1、最新 料推薦計(jì) 數(shù) 問 題教學(xué)目標(biāo)1. 使學(xué)生正確理解排列、組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；2. 了解排列、排列數(shù)和組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列或組合；3. 掌握排列組合的計(jì)算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4. 會(huì)、分析與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)，對(duì)排列組合的一些計(jì)數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié)，重點(diǎn)掌握排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些排列組合技巧，如捆綁法、擋板法等。5. 根據(jù)不同題目靈活運(yùn)用計(jì)數(shù)方法進(jìn)行計(jì)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)撥：例題精講：一、排 列 組 合 的 應(yīng) 用【例1】 小新、阿呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出

2、在下列條件下有多少種站法？（ 1）七個(gè)人排成一排；（ 2）七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間.（ 3）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（ 4）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（ 5）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.（ 6）七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.（ 7）七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。75040（種）?！窘馕觥?（ 1） P7（ 2）只需排其余6 個(gè)人站剩下的 6 個(gè)位置 P66720 （種） .（ 3）先確定中間的位置站誰，冉排剩下的6 個(gè)位置 2 P66=1440( 種 ) （ 4）先排兩邊，再排剩下的5 個(gè)位置，其中兩

3、邊的小新和阿呆還可以互換位置2P55240 ( 種 ) （ 5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5 個(gè)人中選 2 人，再排剩下的 5 個(gè)人， P52P552400 （種） .（ 6）七個(gè)人排成一排時(shí)， 7 個(gè)位置就是各不相同的現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個(gè)人，7 個(gè)位置還是各不相同的，所以本題實(shí)質(zhì)就是7 個(gè)元素的全排列75040 （種） .P7（ 7）可以分為兩類情況： “小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，兩種情況是對(duì)等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2 即可 4 3 P55 2=2880( 種) 排隊(duì)問題，一般先考慮特殊情況再去全排列。【例 2】 用 1、 2、 3、 4

4、、 5、 6 可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的個(gè)位是5 的三位數(shù)？【解析】 個(gè)位數(shù)字已知， 問題變成從從 5 個(gè)元素中取2 個(gè)元素的排列問題， 已知 n5 ， m2，根據(jù)排列數(shù)公式，2( 個(gè) ) 符合題意的三位數(shù)。一共可以組成 P55 4 20【鞏固】 用 1、 2、 3、4、 5 這五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)比20000大且百位數(shù)字不是 3的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？【解析】 可以分兩類來看： 把3 排在最高位上，其余4 個(gè)數(shù)可以任意放到其余4 個(gè)數(shù)位上，是4 個(gè)元素全排列的問題，有P44432 124 ( 種 ) 放法，對(duì)應(yīng)24 個(gè)不同的五位數(shù)； 把 2，4， 5 放在最高位上，有 3 種選擇，百位上有除

5、已確定的最高位數(shù)字和3 之外的 3 個(gè)數(shù)字可以選擇，有3 種選擇，其余的3 個(gè)數(shù)字可以任意放到其余3 個(gè)數(shù)位上，有 P336 種選擇由乘法原理，可1最新 料推薦以組成 3 36 54 ( 個(gè) ) 不同的五位數(shù)。由加法原理，可以組成 24 54 78( 個(gè) ) 不同的五位數(shù)?！眷柟獭?用 0 到 9 十個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則 5687 是第幾個(gè)數(shù)？【解析】 從高位到低位逐層分類： 千位上排1， 2 ， 3 或 4 時(shí)，千位有 4 種選擇，而百、十、個(gè)位可以從0 9 中除千位已確定的數(shù)字之外的 9個(gè)數(shù)字中選擇，因?yàn)閿?shù)字不重復(fù)，也就是從9個(gè)元素中取 3

6、個(gè)的排列問題，所以百、十、個(gè)位可有 P939 87 504 ( 種 ) 排列方式由乘法原理，有4 5042016( 個(gè) ) 千位上排5 ，百位上排 0 4 時(shí)，千位有 1種選擇，百位有5 種選擇，十、個(gè)位可以從剩下的八個(gè)數(shù)字 中 選 擇 也 就 是 從 8 個(gè) 元 素 中 取 2 個(gè) 的 排 列 問 題 ， 即 P828 7 5 6， 由 乘 法 原 理 ， 有1 5 56 280(個(gè) ) 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 0 ， 1 ， 2 ， 3， 4 ， 7 時(shí)，個(gè)位也從剩下的七個(gè)數(shù)字中選擇，有1 1 6 7 42( 個(gè) ) 千位上排5，百位上排 6 ，十位上排 8時(shí)，比 568

7、7小的數(shù)的個(gè)位可以選擇0 ， 1， 2 ， 3 ， 4 共 5 個(gè)綜上所述，比5687小的四位數(shù)有 2016 280 42 52343( 個(gè)) ，故比5687小是第2344個(gè)四位數(shù)【例3】 用 1、 2、3、4 、5 這五個(gè)數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個(gè)3 的倍數(shù)？【解析】 按位數(shù)來分類考慮： 一位數(shù)只有1個(gè)3；兩位數(shù)：由1與2， 1 與 5 ， 2 與 4 ， 4 與 5 四組數(shù)字組成，每一組可以組成P222 12 ( 個(gè) ) 不同的兩位數(shù)，共可組成2 4 8 ( 個(gè) ) 不同的兩位數(shù)；三位數(shù)：由1 ， 2 與 3 ； 1 ， 3 與 5 ； 2 ， 3 與 4 ； 3 ， 4 與

8、5 四組數(shù)字組成，每一組可以組成P333 216( 個(gè) ) 不同的三位數(shù)，共可組成 64 24( 個(gè) ) 不同的三位數(shù)；四位數(shù)：可由1， 2 ， 4， 5 這四個(gè)數(shù)字組成，有P4443 2 1 24 ( 個(gè) ) 不同的四位數(shù)；五位數(shù)：可由1， 2 ， 3 ， 4， 5 組成，共有 P555 432 1 120( 個(gè) ) 不同的五位數(shù)由加法原理，一共有1 824 24120177 ( 個(gè) ) 能被 3 整除的數(shù)，即 3 的倍數(shù)【鞏固】 用 1、2、3、 4、5、6 六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)不同的偶數(shù)？【解析】 由于組成偶數(shù)， 個(gè)位上的數(shù)應(yīng)從 2 ， 4 ， 6

9、中選一張， 有 3種選法； 十位和百位上的數(shù)可以從剩下的5 張中選二張，有P525 420 ( 種 ) 選法由乘法原理，一共可以組成3 20 60 ( 個(gè) ) 不同的偶數(shù)【例4】 某管理員忘記了自己小保險(xiǎn)柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個(gè)非0數(shù)碼組成，且四個(gè)數(shù)碼之和是9 ，那么確保打開保險(xiǎn)柜至少要試幾次？【解析】 四個(gè)非0數(shù)碼之和等于 9 的組合有1， 1， 1， 6； 1，1， 2， 5； 1， 1，3， 4； 1， 2， 2， 4； 1，2， 3， 3；2， 2， 2，3 六種。第一種中，可以組成多少個(gè)密碼呢？只要考慮6 的位置就可以了，6 可以任意選擇4 個(gè)位置中的一個(gè)，其余位置放 1，共有4

10、 種選擇；第二種中，先考慮放2 ，有 4 種選擇，再考慮 5 的位置，可以有 3種選擇，剩下的位置放1 ，共有 4 312( 種 )選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有12種選擇最后一種，與第一種的情形相似，3 的位置有4種選擇，其余位置放2 ，共有 4 種選擇綜上所述，由加法原理，一共可以組成41212 12 12 456( 個(gè) ) 不同的四位數(shù)，即確保能打開保險(xiǎn)柜至少要試56次【例5】 兩對(duì)三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個(gè)人都不與自己的同胞兄妹相鄰，( 同一位置上坐不同的人算不同的坐法) ，那么共有多少種不同的坐法？【解析】 第一個(gè)位置在6 個(gè)人中任選一個(gè)，有C616 (

11、種 ) 選法，第二個(gè)位置在另一胞胎的3人中任選一個(gè)，有C313( 種 ) 選法同理，第3， 4 ， 5 ， 6 個(gè)位置依次有 2 ， 2 ， 1 ， 1 種選法由乘法原理，不同的坐法有 P1P1P1P1P1P1 6 3 2 2 1 1 72( 種 ) 。6322112最新 料推薦【例6】 一種電子表在6 時(shí) 24 分 30 秒時(shí)的顯示為 6: 24：30，那么從8 時(shí)到 9 時(shí)這段時(shí)間里， 此表的 5 個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有多少個(gè) ?【解析】 設(shè) A: BC DE 是滿足題意的時(shí)刻，有A 為 8，B、D 應(yīng)從 0，1，2， 3，4，5 這 6 個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字，所以有 P62 種

12、選法，而 C、E 應(yīng)從剩下的 7 個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字，所以有P72 種選法，所以共有 P62 P72=1260 種選法。從 8 時(shí)到 9 時(shí)這段時(shí)間里，此表的5 個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有1260 個(gè)?！纠?】 一個(gè)六位數(shù)能被11 整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的將這個(gè)六位數(shù)的6 個(gè)數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個(gè)能被11 整除的六位數(shù) ?【解析】 設(shè)這個(gè)六位數(shù)為 abcdef ，則有 (ac e) 、 (b df ) 的差為0 或 11的倍數(shù)且a、 b、 c、 d、 e、 f均不為 0，任何一個(gè)數(shù)作為首位都是一個(gè)六位數(shù)。先考慮 a、 c、 e 偶數(shù)位內(nèi)， b、 d、 f 奇數(shù)位內(nèi)的

13、組內(nèi)交換，有P33 P33=36 種順序；再考慮形如 badcfe 這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換，也有P33 P33=36 種順序。所以，用均不為0 的 a、b、c、d、e、f 最少可排出 36+36=72 個(gè)能被 11整除的數(shù) ( 包含原來的 abcdef ) 。所以最少還能排出 72- 1=71 個(gè)能被 11 整除的六位數(shù)。【例8】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5 名同學(xué)進(jìn)行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍 ”對(duì)乙說： “你當(dāng)然不會(huì)是最差的 ”從這個(gè)回答分析，5 人的名次排列共有多少種不同的情況？【解析】 這道

14、題乍一看不太像是排列問題，這就需要靈活地對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化仔細(xì)審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的” ，也就等價(jià)于5人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因?yàn)橐业南拗谱疃?，所以先排乙，?種排法，再排甲，也有3種排法，剩下的人隨意排，有P3 3 2 16( 種 ) 排法由乘法原理，一共有3 3 6 54 ( 種) 不同的排法。3【例9】4名男生，5 名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法： 甲不在中間也不在兩端； 甲、乙兩人必須排在兩端； 男、女生分別排在一起； 男女相間【解析】 先排甲， 9 個(gè)位置除了中間和兩端之外的意排，也就是 8 個(gè)元素全排列的

15、問題， 有共有 6 40320 241920( 種 ) 排法6 個(gè)位置都可以，有6 種選擇，剩下的8 個(gè)人隨P888765432140320 ( 種) 選擇由乘法原理， 甲、乙先排，有P222 1 2 ( 種 ) 排法；剩下的7 個(gè)人隨意排，有P7776 5 43215040( 種 ) 排法由乘法原理，共有2 5040 10080( 種 ) 排法 分別把男生、女生看成一個(gè)整體進(jìn)行排列，有P222 12( 種 ) 不同排列方法，再分別對(duì)男生、女生內(nèi)部進(jìn)行排列，分別是4 個(gè)元素與 5 個(gè)元素的全排列問題，分別有P4443 2 124( 種 ) 和 P555 4 3 2 1120( 種 ) 排法由乘

16、法原理，共有224120 5760( 種) 排法 先排 4名男生，有 P4443 21 24 ( 種 ) 排法，再把 5 名女生排到 5 個(gè)空檔中，有P5554 3 21120 ( 種 ) 排法由乘法原理，一共有24 120 2880( 種 ) 排法?！眷柟獭?五位同學(xué)扮成奧運(yùn)會(huì)吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目。如果貝貝和妮妮不相鄰，共有（）種不同的排法。【解析】 五位同學(xué)的排列方式共有5 4 3 2 1=120（種）。如果將相鄰的貝貝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4 3 2 1=24（種）。因?yàn)樨愗惡湍菽菘梢越粨Q位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有24 2=4

17、8( 種 ) ；貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有120- 48=72（種）?！纠?0】一臺(tái)晚會(huì)上有 6 個(gè)演唱節(jié)目和4 個(gè)舞蹈節(jié)目求： 當(dāng) 4 個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少不同的安排節(jié)目的順序？ 當(dāng)要求每 2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1 個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？3最新 料推薦【解析】 先將 4 個(gè)舞蹈 目看成1個(gè) 目，與6 個(gè)演唱 目一起排， 是7個(gè)元素全排列的 ，有P777! 7 6 5 43215040( 種 ) 方法第二步再排 4 個(gè)舞蹈 目，也就是4 個(gè)舞蹈 目全排列的 ，有P444!432 124 ( 種 ) 方法根據(jù)乘法原理，一共有504024( 種 ) 方法120

18、960首先將 6 個(gè)演唱 目排成一列( 如下 中的“” ) ，是 6 個(gè)元素全排列的 ，一共有P666! 6 5 4 32 1 720 ( 種) 方法第二步，再將 4 個(gè)舞蹈 目排在一 一尾或2 個(gè)演唱 目之 ( 即上 中“”的位置 ) ， 相當(dāng)于從 7 個(gè)“”中 4個(gè)來排，一共有P747 6 5 4 840 ( 種 ) 方法根據(jù)乘法原理，一共有720840( 種 ) 方法。604800【鞏固】 由4 個(gè)不同的獨(dú)唱 目和3個(gè)不同的合唱 目 成一臺(tái)晚會(huì)，要求任意兩個(gè)合唱 目不相 ，開始和最后一個(gè) 目必 是合唱， 臺(tái)晚會(huì) 目的 排方法共有多少種？【解析】 先排獨(dú)唱 目，四個(gè) 目隨意排，是4個(gè)元素全

19、排列的 ，有P444 3 21 24種排法；其次在獨(dú)唱 目的首尾排合唱 目，有三個(gè) 目，兩個(gè)位置，也就是從三個(gè) 目 兩個(gè) 行排列的 ，有P232 6( 種 ) 排法；再在獨(dú)唱 目之 的3個(gè)位置中排一個(gè)合唱 目，有3種排法由乘法原理，3一共有 2463432 ( 種) 不同的 排方法【小 】 排列中，我 可以先排條件限制不多的元素，然后再排限制多的元素如本 中，獨(dú)唱 目排好之后，合唱 目就可以采取“插空”的方法來確定排法了 的排列數(shù)用乘法原理把若干個(gè)排列數(shù)相乘，得出最后的答案?！纠?1】 從 1， 2， 8 中任取 3 個(gè)數(shù) 成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個(gè)？（只要求列式）從 8 位候 人中任

20、三位分 任 支 ， 委 ，宣 委 ，共有多少種不同的 法？ 3位同學(xué)坐8 個(gè)座位，每個(gè)座位坐1 人，共有幾種坐法？ 8個(gè)人坐 3個(gè)座位，每個(gè)座位坐1 人，共有多少種坐法？一火 站有 8 股 道，停放 3 列火 ，有多少種不同的停放方法？ 8種不同的菜籽，任 3 種種在不同土 的三 土地上，有多少種不同的種法？【解析】 按 序，有百位、十位、個(gè)位三個(gè)位置，8 個(gè)數(shù)字（ 8 個(gè)元素）取出3 個(gè)往上排，有 P83 種 3 種 3個(gè)位置，從 8 位候 人（ 8 個(gè)元素）任取 3 位往上排，有P83 種 3 位同學(xué)看成是三個(gè)位置，任取 8 個(gè)座位號(hào)（ 8 個(gè)元素）中的 3 個(gè)往上排（座號(hào)找人） ，每確定

21、一種號(hào) 即 一種坐法，有 P83 種 3 個(gè)坐位排號(hào) 1， 2， 3 三個(gè)位置，從 8 人中任取 3 個(gè)往上排（人找座位） ，有 P83 種 3 列火 1， 2， 3 號(hào)，從 8 股 道中任取 3 股往上排，共有 P83 種土地 1， 2， 3 號(hào)，從 8 種菜籽中任 3 種往上排，有 P83 種?！眷柟獭?有男同學(xué) 3 人，女同學(xué) 4 人 ( 女同學(xué)中有一人叫王 ) ，從中 出男女同學(xué)各2 人，分 參加數(shù)學(xué)、英 、音 、美 四個(gè) 趣小 ：( 1) 共有多少種 法 ?( 2) 其中參加美 小 的是女同學(xué)的 法有多少種?( 3) 參加數(shù)學(xué)小 的不是女同學(xué)王 的 法有多少種?( 4) 參加數(shù)學(xué)小

22、的不是女同學(xué)王 ，且參加美 小 的是女同學(xué)的 法有多少種?【解析】 （ 1）從 3 個(gè)男同學(xué)中 出 2 人，有 3 2 =3 種 法。從 4個(gè)女同學(xué)中 出2 人，有4 3 =6 種 法。24 3 2 1=24 種 法。2在四個(gè)人確定的情況下，參加四個(gè)不同的小 有3 6 24=432，所以共有 432 種 法。（ 2）在四個(gè)人確定的情況下，參加美 小 的是女同學(xué) 有2 3 2 1=12 種 法。3 6 12=216，所以其中參加美 小 的是女同學(xué)的 法有216 種。（ 3）考 參加數(shù)學(xué)小 的是王 的 法，此 的 相當(dāng)于從3 個(gè)男同學(xué)中 出2 人，從 3 個(gè)女同學(xué)中 出 1 人， 3 個(gè)人參加 3

23、 個(gè)小 的 法。3 3 3 2 1=54，所以參加數(shù)學(xué)小 的是王 的 法有54 種， 432- 54=378，所以參加數(shù)學(xué)小 的4最新 料推薦不是女同學(xué)王 的 法有378 種。（ 4）考 參加數(shù)學(xué)小 的是王 且參加美 小 的是女同學(xué) 的 法，此 的 相當(dāng)于從3 個(gè)男同學(xué)中 出 2 人參加兩個(gè)不同的小 ，從3 個(gè)女同學(xué)中 出1 人參加美 小 的 法。3 2 3=18，所以參加數(shù)學(xué)小 的是王 且參加美 小 的是女同學(xué) 的 法有18 種， 216- 18=198，所以參加數(shù)學(xué)小 的不是女同學(xué)王 ，且參加美 小 的是女同學(xué)的 法有198 種。【例12】某校 行男生 球比 ，比 分成3 個(gè) 段 行，第一

24、 段：將參加比 的48 名 手分成 8 個(gè)小 ，每 6 人，分 行 循 ；第二 段：將8 個(gè)小 生的前2名共 16 人再分成4 個(gè)小 ，每 4 人，分 行 循 ；第三 段：由4 個(gè)小 生的 4 個(gè)第 1名 行2 半決 和2 決 ，確定1至4 名的名次 ：整個(gè) 程一共需要 行多少 比 ？【解析】 第一 段中，每個(gè)小 內(nèi)部的6個(gè)人每 2人要 一 ， 內(nèi) C626515 ，共 8 個(gè)小 ，有2143158120 ；第二 段中，每個(gè)小 內(nèi)部4人中每 2 人 一 ， 內(nèi) 2 ，共 4 個(gè)小 ，C4261有 64 24 ；第三 段 224 根據(jù)加法原理，整個(gè) 程一共有12024 4148 比 ?！纠?3】

25、由數(shù)字 1，2，3 成五位數(shù)， 要求 五位數(shù)中1，2，3 至少各出 一次， 那么 的五位數(shù)共有_個(gè)。 ( 2007 年“迎春杯”高年 決 )【解析】 這 是一道 合 數(shù) 由于 目中 要求1，2， 3至少各出 一次，沒有確定1， 2 ， 3出 的具體次數(shù)，所以可以采取分 枚 的方法 行 ，也可以從反面想，從由1,2,3 成的五位數(shù)中，去掉 有 1個(gè)或 2個(gè)數(shù)字 成的五位數(shù)即可1( 法 1) 分兩 ：1， 2 ， 3中恰有一個(gè)數(shù)字出 3次， 的數(shù)有460 ( 個(gè) ) ； 1 ， 2 ， 3 中有C3 5兩個(gè)數(shù)字各出 2次， 的數(shù)有C325 C4290( 個(gè) ) 符合 意的五位數(shù)共有60 90 15

26、0 ( 個(gè) ) ( 法2) 從反面想，由1 ，2 ， 3 成的五位數(shù)共有35 個(gè)，由 1 ， 2 ， 3 中的某 2 個(gè)數(shù)字 成的五位數(shù)共有3 (2 52)個(gè)，由1， 2， 3 中的某 1 個(gè)數(shù)字 成的五位數(shù)共有3 個(gè)，所以符合 意的五位數(shù)共有353(2 52) 3 150 ( 個(gè) ) ?！纠?4】10個(gè)人 成一圈，從中 出兩個(gè)不相 的人，共有多少種不同 法？【解析】( 法1) 乘法原理按 意，分 站在每個(gè)人的立 上，當(dāng)自己被 中后，另一個(gè)被 中的，可以是除了自己和左右相 的兩人之外的所有人，每個(gè)人都有7 種 ， 共就有71070 種 ，但是需要注意的是， 的 程中，會(huì)出 “ 了甲、乙， 了乙

27、、甲” 的情況本來是同一種 ，而卻算作了兩種，所以最后的 果 是( 101 11)10 235 ( 種) C102 ，而被 的兩個(gè)人相 ( 法2) 排除法可以從所有的兩人 合中排除掉相 的情況， 的 合數(shù) 的情況有 10 種，所以共有 C10210451035 ( 種) ?！纠?5】 8 個(gè)人站 ，冬冬必 站在小悅和阿奇的中 （不一定相 ），小慧和大智不能相 ，小光和大亮必 相 ， 足要求的站法一共有多少種？【解析】 冬冬要站在小悅和阿奇的中 ，就意味著只要 三個(gè)人 定了三個(gè)位置，中 的位置就一定要留 冬冬，而兩 的位置可以任意地分配 小悅和阿奇小慧和大智不能相 的互 事件是小慧和大智必 相

28、小光和大亮必 相 ， 可以將兩人捆 考 只 足第一、三個(gè)條件的站法 數(shù) ：32123（種）C7P2C4P2P3 3360同 足第一、三個(gè)條件， 足小慧和大智必 相 的站法 數(shù) ：C63P22P32P22P22960 （種）因此同 足三個(gè)條件的站法 數(shù) ：33609602400（種）?！纠?6】小明有 10 大白兔奶糖 , 從今天起 , 每天至少吃一 . 那么他一共有多少種不同的吃法?【解析】 我 將 10 大白兔奶糖從左至右排成一列, 如果在其中 9個(gè) 隙中的某個(gè)位置插入“木棍” , 將 lO 塊糖分成了兩部分。我 從左至右 , 第 1 部分是第1 天吃的 , 第 2 部分是第 2天吃的 ,

29、，如 : | 表示第一天吃了3 粒 , 第二天吃了剩下的7 粒： | |表示第一天吃了4 粒, 第二天吃了 3 粒 , 第三天吃了剩下的3 粒不 知 , 每一種插入方法 一種吃法, 而 9個(gè) 隙 , 每個(gè) 隙可以插人也可以不插入, 且相互獨(dú)立， 故共有 29=512 種不同的插入方法, 即 512 種不同的吃法。5最新 料推薦【鞏固】 小紅有 10 塊糖，每天至少吃1 塊， 7 天吃完，她共有多少種不同的吃法？【解析】 分三種情況來考慮： 當(dāng)小紅最多一天吃4塊時(shí)，其余各每天吃1塊，吃 4 塊的這天可以是這七天里的任何一天，有7 種吃法； 當(dāng)小紅最多一天吃3塊時(shí)，必有一天吃2塊，其余五天每天吃1

30、塊，先選吃 3塊的那天，有7 種選擇，再選吃2 塊的那天，有6種選擇，由乘法原理，有7642種吃法； 當(dāng)小紅最多一天吃2塊時(shí)，必有三天每天吃2 塊，其四天每天吃1 塊，從 7天中選3 天，有3765( 種 ) 吃法。C732351742 35 84 ( 種) 不同的吃法根據(jù)加法原理，小紅一共有還可以用擋板法來解這道題，10 塊糖有9 個(gè)空，選6 個(gè)空放擋板，有C96C9384 ( 種 ) 不同的吃法?！眷柟獭?把 20個(gè)蘋果分給 3 個(gè)小朋友，每人最少分3 個(gè)，可以有多少種不同的分法？【解析】 ( 法 1) 先給每人2 個(gè)，還有14 個(gè)蘋果，每人至少分一個(gè)，13 個(gè)空插2 個(gè)板，有 C1327

31、8 種分法(法 2)也可以按分蘋果最多的人分的個(gè)數(shù)分類枚舉?！眷柟獭?有 10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？【解析】 如圖： | | ，將 10粒糖如下圖所示排成一排，這樣每兩顆之間共有9 個(gè)空，從頭開始吃， 若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九個(gè)空中畫兩條豎線，一共有98236 種方法【例17】某池塘中有 A、B、C 三只游船，A 船可乘坐3 人， B 船可乘坐 2 人， C 船可乘坐 1 人，今有3個(gè)成人和 2 個(gè)兒童要分乘這些游船，為安全起見， 有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，那么他們 5 人乘坐

32、這三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】 由于有兒童乘坐的游船上必須至少有1個(gè)成人陪同，所以兒童不能乘坐C 船若這5人都不乘坐 C 船，則恰好坐滿 A、B 兩船， 若兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在 A 船上，此時(shí) A船上還必須有1個(gè)成人， 有 C313種方法； 若兩個(gè)兒童不在同一條船上，即分別在 A、B 兩船上， 則 B船上有1個(gè)兒童和 1個(gè)成人，1個(gè)兒童有 C212種選擇， 1個(gè)成人有 C313 種選擇，所以有 23 6 種方法故5人都不乘坐 C 船有369 種安全方法；若這5人中有1人乘坐 C 船，這個(gè)人必定是個(gè)成人，有C313 種選擇其余的2 個(gè)成人與 2 個(gè)兒童，若兩個(gè)兒童在同一

33、條船上，只能在A 船上，此時(shí) A 船上還必須有 1 個(gè)成人，有C212 種方法，所以此時(shí)有 326 種方法；若兩個(gè)兒童不在同一條船上，那么B 船上有1個(gè)兒童和1個(gè)成人，此時(shí)1個(gè)兒童和1 個(gè)成人均有C212 種選擇，所以此種情況下有3 2212 種方法；故 5 人中有 1 人乘坐 C 船有61218種安全方法所以，共有9 1827 種安全乘法【例18】從 10名男生， 8名女生中選出 8 人參加游泳比賽在下列條件下，分別有多少種選法？恰有 3名女生入選；至少有兩名女生入選；某兩名女生，某兩名男生必須入選；某兩名女生，某兩名男生不能同時(shí)入選；某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人?！窘馕觥?恰有 3

34、名女生入選，說明男生有5 人入選，應(yīng)為C83C10514112 種；要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求運(yùn)用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：C188C108C107C8143758 ； 4人必須入選，則從剩下的14人中再選出另外4 人，有 C1441001 種；從所有的選法C188 種中減去這4 個(gè)人同時(shí)入選的C144 種：C188C14443758 100142757分三類情況：4人無人入選；4 人僅有 1人入選； 4 人中有 2人入選，共：C148C41C147C42C14634749 。6最新 料推薦【鞏固】 在 6 名內(nèi)

35、科醫(yī)生和4 名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5 人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照下列條件各有多少種選派方法？ 有 3 名內(nèi)科醫(yī)生和 2 名外科醫(yī)生； 既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生； 至少有一名主任參加； 既有主任，又有外科醫(yī)生?！窘馕觥?先從 6 名內(nèi)科醫(yī)生中選 3名，有 C6365420 種選法；再從4 名外科醫(yī)生中選2名，共有 C42 433216 種選法根據(jù)乘法原理，一共有選派方法206120種21109876 用“去雜法”較方便，先考慮從10 名醫(yī)生中任意選派 5人，有 C105252 種選派方54321法；再考慮只有外科醫(yī)生或只有內(nèi)科醫(yī)生的情況由于外科醫(yī)生只有4人，所以不可能只

36、派外科醫(yī)生如果只派內(nèi)科醫(yī)生，有C65C616種選派方法所以，一共有2526246 種既有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生的選派方法。 如果選 1 名主任， 則不是主任的8 名醫(yī)生要選4 人，有 2C8428765140 種選派方法； 如果4321選 2 名主任，則不是主任的8 名醫(yī)生要選3人，有 1 C83187656 種選派方法 根據(jù)加法原理，321一共有 14056196 種選派方法 分兩類討論：若選外科主任，則其余4人可任意選取，有49876126 種選取方法；C94321若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余4 人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，用“去雜法”有C84C54 8765543265 種選取法4321

37、4321根據(jù)加法原理，一共有12665191種選派方法?！纠?9】在 10 名學(xué)生中，有5 人會(huì)裝電腦，有3 人會(huì)安裝音響設(shè)備，其余2 人既會(huì)安裝電腦，又會(huì)安裝音響設(shè)備，今選派由6 人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要3 人，安裝音響設(shè)備要3人，共有多少種不同的選人方案？【解析】 按具有雙項(xiàng)技術(shù)的學(xué)生分類： 兩人都不選派，有C5354310 ( 種 ) 選派方法； 兩人中選派 1人，有 2321種選法而針對(duì)此人的任務(wù)又分兩類：若此人要安裝電腦， 則還需225410( 種 )選法，而另外會(huì)安裝音響設(shè)備的3 人人安裝電腦， 有 C521全選派上，只有1種選法由乘法原理，有10110( 種) 選法；若此人安裝音響設(shè)備，則還需從3人中選2 人安裝音響設(shè)備，有C32323 ( 種 ) 選法，需從5 人中54321選 3人安裝電腦，有C5310 ( 種 ) 選法由乘法原理，有31030( 種 ) 選法321根據(jù)加