1、5.3平面向量的數(shù)量積和運(yùn)算律,高效梳理,平面向量的數(shù)量積,與平面向量的數(shù)量積有關(guān)的結(jié)論 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).,向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法的區(qū)別 兩向量的數(shù)量積是兩向量之間的一種乘法,與數(shù)的乘法是有區(qū)別的. (1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是個(gè)數(shù)量,而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積,其符號(hào)由夾角的余弦值決定. (2)當(dāng)a0時(shí),由ab=0不能推出b一定是零向量.這是因?yàn)閷?duì)任一與a垂直的非零向量b,都有ab=0.,(3)ab=bca=c. (4)一般地,a(bc)(ab)c.這是由于bc和ab都是實(shí)數(shù),而a與c不一定共線. (5)對(duì)于實(shí)數(shù)ab,有|ab|=|a|b|

2、,但對(duì)于向量ab,有|ab|a|b|.,利用數(shù)量積求長(zhǎng)度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用,要掌握此類問題的處理方法 (1)|a|2=a2=aa; (2)|ab|2=(ab)2=a22ab+b2; (3)若a=(x,y),則|a|= .,兩個(gè)向量的夾角 (1)定義:已知兩個(gè)非零向量a和b,作 =a, =b,則AOB稱作向量a與向量b的夾角,記作. (2)范圍:向量夾角的范圍是0,且=.,考點(diǎn)自測(cè),1.下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)為() 若ab=0,則ab; 若ab=bc且b0,則a=c; (ab)c=a(bc); (ab)2=a2b2. A.4 B.2 C.0 D.3,解析:ab=0時(shí),ab或a=0或b=0

3、.故命題錯(cuò). ab=bc,b(a-c)=0, 又b0,a=c或b(a-c), 故命題錯(cuò)誤. ab與bc都是實(shí)數(shù),故(ab)c是與c共線的向量,a(bc)是與a共線的向量, (ab)c不一定與a(bc)相等. 故命題不正確. (ab)2=(|a|b|cos)2=|a|2|b|2cos2|a|2|b|2=a2b2,故命題不正確.,答案:C,2.若a與b-c都是非零向量,則“ab=ac”是“a(b-c)”的() A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,答案:C,答案:C,4.已知|a|=1,|b|= ,且a(a-b),則向量a與b的夾角是_.,5.已知

4、i,j為互相垂直的單位向量,a=i-2j,b=i+j,且為銳角,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.,題型突破,題型一tixingyi利用數(shù)量積求向量的夾角,規(guī)律方法:本題也可用坐標(biāo)法表示同量,或利用加法的幾何意義解答.,創(chuàng)新預(yù)測(cè)1已知ab都是非零向量,且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直,求a與b的夾角.,解析:由已知:(a+3b)(7a-5b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0. 即7a2+16ab-15b2=0, 7a2-30ab+8b2=0, 兩式相減,得2ab=b2.,題型二tixinger利用數(shù)量積求向量的模 【例2】已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120. (1)計(jì)

5、算:|a+b|;|4a-2b|. (2)當(dāng)k為何值時(shí),(a+2b)(ka-b)?,規(guī)律方法:(1)利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用,要掌握此類問題的處理方法: |a|2=a2=aa; |ab|2=a22ab+b2; 若a=(x,y),則|a|= . (2)對(duì)于非零向量a,b,ab ab=0是非常重要的性質(zhì),它對(duì)于解決平面幾何圖形中有關(guān)垂直問題十分有效,應(yīng)熟練掌握,若兩非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abx1x2+y1y2=0.,創(chuàng)新預(yù)測(cè)2已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61. (1)求a與b的夾角; (2)求|a+b|; (3)若 =a, =b

6、,求ABC的面積.,題型三tixingsan利用數(shù)量積求解垂直問題 【例3】在ABC中, =(2,3), =(1,k),且ABC的一個(gè)角為直角,求k的值.,規(guī)律方法:三角形一內(nèi)角為直角,不能確定哪個(gè)角為直角,因此要分三種情況分別來解,在求解的過程中,要弄清直角應(yīng)為哪兩個(gè)向量的夾角，然后求這個(gè)向量的坐標(biāo).,題型四tixingsi平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的交匯 【例4】已知ABC的坐標(biāo)分別為A(4,0),B(0,4),C(3cos,3sin). (1)若(-,0)且| |=| |,求角的值; (2)若 =0,求,規(guī)律方法:向量與三角函數(shù)相結(jié)合是高考命題的熱點(diǎn),解題的基本思路是,根據(jù)向量的基本運(yùn)算

7、對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后通過三角誘導(dǎo)公式或和差公式對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn),再求值或研究其性質(zhì).,創(chuàng)新預(yù)測(cè)4已知向量m=(2sinx,cosx),n=( cosx,2cosx),定義函數(shù)f(x)=loga(mn-1)(a0,a1). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)確定函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.,對(duì)接高考,1.(2008寧夏)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),a+b與a垂直,則=() A.-1 B.1 C.-2 D.2,解析:a+b=(+4,-3-2). a+b與a垂直,(a+b)a=10+10=0. =-1.,答案:A,答案:D,答案:A,方法二:本題如果采用建立直角坐標(biāo)系,運(yùn)用

8、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算較為簡(jiǎn)單,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,根據(jù)題設(shè)條件即可知A(0,3),B(- ,0),M(0,2),答案:-2,高效作業(yè),一選擇題,1.(2009福建)設(shè)a,b,c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量,且滿足a與b不共線,ac,|a|=|c|,|bc|的值一定等于() A.以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積 B.以b,c為鄰邊的平行四邊形的面積 C.以a,b為兩邊的三角形的面積 D.以b,c為兩邊的三角形的面積,答案:A,解析:設(shè)=,(0,), = ,= -. 以a,b為鄰邊的平行四邊形面積為|a|b|sin, 而|bc|=|b|c|cos( -)|=|b|c|sin,

9、又|a|=|c|,|bc|=|a|b|sin.,2.(2009全國)設(shè)非零向量abc滿足|a|=|b|=|c|,a+b=c,則=() A.150 B.120 C.60 D.30,答案:B,解析:如圖所示. |a|=|b|=|c|,OAB是正三角形. =120.,3.(2009遼寧)平面向量a與b的夾角為60,a=(2,0),|b|=1,則|a+2b|等于( ) A. B.2 C.4 D.2,答案:B,答案:A,5.(2009福建福州三中模擬)已知點(diǎn)O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且 則O一定為ABC的() A.外心 B.內(nèi)心 C.垂心 D.重心,答案:C,答案:B,二填空題,7.(2009上海十校聯(lián)

10、考)已知平面上直線l的方向向量d=(3,-4),點(diǎn)O(0,0)和A(4,-2)在l上的射影分別是O1和A1,則|O1A1|=_.,答案:4,答案:0,9.(2009福建龍巖質(zhì)檢)設(shè)向量a,b滿足|a-b|=2,|a|=2,且a-b與a的夾角為 ,則|b|=_.,答案:2,三解答題,10.(2009山東日照3月模擬)若a,b是兩個(gè)不共線的非零向量,tR. (1)若a,b起點(diǎn)相同,t為何值時(shí),a,tb, (a+b)三向量的終點(diǎn)在一直線上? (2)若|a|=|b|且a與b夾角為60,t為何值時(shí),|a-tb|的值最小?,11.(2009江蘇)設(shè)向量a=(4cos,sin),b=(sin,4cos),c=(cos,-4sin). (1)若a與b-2c垂直,求tan(+)的值; (2