1、第二章第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 2.12.1映射、函數(shù)、反函數(shù)映射、函數(shù)、反函數(shù) 一、知識導學一、知識導學 1.映射：一般地，設 A、B 兩個集合，如果按照某種對應法則 ，對于集合 A 中的任 何一個元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的單值對應叫做集合 A 到集 合 B 的映射，記作 f：AB.(包括集合 A、B 及 A 到 B 的對應法則) 2.函數(shù)： 設 A，B 都是非空的數(shù)集，如果按某種對應法則f，對于集合 A 中每一個元 素x，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應，且 B 中每一個元素都的原象，這樣的對應叫 做從集合 A 到集合 B 的一個函

2、數(shù)，記作 ( )yf x . 其中所有的輸入值x組成的集合 A 稱為函數(shù) ( )yf x 定義域. 對于 A 中的每一個x，都有一個輸出值y與之對應，我們將所有輸出值y組成的集合 稱為函數(shù)的值域. 3.反函數(shù)：一般地，設函數(shù) y=f(x)(xA)的值域是 C，根據(jù)這個函數(shù)中 x,y 的關系， 用 y 把 x 表示出來，得到 x=f-1(y). 若對于 y 在 C 中的任何一個值，通過 x 在 A 中都有唯 一的值和它對應，那么 x=f-1(y)就表示 y 是自變量，x 是自變量 y 的函數(shù)，這樣的函數(shù)叫 做函數(shù) y=f(x)(xA)的反函數(shù)，記作 x=f-1(y). 我們一般用 x 表示自變量

3、，用 y 表示函 數(shù)，為此我們常常對調(diào)函數(shù) x=f-1(y)中的字母 x,y，把它改寫成 y=f-1(x) 反函數(shù) y=f-1(x)的 定義域、值域分別是函數(shù) y=f(x)的值域、定義域. 二、疑難知二、疑難知識導析識導析 1.對映射概念的認識 (1) 與 是不同的，即 與 上有序的.或者說：映射是有方向的， (2) 輸出值的集合是集合 B 的子集.即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到對應的輸入值.集 合 A 中每一個輸入值，在集合 B 中必定存在唯一的輸出值.或者說：允許集合 B 中有剩留元 素；允許多對一，不允許一對多. (3)集合 A，B 可以是數(shù)集，也可以是點集或其它類型的集合

4、. 2.對函數(shù)概念的認識 （1）對函數(shù)符號 ( )f x的理解知道 y=( )f x與 ( )f x的含義是一樣的，它們都表示 是 的函數(shù)，其中 是自變量，( )f x是函數(shù)值，連接的紐帶是法則 .是單值對應. (2)注意定義中的集合 A，B 都是非空的數(shù)集,而不能是其他集合； （3）函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法，和圖像法. 3.對反函數(shù)概念的認識 （1）函數(shù)y=( )f x只有滿足是從定義域到值域上一一映射，才有反函數(shù)； （2）反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域，因此反函數(shù)的定義域一般不 能由其解析式來求，而應該通過原函數(shù)的值域而得. （3）互為反函數(shù)的函數(shù)有相同的單調(diào)性，它

5、們的圖像關于 y=x 對稱. 三、經(jīng)典例題導講三、經(jīng)典例題導講 例例 11設 Ma，b，c ，N2,0,2,求（1）從 M 到 N 的映射種數(shù)； （2）從 M 到 N 的映射滿足 f(a)f(b)f(c),試確定這樣的映射f的種數(shù). 錯解錯解：（1）由于 Ma，b，c ，N2,0,2 ，結合映射的概念，有 220022 0 ,2 ,2 ,2,0 ,2 222220 aaaaaa bbbbbb cccccc ，共 6 個映射 (2)由（1）得滿足條件的映射僅有 2 0 2 a b c 一種情況 錯因錯因：沒有找全滿足條件的映射個數(shù)，關健是對概念認識不清 正解正解：（1）由于 Ma，b，c ，N2

6、,0,2 ，結合映射的概念，有 一共有 27 個映射 （2）符合條件的映射共有 4 個 0222 ,2,2,0 ,0, 2220 aaaa bbbb cccc 例例 22已知函數(shù)( )f x的定義域為0，1，求函數(shù)(1)f x 的定義域 錯解錯解：由于函數(shù)( )f x的定義域為0，1，即01x，112x (1)f x 的定義域是1，2 錯因錯因：對函數(shù)定義域理解不透，不明白( )f x與( ( )f u x定義域之間的區(qū)別與聯(lián)系，其實在 這里只要明白：( )f x中x取值的范圍與( ( )f u x中式子( )u x的取值范圍一致就好了. 正解正解：由于函數(shù)( )f x的定義域為0，1，即01

7、x(1)f x 滿足011x 10 x ，(1)f x 的定義域是1，0 例例 33已知： *, xN 5(6) ( ) (2)(6) xx f x f xx ，求(3)f. 錯解錯解： 5(6) ( ) (2)(6) xx f x f xx ，(2)(2)53f xxx 故 5(6) ( ) 3(6) xx f x xx ，(3)f330. 錯因錯因：沒有理解分段函數(shù)的意義，(3)f的自變量是 3，應代入(2)f x 中去，而不是代入 x5 中，只有將自變量化為不小于 6 的數(shù)才能代入解析式求解. 正解正解： 5(6) ( ) (2)(6) xx f x f xx ， (3)f(32)(5)

8、ff(52)(7)ff7-52 例例 44已知( )f x的反函數(shù)是 1( ) fx ，如果( )f x與 1( ) fx 的圖像有交點，那么交點必在 直線yx上，判斷此命題是否正確？ 錯解錯解：正確 錯因錯因：對互為反函數(shù)的圖像關于直線yx對稱這一性質(zhì)理解不深，比如函數(shù) 1 16 1 ()log 16 x yyx與的圖像的交點中，點 1 11 1 ( , ), 2 44 2 （，）不在直線yx上，由此可以 說明說明“兩互為反函數(shù)圖像的交點必在直線yx上”是不正確的. 例例 55求函數(shù) 2 ( )46yf xxx，1,5)x的值域. 錯解錯解： 22 (1)14 163,(5)545611ff

9、 又1,5)x，( )f x的值域是311， 錯因錯因: :對函數(shù)定義中，輸入定義域中每一個 x 值都有唯一的 y 值與之對應，錯誤地理解為 x 的兩端點時函數(shù)值就是 y 的取值范圍了. 正解正解：配方，得 22 ( )46(2)2yf xxxx 1,5)x，對稱軸是2x 當2x 時，函數(shù)取最小值為(2)f2， ( )(5)11f xf ( )f x的值域是211， 例例 66已知( )34f xx，求函數(shù) 1( 1)fx 的解析式. 錯解錯解：由已知得(1)3(1)437f xxx 37,yx即 7 3 y x ， 1( 1)fx 7 3 x 錯因錯因：將函數(shù) 1( 1)fx 錯誤地認為是(

10、1)f x 的反函數(shù)，是由于對函數(shù)表達式理解不透 徹所致，實際上(1)f x 與 1( 1)fx 并不是互為反函數(shù)，一般地應該由( )f x先求 1( ) fx ，再去得到 1( 1)fx . 正解正解：因為( )34f xx的反函數(shù)為 1( ) fx 4 3 x ， 所以 1( 1)fx (1)43 33 xx 1 1 3 x 例例 77根據(jù)條件求下列各函數(shù)的解析式： （1）已知( )f x是二次函數(shù)，若(0)0,(1)( )1ff xf xx，求( )f x. （2）已知(1)2fxxx，求( )f x （3）若( )f x滿足 1 ( )2 ( ),f xfax x 求( )f x 解解

11、：（1）本題知道函數(shù)的類型，可采用待定系數(shù)法求解 設( )f x 2 (0)axbxca由于(0)0f得 2 ( )f xaxbx， 又由(1)( )1f xf xx， 22 (1)(1)1a xb xaxbxx 即 22 (2)(1)1axab xabaxbx 21 1 0 2 1 abb aab ab 因此：( )f x 2 11 22 xx (2)本題屬于復合函數(shù)解析式問題，可采用換元法求解 設 22 ( )(1)2(1)1(1)f uuuuu ( )f x 2 1x （1x ） （3）由于( )f x為抽象函數(shù)，可以用消參法求解 用 1 x 代x可得： 11 ( )2 ( ),ff x

12、a xx 與 1 ( )2 ( )f xfax x 聯(lián)列可消去 1 ( )f x 得：( )f x 2 33 aax x . 1(0),1(1)uxxxuu 點評點評：求函數(shù)解析式（1）若已知函數(shù)( )f x的類型，常采用待定系數(shù)法；（2）若已知 ( )f g x表達式，常采用換元法或采用湊合法；（3）若為抽象函數(shù)，常采用代換后消參法. 例例 88 已知xyx623 22 ，試求 22 yx 的最大值. 分析分析：要求 22 yx 的最大值，由已知條件很快將 22 yx 變?yōu)橐辉魏瘮?shù) , 2 9 )3( 2 1 )( 2 xxf然后求極值點的x值，聯(lián)系到0 2 y，這一條件，既快又準地求

13、出最大值. 解 由 xyx623 22 得 . 2 0, 03 2 3 , 0 .3 2 3 22 22 xxxy xxy 又, 2 9 )3( 2 1 3 2 3 22222 xxxxyx 當2x時， 22 yx 有最大值，最大值為 . 4 2 9 )32( 2 1 2 點評點評：上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的深刻性.大部分學生的作法如下： 由 xyx623 22 得 ,3 2 3 22 xxy , 2 9 )3( 2 1 3 2 3 22222 xxxxyx 當3x時， 22 yx 取最大值，最大值為 2 9 這種解法由于忽略了0 2 y這一條件，致使計算結果出現(xiàn)錯誤.因此，要注意

14、審題，不僅 能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知 條件，又要注意次要條件，甚至有些問題的觀察要從相應的圖像著手，這樣才能正確地解 題. 例例 99設( )f x是 R 上的函數(shù)，且滿足(0)1,f并且對任意的實數(shù), x y都有 ()( )(21)f xyf xyxy，求( )f x的表達式. 解法一解法一：由(0)1,f()( )(21)f xyf xyxy，設xy， 得(0)( )(21)ff xxxx，所以( )f x 2 1xx 解法二解法二：令0 x ，得(0)(0)(1)fyfyy 即()1(1)fyyy 又將y用x代換到上式中得( )f x

15、 2 1xx 點評點評：所給函數(shù)中含有兩個變量時，可對這兩個變量交替用特殊值代入，或使這兩個變量 相等代入，再用已知條件，可求出未知的函數(shù).具體取什么特殊值，根據(jù)題目特征而定. 四、典型習題導練四、典型習題導練 1. 已知函數(shù) f(x)，xF，那么集合(x，y)|y=f(x)，xF(x，y)|x=1中所含元素 的個數(shù)是（ ） A.0 B.1 C.0 或 1 D.1 或 2 2.對函數(shù)baxxxf 2 3)(作代換x=g(t)，則總不改變f(x)值域的代換是( )A. ttg 2 1 log)(B. t tg) 2 1 ()( C.g(t)=(t1)2D.g(t)=cost 3.方程f(x,y)

16、=0 的曲線如圖所示，那么方程f(2x,y)=0 的曲線是 ( ) 4.函數(shù) f(x)的最小值為 19 i1 |xn| A190 B.171 C.90 D.45 5. 若函數(shù)f(x)= 34 x mx (x 4 3 )在定義域內(nèi)恒有ff(x)=x,則m等于( ) A.3B. 2 3 C. 2 3 D.3 6.已知函數(shù)( )f x滿足：()( )( )f abf af b，(1)2f，則 2222 (1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) (1)(3)(5)(7) ffffffff ffff . 7.已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)=) 1 ( 1 2 x x a a (其中a0,a

17、1,x0),求f(x)的表達式. ABCD 8.已知函數(shù)( )f x是函數(shù) 2 1 101 x y （xR）的反函數(shù)，函數(shù)( )g x的圖像與函數(shù) 43 1 x y x 的圖像關于直線 yx1 成軸對稱圖形，記( )F x( )f x+( )g x. （1）求函數(shù) F（x）的解析式及定義域； （2）試問在函數(shù) F（x）的圖像上是否存在兩個不同的點 A、B，使直線 AB 恰好與 y 軸垂直？ 若存在，求出 A、B 兩點的坐標；若不存在，說明理由. 2.22.2 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 一、知識導學一、知識導學 1.函數(shù)的單調(diào)性： （1）增函數(shù)：一般地，設函數(shù) ( )yf x 的定義域為 I，如果定

18、義域 I 內(nèi)某個區(qū)間上任 意兩個自變量的值 x1,x2,當 x1x2時，都有 f(x1)f(x2),那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是增 函數(shù). （2）減函數(shù)：一般地，設函數(shù) ( )yf x 的定義域為 I，如果定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間上任 意兩個自變量的值 x1,x2,當 x1x2時,都有 f(x1)f(x2),那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是減 函數(shù). （3）單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）如 y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù) f(x)在 這區(qū)間上具有單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù) y=f(x)的單調(diào)區(qū)間. 2.函數(shù)的奇偶性： （1）奇函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個

19、 x，都有 f(x) =f(x)，那么函數(shù) f(x)就叫做奇函數(shù). （2）一般地，如果對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f(x) =f(x)，那么 函數(shù) f(x)就叫做偶函數(shù). （3）如果函數(shù) f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么就說 f(x)具有奇偶性. 3.函數(shù)的圖像：將自變量的一個值 x0作為橫坐標，相應的函數(shù)值 f(x0)作為縱坐標， 就得到平面內(nèi)的一個點（x0,f(x0)） ，當自變量取遍函數(shù)定義域內(nèi)的每一個值時，就得到一 系列這樣的點，所有這些點的集合（點集）組成的圖形就是函數(shù) y=f(x)的圖像. 二、疑難知識導析二、疑難知識導析 1. 對函數(shù)單調(diào)性的理解， 函數(shù)的單調(diào)

20、性一般在函數(shù)的定義域內(nèi)的某個子區(qū)間上來討 論，函數(shù) y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù) 在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間 而言的，所以要受到區(qū)間的限制. 2.對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)這兩個等式上， 要明確對定義域內(nèi)任意一個 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質(zhì)：函數(shù)的定義域關于 原點對稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件.稍加推廣，可得函數(shù) f(x)的圖像關于直線 x=a 對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意 x，都有 f(x+a

21、)=f(a-x)成立.函數(shù)的奇偶性是其相應 圖像的特殊的對稱性的反映. 這部分的難點是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運用.根據(jù)已知條件，調(diào)動相關知識， 選擇恰當?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對學生能力的較高要求. 3. 用列表描點法總能作出函數(shù)的圖像，但是不了解函數(shù)本身的特點，就無法了解函數(shù) 圖像的特點，如二次函數(shù)圖像是拋物線，如果不知道拋物線的頂點坐標和存在著對稱軸， 盲目地列表描點是很難將圖像的特征描繪出來的. 三、經(jīng)典例題導講三、經(jīng)典例題導講 例例 11判斷函數(shù) 1 ( ) 3 x y 的單調(diào)性. 錯解錯解： 11 01,( ) 33 x y 是減函數(shù) 錯因錯因：概念不清，導致判斷錯誤.這是一個復合函數(shù)

22、，而復合函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間） ， 仍是從基礎函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間）分析，但需注意內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性的變化. 當然這個函數(shù)可化為3xy ，從而可判斷出其單調(diào)性. 正解正解：令tx ，則該函數(shù)在 R 上是減函數(shù)，又 11 01,( ) 33 t y 在 R 上是減函數(shù)， 1 ( ) 3 x y 是增函數(shù) 例例 22判斷函數(shù) 1 ( )(1) 1 x f xx x 的奇偶性. 錯解錯解： 1 ( )(1) 1 x f xx x 22 1 (1)1 1 x xx x 22 ()1()1( )fxxxf x 1 ( )(1) 1 x f xx x 是偶函數(shù) 錯因錯因：對函數(shù)奇偶性定義實質(zhì)理

23、解不全面.對定義域內(nèi)任意一個 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x) =-f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關于原點對稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件. 正解正解： 1 ( )(1) 1 x f xx x 有意義時必須滿足 1 011 1 x x x 即函數(shù)的定義域是x11x ，由于定義域不關于原點對稱，所以該函數(shù)既不是奇 函數(shù)也不是偶函數(shù) 例 3 判斷 2 2 ( )log (1)f xxx的奇偶性. 錯解錯解：)1(log)1)(log)( 2 2 2 2 xxxxxf )()(xfxf且)()(xfxf 所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 錯因錯因：對數(shù)運算公式不熟悉，或者說奇偶性的判別

24、方法不靈活.定義中 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)，也可改為研究 f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)0 是否成立. 正解正解：方法一：)1(log)1)(log)( 2 2 2 2 xxxxxf 1 1 log 2 2 xx )1(log 2 2 xx)(xf )(xf是奇函數(shù) 方法二：)1(log)1(log)()( 2 2 2 2 xxxxxfxf 01log)1()1(log 2 22 2 xxxx )()(xfxf)(xf是奇函數(shù) 例例 44函數(shù) y= 2 45xx 的單調(diào)增區(qū)間是_. 錯解錯解：因為函數(shù) 2 ( )54g xxx的對稱軸是2x ，圖像是拋

25、物線，開口向下，由圖 可知 2 ( )54g xxx在(, 2 上是增函數(shù)，所以 y= 2 45xx 的增區(qū)間是 (, 2 錯因錯因：在求單調(diào)性的過程中注意到了復合函數(shù)的單調(diào)性研究方法，但沒有考慮到函數(shù)的單 調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，從而忽視了函數(shù)的定義域，導致了解題的錯誤. 正解正解：y= 2 45xx 的定義域是 5,1，又 2 ( )54g xxx在區(qū)間 5, 2上增函數(shù)， 在區(qū)間 2,1是減函數(shù)，所以 y= 2 45xx 的增區(qū)間是 5, 2 例例 55 已知奇函數(shù)f(x)是定義在(3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x3)+f(x23) 0,求x的取值范圍. 錯解錯解：f(x)

26、是奇函數(shù)，f(x3)3x2,即x2+x60 解得x2 或x3 又 f(x)是定義在(3，3)上的函數(shù)， 所以 2x3 錯因錯因：只考慮到奇函數(shù)與單調(diào)性，而沒有正確理解函數(shù)的定義域. 正解正解：由 66 60 333 333 2 x x x x 得,故 0x6, 又f(x)是奇函數(shù)，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2 或x3,綜上得 2x6,即A=x|2x6, 例例 66 作出下列函數(shù)的圖像(1)y=|x-2|(x1)；(2) |lg | 10 x y . 分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點有些困難，除去對其函數(shù)性質(zhì)分析外，我們 還應想到對已知解析式進行等價變形.在變換函數(shù)解析式中

27、運用了轉化變換和分類討論的思 想. 解：(1)當 x2 時，即 x-20 時， 當 x2 時，即 x-20 時， 所以 )2( 4 9 ) 2 1 ( )2( 4 9 ) 2 1 ( 2 2 xx xx y 這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖像可根據(jù)二次函數(shù)圖像作出(見圖) (2)當 x1 時，lgx0，y=10lgx=x； 當 0 x1 時，lgx0， 所以 這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出.(見圖) 點評：作不熟悉的函數(shù)圖像，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過程是否等價， 要特別注意 x，y 的變化范圍.因此必須熟記基本函數(shù)的圖像.例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、 二次函數(shù)、

28、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖像. 例例 77若 f(x)= 2 1 x ax 在區(qū)間（2，）上是增函數(shù)，求 a 的取值范圍 解解：設 12 1212 12 11 2,()() 22 axax xxf xf x xx 1221 12 12121221 12 112212 1212 (1)(2)(1)(2) (2)(2) (22)(22) (2)(2) 22(21)() (2)(2)(2)(2) axxaxx xx ax xaxxax xaxx xx axxaxxaxx xxxx 由f(x)= 2 1 x ax 在區(qū)間（2，）上是增函數(shù)得 12 ()()0f xf x210a a

29、 2 1 點評點評：有關于單調(diào)性的問題，當我們感覺陌生，不熟悉或走投無路時，回到單調(diào)性的定義 上去，往往給我們帶來“柳暗花明又一村”的感覺. 例例 88 已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f( 2 1 )=1,當且僅當 0x1 時f(x)0,且對任 意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f( xy yx 1 ),試證明： (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減 解解：證明：(1)由f(x)+f(y)=f( xy yx 1 ),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f( 2 1x xx )=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)為奇函數(shù).

30、 (2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減. 令 0x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f( 21 12 1xx xx ) 0x1x20,1x1x20， 21 12 1xx xx 0, 又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1, 0 12 12 1xx xx 1,由題意知f( 21 12 1xx xx )0， 即f(x2) 2 1 時，f(x)0. (1)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)； (2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個函數(shù)，并加以驗證. 7.已知函數(shù)y=f(x)= cbx ax 1 2 (a,b,cR,a0,b0)是奇函數(shù)，當x0 時，f(

31、x)有最小值 2， 其中bN 且f(1) 2 5 . (1)試求函數(shù)f(x)的解析式； (2)問函數(shù)f(x)圖像上是否存在關于點(1，0)對稱的兩點，若存在，求出點的坐標；若不 存在，說明理由. 2.32.3基本初等函數(shù)基本初等函數(shù) 一、知識導學一、知識導學 1. 二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì). （1）注意解題中靈活運用二次函數(shù)的一般式 2 ( )(0)f xaxbxca 二次函數(shù)的頂點式 2 ( )()(0)f xa xmna和 二次函數(shù)的坐標式 12 ( )()()(0)f xa xxxxa （2）解二次函數(shù)的問題（如單調(diào)性、最值、值域、二次三項式的恒正恒負、二次方程根 的范圍等）要充分利用

32、好兩種方法：配方、圖像，很多二次函數(shù)都用數(shù)形結合的思想去解. 2 ( )(0)f xaxbxca，當 2 40bac 時圖像與 x 軸有兩個交點. M（x1,0）N(x2,0),|MN|=| x1- x2|= |a . 二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，它只能在區(qū)間的端點或二次函數(shù)的頂 點處取得. 2.指數(shù)函數(shù) x ya(0,1)aa和對數(shù)函數(shù)logayx(0,1)aa的概念和性質(zhì). （1）有理指數(shù)冪的意義、冪的運算法則： mnm n aaa ；() mnmn aa；()n nn aba b（這時 m,n 是有理數(shù)） 對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)、換底公式. log ()loglog;loglo

33、glog aaaaaa M M NMNMN N 1 loglog;loglog nn aaaa MnMMM n ； log log log c a c b b a （2）指數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點.對數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點. 指數(shù)函數(shù)圖像永遠在 x 軸上方，當 a1 時，圖像越接近 y 軸，底數(shù) a 越大；當 0a1 時，圖像越接近 x 軸，底數(shù) a 越大; 當 0a1 時，圖像越接近 x 軸，底數(shù) a 越 小. 3.冪函數(shù)yx的概念、圖像和性質(zhì). 結合函數(shù)y=x,y=x2 ,y=x3,y= 12 ,yxyx ,y= 1 2 x的圖像，了解它們的變化情況. 0 時，圖像都過（0,0）

34、 、 （1,1）點，在區(qū)間（0，+）上是增函數(shù)； 注意1 與 01 時，指數(shù)大的圖像在上方. 二、疑難知識導析二、疑難知識導析 1.二次函數(shù)在區(qū)間上最值的求解要注意利用二次函數(shù)在該區(qū)間上的圖像.二次函數(shù)的對稱 軸與區(qū)間的位置通常有三種情況：（1）定義域區(qū)間在對稱軸的右側；（2）定義域區(qū)間在 對稱軸的左側；（3）對稱軸的位置在定義域區(qū)間內(nèi) 2.冪的運算性質(zhì)、對數(shù)的運算性質(zhì)的運用，要注意公式正確使用.會用語言準確敘述這些 運算性質(zhì)防止出現(xiàn)下列錯誤： （1）式子 nn aa， （2）log ()loglog;log ()loglog aaaaaa MNMNM NMN 3.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解題，一定

35、要注意底數(shù)的取值. 4.函數(shù) ( )f x ya的研究方法一般是先研究( )f x的性質(zhì)，再由a的情況討論 ( )f x ya的 性質(zhì). 5.對數(shù)函數(shù)logayx(0,1)aa與指數(shù)函數(shù) x ya(0,1)aa互為反函數(shù)，會將 指數(shù)式與對數(shù)式相互轉化. 6.冪函數(shù)yx的性質(zhì)，要注意的取值變化對函數(shù)性質(zhì)的影響. （1）當 奇 奇 時，冪函數(shù)是奇函數(shù)；（2）當 奇 偶 時，冪函數(shù)是偶函數(shù)；（3）當 偶 奇 時，定義域不關于原點對稱，冪函數(shù)為非奇非偶函數(shù). 三、經(jīng)典例題導講三、經(jīng)典例題導講 例例 11已知 18 log 9,185, b a求 36 log45 錯解錯解：185, b 18 log

36、5b 181818 36 18181818 log45log 5log 9 log45 log 36log4log 9log4 ba a 錯因錯因：因對性質(zhì)不熟而導致題目沒解完. 正解正解：185, b 18 log 5b 181818 36 2 181818 1818 log45log 5log 9 log45 1818 log 36log4log 92 log ()2log () 99 bababa a aa 例例 22分析方程 2 ( )0f xaxbxc（0a ）的兩個根都大于 1 的充要條件. 錯解錯解：由于方程 2 ( )0f xaxbxc（0a ）對應的二次函數(shù)為 2 ( )f

37、xaxbxc的圖像與 x 軸交點的橫坐標都大于 1 即可. 故需滿足 (1)0 1 2 f b a ，所以充要條件是 (1)0 1 2 f b a 錯因錯因：上述解法中，只考慮到二次函數(shù)與 x 軸交點坐標要大于 1，卻忽視了最基本的的前 題條件，應讓二次函數(shù)圖像與 x 軸有交點才行，即滿足0，故上述解法得到的不是充要 條件，而是必要不充分條件. 正解正解：充要條件是 2 (1)0 1 2 40 f b a bac 例例 33求函數(shù)3612 65 xx y 的單調(diào)區(qū)間. 錯解錯解：令6xt，則3612 65 xx y 2 125tt 當 t6,即 x1 時，y 為關于 t 的增函數(shù)， 當 t6,

38、即 x1 時，y 為關于 t 的減函數(shù) 函數(shù)3612 65 xx y 的單調(diào)遞減區(qū)間是(,6，單調(diào)遞增區(qū)間為6,) 錯因錯因：本題為復合函數(shù)，該解法未考慮中間變量的取值范圍. 正解正解：令6xt，則6xt 為增函數(shù)， 3612 65 xx y 2 125tt 2 (6)41t 當 t6,即 x1 時，y 為關于 t 的增函數(shù)， 當 t6,即 x1 時，y 為關于 t 的減函數(shù) 函數(shù)3612 65 xx y 的單調(diào)遞減區(qū)間是(,1，單調(diào)遞增區(qū)間為1,) 例例 44已知)2(logaxy a 在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是 錯解錯解：)2(logaxy a 是由uy a log，axu

39、2復合而成，又a0 axu 2在0，1上是x的減函數(shù)，由復合函數(shù)關系知 uy a log應為增函數(shù)，a1 錯因錯因：錯因：解題中雖然考慮了對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)復合關系，卻忽視了數(shù)定義域的限制， 單調(diào)區(qū)間應是定義域的某個子區(qū)間，即函數(shù)應在0，1上有意義. 正解正解：)2(logaxy a 是由uy a log，axu 2復合而成，又a0 axu 2在0，1上是x的減函數(shù)，由復合函數(shù)關系知 uy a log應為增函數(shù)，a1 又由于x 在0，1上時 )2(logaxy a 有意義，axu 2又是減函數(shù)，x1 時， axu 2取最小值是au 2 min 0 即可，a2 綜上可知所求的取值范圍是 1a2

40、例例 55已知函數(shù)( )log (3) a f xax. （1）當0,2x時( )f x恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍. （2）是否存在這樣的實數(shù)a使得函數(shù)( )f x在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為 1， 如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由. 分析分析：函數(shù)( )f x為復合函數(shù)，且含參數(shù)，要結合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)具體分析找到正確的解 題思路，是否存在性問題，分析時一般先假設存在后再證明. 解：解：（1）由假設，ax30，對一切0,2x恒成立，0,1aa 顯然，函數(shù) g(x)= ax3在0，2上為減函數(shù)，從而 g(2)32a0 得到a 3 2 a的取值范圍是（0，1）（1， 3 2

41、 ） (2)假設存在這樣的實數(shù)a，由題設知(1)1f，即(1)log (3) a fa1 a 3 2 此時 3 ( )log (3) 2 a f xx 當2x 時，( )f x沒有意義，故這樣的實數(shù)不存在. 點評點評：本題為探索性問題，應用函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉化，存在性問題一般的 處理方法是先假設存在，結合已知條件進行推理和等價轉化，若推出矛盾，說明假設不成 立.即不存在，反之沒有矛盾，則問題解決. 例例 66已知函數(shù)f(x)= 1 421 lg 2 aa a xx , 其中a為常數(shù)，若當x(, 1時, f(x)有 意義，求實數(shù)a的取值范圍. 分析分析：參數(shù)深含在一個復雜的復合函數(shù)的

42、表達式中，欲直接建立關于a的不等式（組）非 常困難，故應轉換思維角度，設法從原式中把a分離出來，重新認識a與其它變元(x)的依 存關系，利用新的函數(shù)關系，常可使原問題“柳暗花明”. 解： 1 421 2 aa a xx 0, 且a2a+1=(a 2 1 )2+ 4 3 0, 1+2x+4xa0, a) 2 1 4 1 ( xx , 當x(, 1時, y= x 4 1 與y= x 2 1 都是減函數(shù)， y=) 2 1 4 1 ( xx 在(, 1上是增函數(shù)，) 2 1 4 1 ( xx max= 4 3 , a 4 3 , 故a的取值范圍是( 4 3 , +). 點評：點評：發(fā)掘、提煉多變元問題

43、中變元間的相互依存、相互制約的關系、反客為主，主客換 位，創(chuàng)設新的函數(shù)，并利用新函數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造性地使原問題獲解，是解題人思維品質(zhì)高的 表現(xiàn).本題主客換位后，利用新建函數(shù)y=) 2 1 4 1 ( xx 的單調(diào)性轉換為函數(shù)最值巧妙地求出 了實數(shù)a的取值范圍.此法也叫主元法. 例例 77若 11 33 (1)(32 )aa ，試求a的取值范圍. 解解：冪函數(shù) 1 3 yx 有兩個單調(diào)區(qū)間， 根據(jù)1a 和32a的正、負情況，有以下關系 10 320. 132 a a aa 10 320. 132 a a aa 10 . 320 a a 解三個不等式組：得 2 3 a 3 2 ，無解，a1 a的取值范

44、圍是（，1）（ 2 3 ， 3 2 ） 點評點評：冪函數(shù) 1 3 yx 有兩個單調(diào)區(qū)間，在本題中相當重要，不少學生可能在解題中誤認 為132aa ，從而導致解題錯誤. 例例 88 已知 a0 且 a1 ,f (log a x ) = 1 2 a a (x x 1 ) (1)求 f(x)； (2)判斷 f(x)的奇偶性與單調(diào)性； (3)對于 f(x) ,當 x (1 , 1)時 , 有 f( 1m ) +f (1 m2 ) 0 ,求 m 的集合 M . 分析分析：先用換元法求出 f(x)的表達式；再利用有關函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性和單調(diào)性；然 后利用以上結論解第三問. 解：(1)令 t=logax

45、(tR)，則 ).(),( 1 )(),( 1 )(, 22 Rxaa a a xfaa a a tfax xxttt , 101,.)(,10,)( , 0 1 ,1.)(,),()( 1 )()2( 22 aaxfaaaxu a a axfRxxfaa a a xf xx xx 或無論綜上為增函數(shù)類似可判斷時當為增函數(shù) 時當為奇函數(shù)且 f(x)在 R 上都是增函數(shù). ) 1 , 1( ).1()1 (,)(, 0)1 ()1 () 3( 22 x mfmfRxfmfmf 又上是增函數(shù)是奇函數(shù)且在 . 21 11 111 111 2 2 m mm m m 點評點評：對含字母指數(shù)的單調(diào)性，要對

46、字母進行討論.對本例的不需要代入 f（x）的表達 式可求出 m 的取值范圍，請同學們細心體會. 四、典型習題導練四、典型習題導練 1. 函數(shù) bx axf )(的圖像如圖，其中a、b 為常數(shù)，則下列結論正確的是（ ） A.0, 1baB.0, 1ba C.0, 10baD.0, 10ba 2、已知 2lg(x2y)=lgx+lgy,則 y x 的值為（ ） A.1 B.4 C.1 或 4 D.4 或 8 3、方程2) 1(log 2 xx a (0a1)的解的個數(shù)為（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 4、函數(shù) f(x)與 g(x)=( 2 1 )x的圖像關于直線 y=x 對稱,則 f(4x

47、2)的單調(diào)遞增區(qū)間是( ） A., 0 B. 0 , C.2 , 0 D.0 , 2 5、圖中曲線是冪函數(shù) yxn在第一象限的圖像，已知 n 可取2， 1 2 四個值,則相應于曲線 c1、c2、c3、c4的 n 依次為( ) A.2， 1 2 ， 1 2 ，2 B2， 1 2 ， 1 2 ，2 C. 1 2 ，2,2， 1 2 D. 2， 1 2 ，2, 1 2 6. 求函數(shù) y = log 2 (x2 5x+6) 的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間. 7. 若 x 滿足03log14)(log2 4 2 2 1 xx ,求 f(x)= 2 log 2 log 2 2 xx 最大值和最小值. 8.已知定

48、義在 R 上的函數(shù)( )2, 2 x x a f x a為常數(shù) （1）如果( )f x()fx，求a的值； （2）當( )f x滿足（1）時，用單調(diào)性定義討論( )f x的單調(diào)性. 2.42.4函數(shù)與方程函數(shù)與方程 一、知識導學 1.函數(shù)的零點與方程的根的關系： 一般地，對于函數(shù)( )yf x（xD）我們稱方程( )0f x 的實數(shù)根x也叫做函數(shù) 的零點，即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為零的自變量的值. 求綜合方程f(x)=g(x)的根或根 的個數(shù)就是求函數(shù)( )( )yf xg x的零點. 2.函數(shù)的圖像與方程的根的關系： 一般地，函數(shù)( )yf x（xD）的圖像與x軸交點的橫坐標就是( )0f

49、x 的根.綜 合方程f(x)=g(x)的根，就是求函數(shù)yf(x)與y=g(x)的圖像的交點或交點個數(shù)，或求方 程( )( )yf xg x的圖像與x軸交點的橫坐標. 3.判斷一個函數(shù)是否有零點的方法： 如果函數(shù)( )yf x在區(qū)間a,b上圖像是連續(xù)不斷的曲線，并且有( )( )0f af b， 那么，函數(shù)( )yf x在區(qū)間（a,b）上至少有一個零點，即至少存在一個數(shù)( , )ca b使得 ( )0f c ，這個 c 也就是方程( )0f x 的一個根.對于我們學習的簡單函數(shù)，可以借助 ( )yf x圖像判斷解的個數(shù)，或者把( )f x寫成( )( )g xh x，然后借助( )yg x、 (

50、 )yh x的圖像的交點去判斷函數(shù)( )f x的零點情況. 4. 二次函數(shù)、一元二次方程、二次函數(shù)圖像之間的關系： 二次函數(shù) 2 yaxbxc的零點，就是二次方程 2 0axbxc的根，也是二次函 數(shù) 2 yaxbxc的圖像與 x 軸交點的橫坐標. 5. 二分法： 對于區(qū)間a,b上的連續(xù)不斷，且( )( )0f af b的函數(shù)( )yf x，通過不斷地把函 數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的 方法叫做二分法. 二、疑難知識導析 1.關于函數(shù)( )( )yf xg x的零點，就是方程( )( )f xg x的實數(shù)根，也就是 ( )yf x與函數(shù)( )y

51、g x圖像的交點的橫坐標. 要深刻理解，解題中靈活運用. 2.如果二次函數(shù) 2 ( )yf xaxbxc，在閉區(qū)間m,n上滿足( )( )0f mf n，那么方 程 2 0axbxc在區(qū)間（m,n）上有唯一解，即存在唯一的 1 ( , )xm n，使 1 ()0f x， 方程 2 0axbxc另一解 2 (,)( ,)xmn . 3. 二次方程 2 0axbxc的根在某一區(qū)間時，滿足的條件應據(jù)具體情形而定.如二次方 程( )f x 2 0axbxc的根都在區(qū)間( , )m n時 應滿足： 0 2 ( )0 ( )0 b mn a f m f n 4.用二分法求二次方程的近似解一般步驟是 （1）

52、取一個區(qū)間（, a b）使( )( )0f af b （2）取區(qū)間的中點， 0 2 ab x （3）計算 0 ()f x，若 0 ()0f x，則 0 x就是( )0f x 的解，計算終止；若 0 ( )()0f af x，則解位于區(qū)間（ 0 ,a x）中，令 110 ,aa bx；若 0 ()( )0f xf b則解 位于區(qū)間（ 0, x b）令 101 ,ax bb （4）取區(qū)間是（ 11 ,a b）的中點， 11 1 2 ab x 重服第二步、第三驟直到第 n 步，方程的解 總位于區(qū)間（, nn a b）內(nèi) （5）當, nn a b精確到規(guī)定的精確度的近似值相等時，那么這個值就是所求的近

53、似解. 三、經(jīng)典例題導講 例例 11已知函數(shù) 2 ( )3f xxaxa 若 2,2x 時，( )f x0 恒成立，求a的取值范 圍. 錯解錯解：（一）( )0f x 恒成立， 2 4(3)aa0 恒成立 解得a的取值范圍為62a 錯解錯解：（二） 2 ( )3f xxaxa 若 2,2x 時，( )f x0 恒成立 ( 2)0 (2)0 f f 即 2 2 ( 2)230 2230 aa aa 解得a的取值范圍為 7 7 3 a 錯因錯因：對二次函數(shù)( )f x 2 axbxc當xR上( )f x0 恒成立時，0 片面理解為， 2 axbxc0， 2,2x 恒成立時，0 ；或者理解為 ( 2

54、)0 (2)0 f f 這都是由于函數(shù)性質(zhì)掌握得不透徹而導致的錯誤.二次函數(shù)最值問題中“軸變區(qū)間定”要對 對稱軸進行分類討論；“軸定區(qū)間變”要對區(qū)間進行討論. 正解正解：設( )f x的最小值為( )g a （1）當2 2 a 即a4 時，( )g a( 2)f 73a0，得 7 3 a 故此時a不存在； (2) 當 2,2 2 a 即4a4 時，( )g a3a 2 4 a 0，得6a2 又4a4，故4a2； （3）2 2 a 即a4 時，( )g a(2)f7a0，得a7，又a4 故7a4 綜上，得7a2 例例 22已知 2 10mxx 有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求m的取值范圍. 錯

55、解錯解：設 2 ( )1f xmxx 2 10mxx 有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi) (0)(1)0ff得m2 錯因錯因：對于一般( )f x，若( )( )0f af b，那么，函數(shù)( )yf x在區(qū)間（a,b）上至少有 一個零點，但不一定唯一.對于二次函數(shù)( )f x，若( )( )0f af b則在區(qū)間（a,b）上存在 唯一的零點，一次函數(shù)有同樣的結論成立. 但方程( )f x0 在區(qū)間（a,b）上有且只有一根時，不僅是( )( )0f af b，也有 可能( )( )0f af b.如二次函數(shù)圖像是下列這種情況時，就是這種情況. 由圖可知( )f x0 在區(qū)間（a,b）上有且只有一根，

56、但是 ( )( )0f af b 正解正解：設 2 ( )1f xmxx， （1）當m0 時方程的根為1，不滿足條件. （2）當m0 2 10mxx 有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi) 又(0)f10 有兩種可能情形(1)0f得m2 或者 1 (1)0 2 f m 且00 即)(xfx )1)( )1)()()()( 21 21111 axxx axaxxxxFxxxFxxxfx 0 21 xxx a 1 .01 , 0 21 axxx 0)( 1 xfx 綜合得 1 )(xxfx （2）依題意知 a b x 2 0 ，又 a b xx 1 21 a axax a xxa a b x 2 1 2

57、1)( 2 2121 0 , 01 2 ax 22 11 0 x a ax x 點評點評：解決本題的關健有三：一是用作差比較法證明不等式；二是正確選擇二次函數(shù)的表 達式，即本題選用兩根式表示；三要知道二次函數(shù)的圖像關于直線對稱，此直線為二次函 數(shù)的對稱軸，即 a b x 2 0 例例 88 已知函數(shù)0) 1 (),1(2)( 2 fbccbxxxf，且方程01)(xf有實根. (1)求證：-3c-1,b0. (2)若 m 是方程01)(xf的一個實根，判斷)4(mf的正負并加以證明 分析：（1）題中條件涉及不等關系的有1 bc和方程01)(xf有實根. 及一個等式0) 1 (f，通過適當代換及

58、不等式性質(zhì)可解得；（2）本小題只要判斷 )4(mf的符號，因而只要研究出4m值的范圍即可定出)4(mf符號. (1)證明：由0) 1 (f，得 1+2b+c=0,解得 2 1 c b，又1 bc， 1c c 2 1 解得 3 1 3c， 又由于方程01)(xf有實根，即012 2 cbxx有實根， 故0) 1(44 2 cb即0) 1(4) 1( 2 cc解得3c或1c 13c，由 2 1 c b，得b0. （2）cbxxxf2)( 2 =) 1)() 1( 2 xcxcxcx 01)(mf，cm1（如圖） c4m43bc 且 f(1)=0，證明：f(x)的圖像與 X 軸相交； (2)證明：若對 x1、x2R ，且 f(x1) f(x2),則方程 2 )()( )( 21 xfxf xf 必有