1、希臘數(shù)學(xué)的開始,最早的希臘數(shù)學(xué),希臘的思想家們深信，數(shù)學(xué)是主要學(xué)科之一，是對(duì)物質(zhì)世界所有研究的基礎(chǔ)。 希臘最早的數(shù)學(xué)家是小亞細(xì)亞的泰勒斯，許多關(guān)于他的故事是在他去世幾百年后寫的。譬如：他在公元前585年對(duì)日蝕的預(yù)測(cè)以及應(yīng)用三角形邊角邊準(zhǔn)則測(cè)量海上航船的距離。 泰勒斯曾被職責(zé)在無用的研究中浪費(fèi)時(shí)間。于是，有一次，他用各方面的知識(shí)預(yù)見橄欖必獲豐收，便壟斷了榨油機(jī)，從而獲得了巨額財(cái)富 泰勒斯還是整個(gè)希臘科學(xué)研究的開創(chuàng)者。（包括認(rèn)識(shí)到物質(zhì)現(xiàn)象是受一些不可只規(guī)律控制的）,畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派,畢達(dá)哥拉斯是希臘的另一位數(shù)學(xué)家。并且在意大利廣收門徒，最終形成了著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派一個(gè)宗教式哲學(xué)學(xué)派。 從他的傳

2、記中可知，與其說他是一位理性的思想家，不如說是一位神秘的思想家，而且是一位備受其追隨者尊敬的思想家。,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個(gè)重要數(shù)學(xué)學(xué)說是“萬物皆數(shù)”，即正整數(shù)，形成了宇宙的基本組成原則。他們不止認(rèn)為任何事物都具有一個(gè)數(shù)或可以用數(shù)來記，還認(rèn)為數(shù)是所有的物理現(xiàn)象的基礎(chǔ)。 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為每樣?xùn)|西包括長度都是可度量的。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派假定存在這樣一個(gè)度量單元。 那么總是可以找到一個(gè)度量單元來度量正方形的邊和對(duì)角線，即存在這樣一個(gè)長度，使正方形的邊和對(duì)角線是這個(gè)長度的整數(shù)倍。 不過，遺憾的是這一假定并不正確。那么，不可公度這一性質(zhì)又是怎么發(fā)現(xiàn)的呢？,假定圖中的正方形的邊長BD和對(duì)角線DH是可公度的，即

3、它們都可以表示為其共同的度量單位的倍數(shù)。這也可假定為這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是奇數(shù)（若非如此，呢么將存在一個(gè)更大的共同度量單位）。 這樣，邊上的正方形DBHI和對(duì)角線上的正方形AGFE分別代表一個(gè)正方形數(shù)，顯然AGFE是DBHI的兩倍，所以它表示一個(gè)偶數(shù)正方形，因此邊AG=DH也表示一個(gè)偶數(shù)，并且正方形AGFE是四倍的。既然BDHI是AGFE的一半，那么它一定是二倍正方形，即它表示一個(gè)偶正方形，所以BD邊一定是偶數(shù)，與假設(shè)BD、DF中有一個(gè)為奇數(shù)矛盾，因此，這兩邊不可公度。,這個(gè)證明的事例說明了證明的思想在那時(shí)就已經(jīng)扎根于希臘的數(shù)學(xué)觀念中。他們一定已經(jīng)認(rèn)定，在判定特定結(jié)論的真實(shí)性時(shí)，使用邏輯論證的

4、形式是必要的。不可公度的完整概念的提出是對(duì)巴比倫和埃及的書的計(jì)算概念的一個(gè)突破。希臘數(shù)學(xué)首次意識(shí)到存在著不能找到這個(gè)能夠給正方形的邊和對(duì)角線賦值的數(shù)值。,柏拉圖,柏拉圖（ 約前427年前347年），古希臘偉大的哲學(xué)家，也是全部西方哲學(xué)乃至整個(gè)西方文化最偉大的哲學(xué)家和思想家之一，他和老師蘇格拉底，學(xué)生亞里士多德并稱為古希臘三大哲學(xué)家。 按照柏拉圖的觀點(diǎn)幾何學(xué)的目的不是為了實(shí)踐，而在于獲得知識(shí)，幾何研究是理論性的，而非實(shí)踐性的，它和算術(shù)一樣，也是為了“對(duì)靈魂引入真理”,亞里士多德,亞里士多德（前384前322年），古希臘斯吉塔拉人，世界古代史上最偉大的哲學(xué)家、科學(xué)家和教育家之一。是柏拉圖的學(xué)生，亞

5、歷山大的老師。公元前335年，他在雅典辦了一所叫呂克昂的學(xué)校，被稱為逍遙學(xué)派。馬克思曾稱亞里士多德是古希臘哲學(xué)家中最博學(xué)的人物，恩格斯稱他是古代的黑格爾。 他是形式邏輯學(xué)的奠基人，認(rèn)為分析學(xué)或邏輯學(xué)是一切科學(xué)的工具。并且相信，邏輯論證應(yīng)建立在三段論的基礎(chǔ)上。,“三段論是指由所陳述的事情必定可得出另外某些結(jié)論的論證過程”。如果三段論的前提正確，那么結(jié)論必定正確。但不是所有的只是都可以作為三段論的前提。 亞里士多德對(duì)每門特殊學(xué)科中的基本原理和大眾共知的普遍真理加以區(qū)分，把前者稱作公設(shè)，后者稱作公理。 對(duì)于大多數(shù)基本概念才允許假定被定義對(duì)象的存在性，一般，人們要定義一個(gè)對(duì)象，必須證明它的存在性。并且

6、這些性質(zhì)的存在性必需根據(jù)公理或已知結(jié)論為前提加以證明 亞里士多德也列舉了一些論證的基本原理，其中一個(gè)是，給定的結(jié)論不能既為真又為假；另一個(gè)原理是，一個(gè)結(jié)論要么為真，要么為假，除此之外，沒有其他可能。,亞里士多德另一項(xiàng)貢獻(xiàn)是在數(shù)學(xué)中區(qū)分了數(shù)和量。這兩者概念的主要不同之處是“量可以被分成無限小的可分部分，而數(shù)的基礎(chǔ)是不可分的單元。因此，量只能由可分的元素組成，而數(shù)必然是由不可分的元素組成” 亞里士多德對(duì)無窮、不可分、連續(xù)和不連續(xù)概念的大量討論的一個(gè)原因是他想反駁芝諾悖論。 其中一個(gè)悖論是二分法，“斷言運(yùn)動(dòng)不存在，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)著的物體要達(dá)到終點(diǎn)，首先必須經(jīng)過路途的一半”（當(dāng)然，它必須先走完一半的一半，以

7、此類推），這里最基本的爭(zhēng)論是物體不可能在無限多個(gè)時(shí)間段內(nèi)走完有限路途。 亞里士多德在駁斥這些悖論時(shí)承認(rèn)時(shí)間和距離一樣無限可分，但他沒有被物體可以在有限時(shí)間內(nèi)走完所困擾，而是將數(shù)量上無限的事物與無限可分的事物聯(lián)系。,歐幾里得和原本,希臘時(shí)期乃至人類歷史上最重要的數(shù)學(xué)著作就是歐幾里得的原本，許多著名數(shù)學(xué)家都在傳記中指出，這本書是最早把他們引入數(shù)學(xué)研究并激勵(lì)和促使他們成為數(shù)學(xué)家的著作。 歐幾里得的原本共由13卷組成，但內(nèi)容在整體上并不統(tǒng)一。原本歐幾里得把當(dāng)時(shí)的許多數(shù)學(xué)著作中的不同內(nèi)容重新組織后寫的一部概要。,公設(shè),亞里士多德曾說，我們必須接受某些命題是正確的。 歐幾里得把這些命題分為兩類，第一類是幾

8、何學(xué)中特有的真理公設(shè)： 1.從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作直線 2.一條直線可以不斷延長 3.以任意中心和任意的距離可以畫圓 4.凡直角都彼此相等 5.若一直線落在兩條直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角,公設(shè)5，即所謂的“平行公設(shè)”，是歐幾里得的5個(gè)公設(shè)中最復(fù)雜的一個(gè)，它不像前四個(gè)那么不證自明。 這一公設(shè)是說，如果直線l與直線m和n相交后所成的角1和2的和小于兩直角的和，那么直線m和n最終要在A的方向上相交。 歐幾里得提出這一公設(shè)后，當(dāng)時(shí)的許多數(shù)學(xué)家就試圖證明它是一個(gè)定理而不是公設(shè)，但所有的這種嘗試都以失敗告終。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)歐幾里得還應(yīng)用了一些其他并未陳述的公設(shè)，不過這些公設(shè)并不是特別重要。一般來說，原

9、本的邏輯結(jié)構(gòu)為數(shù)學(xué)建立了一個(gè)模式。,公理,在公設(shè)之后，歐幾里得總結(jié)了對(duì)所有學(xué)科都成立的真理，稱之為“公理” 1.等于同量的量彼此相等 2.等量加等量，和相等 3.等量減等量，差相等 4.彼此能重合的圖形是全等的 5.整體大于部分 這些公理是不證自明的，其中前三個(gè)在初等幾何中經(jīng)常使用,卷1：基本命題,命題1講的是在一條已知線段上做一個(gè)等邊三角形。 設(shè)AB是已知的線段，以點(diǎn)A為圓心，線段AB為半徑作圓BCD，再以B為圓心，BA為半徑作圓ACE，連接A、B和兩圓的一個(gè)交點(diǎn)C后得到三角形ABC，可證明所作出的三角形是等邊三角形。 歐幾里得的證明如下，因?yàn)锳是圓CDB的圓心，所以AC等于AB，又B是圓C

10、AE的圓心，所以BC等于AB，既然AC和BC都等于AB，那么根據(jù)等同于一個(gè)量的量彼此相等可知，AC、AB和BC三者相等，所以三角形是等邊三角形。,命題：直角三角形中，斜邊上的正方形等于兩直角邊上的正方形的和。 歐幾里得通過作圖來證明這一命題。過三角形的直角頂點(diǎn)A作與斜邊的正變形的邊DE垂直的線段，再證明矩形BL等于直角邊AB上的正方形，矩形CL等于AC上的正方形。,這里應(yīng)用了一個(gè)平行四邊形是它同在兩平行線間且同底的一個(gè)三角形的兩倍。即有矩形BL是三角形ABD的兩倍，正方形AF是三角形FBC的兩倍，由SAS定理可知這兩個(gè)三角形全等。對(duì)其他三角形和矩形也有類似結(jié)論，從而證明這一定理 事實(shí)上，由三角

11、形ABN、CAN、CBA相似可知，AB上的正方形等于以BC、BN為邊的矩形（矩形BL），而AC上的正方形等于以BC、NC為邊的矩形（矩形CL），這兩個(gè)矩形的和等于BC上的正方形，所以定理得證。,卷2：幾何代數(shù),卷2主要討論了不同矩形與正方形的關(guān)系，其中多數(shù)可用現(xiàn)代的代數(shù)符號(hào)解釋。 命題-11 分已知線段，使得它與所分出的小線段構(gòu)成的矩形等于另一小段上的正方形。 這個(gè)命題的目的是在線段上找一點(diǎn)H，使得AB*HB等于AH上的正方形。,若把這一問題變?yōu)榇鷶?shù)形式，可設(shè)AB=a,AH=x,那么HB=a-x,問題即解方程a(a-x)=x2，,歐幾里得的證明是應(yīng)用已知兩直角邊是平方根的直角三角形的斜邊，如上

12、式中即以a和a/2作為直角邊。在AB邊上做正方形，再等分AC，那么EB即為要求的斜邊。要從EB中減去a/2，作EF=EB，再從EF中減去AE得AF，那么AF即是需要的值x。在AB上取一點(diǎn)H，使AH=AF。,卷3開始討論最基本的曲線圓的性質(zhì)。本章按相關(guān)的正多邊形作圖來組織安排，即作內(nèi)接或外切于圓的正多邊形，這些內(nèi)容在卷4中進(jìn)一步完善。 原本前四卷中一些重要的結(jié)論本可以通過相似的基本思想得到證明，但歐幾里得盡可能地不用相似概念?？赡苁且?yàn)橄嗨频乃枷胧紫纫玫搅康南嗤冗@一很微妙的概念。 卷5集中研究了比例的基本概念，其對(duì)數(shù)學(xué)的近代發(fā)展方向起了重大的影響。許多世紀(jì)以來，歐幾里得的比例理論決定了如方程理論、數(shù)分理論、實(shí)數(shù)系統(tǒng)等諸多研究的實(shí)質(zhì)。,卷6則應(yīng)用量的比例理論中的結(jié)論證明了相似直線形的理論。 卷7是研究初等數(shù)論內(nèi)容的第一卷，卷7、8和9構(gòu)成了一個(gè)完全獨(dú)立的體系，沒有涉及前六卷的任何內(nèi)容。這里只討論了數(shù)，沒有把它們看做是某種類型的量，而是完全獨(dú)立的實(shí)體。 卷10是原本中最重要的部分。是對(duì)特定的不可公度量進(jìn)行分類。想要刻畫正多面體棱長的特征。 給出每個(gè)定義的數(shù)值例子： 與由僅正方可公度的兩條有理