那個現(xiàn)代數(shù)學家力不能及的命題C，還估算了這個數(shù)c不會超過S，并算出S800000，人們稱S為西涅日爾曼常數(shù)。西涅日爾曼的成就震驚了世界。這是哥德赫猜想研究史上的一個重大突破?？上换盍?3歲。1930年以后，包括蘭道在內(nèi)的很多數(shù)學家，竟相縮小S的估值，到1937年，得到S67。在1937年，哥德巴赫猜想的研究，又取得了新的成就。蘇聯(lián)著名的數(shù)學家伊維諾拉多夫，應用英國數(shù)學家哈代與李脫伍特創(chuàng)造的圓法，和他自己創(chuàng)造的三角和法證明了：充分大的奇數(shù)，都可以表示為三個奇素數(shù)之和。伊維諾格拉多夫基本上解決了命題B，通常稱為三素數(shù)定理。堅固無比