1、1,第3章 試驗的方差分析,試驗結果S受多個因素Ai影響，其函數(shù)關系為： Sf (A1，A2，An) 但影響的程度各不相同，如何通過試驗數(shù)據(jù)來確定因素的影響程度呢？,方差標準差的平方，表征xi 與 的偏離程度。 方差分析利用試驗數(shù)據(jù)與均值的偏離程度來判斷各因素對試驗結果影響顯著性程度的方法。 方差分析實質上是研究自變量（因素）與因變量（試驗結果）的相互關系,2,基本概念試驗設計中的有關術語介紹,1、指標 在試驗中用來衡量試驗效果的標準或特性 單指標衡量試驗效果的標準只有一個 多指標衡量試驗效果的標準多于一個 定量指標能直接用數(shù)量來表示的指標 定性指標不能直接用數(shù)量來表示的指標,3,2、因素,對

2、試驗指標會產(chǎn)生影響的原因要素，也稱因子 可控因素可人為地加以調節(jié)和控制的因素，如：加藥量、溫度、液固比、反應時間等。 不可控因素暫時不能人為調節(jié)和控制的因素，例如：氣候的變化、大氣壓、室溫等。 數(shù)量性因素可量化的因素，如反應溫度 屬性因素不可量化的因素，如催化劑種類。,4,3 、水平,因素在試驗中所選取的具體狀態(tài)。例如： 反應時間：取2h、4h、6h，則表示時間因素有三個水平。 水平可以用1、2、3來代表，也可以用+1，0，-1代表高、中、低三個水平。,單因素方差分析只針對一個試驗因素 多因素試驗方差分析同時針對多個試驗因素進行的方差分析 其中，雙因素方差分析最常見。,5,3.1 單因素試驗的

3、方差分析,1. 單因素試驗方差分析基本問題討論一種因素對試驗結果有無顯著影響的問題,設：因素A有r 種水平Al, A2，Ar，在每種水平下的試驗結果服從正態(tài)分布。如果在各水平下分別做了ni（i=1，2，r）次試驗：,問：因素A對試驗結果是否有顯著影響？,i 表示因素A對應的水平,j 表示在i 水平上的第 j 次試驗,6,2. 方差分析基本步驟,組內和 :,(1) 計算平均值 同一水平的平均值，又稱組內平均值，,7,(2) 計算離差平方和,各試驗結果之間的差異，可用離差平方和來表示,總離差平方和： 反映試驗結果之間存在的總差異。,組間離差平方和水平項離差平方和,組內離差平方和 誤差項離差平方和,

4、關系： SSTSSASSe,8,(3) 計算自由度, SST對應的自由度，稱總自由度：dfT = n-1, SSA對應的自由度，稱組間自由度：dfA = r-1, SSe對應的自由度，稱組內自由度：dfe = n-r,(4) 計算平均平方,用離差平方和除以自由度得平均平方，簡稱均方,組間均方：,組內均方(又稱為誤差均方)：,9,(5) F檢驗,組間均方和組內均方之比F是一個統(tǒng)計量:,FA = 組間均方 / 組內均方 = MSA/MSe,它服從自由度為(dfA，dfe)的F 分布，記為 F (dfA, dfe）,如果FA F (dfA, dfe），則認為因素A對試驗結果有顯著影響，否則認為因素A

5、對試驗結果沒有顯著影響。,顯著性程度實質上是指該因素確實是有影響的這個結論的可靠性程度，即有多少把握說這個因素確有影響。 設沒有把握部分為，則可靠性為1 - , 稱為風險，又稱為顯著性水平。 通常取0.01或0.05 F (dfA, dfe）可從教材附錄中查?。≒.203207）,10,(6) 列出方差分析表,若FA F0.01 (dfA，dfe)，就稱因素A對試驗結果有非常顯著的影響，用兩個 “*”號表示； 若F0.05 (dfA，dfe)FA F0.01 (dfA，dfe)，則因素A對試驗結果有顯著的影響，用一個“*”號表示； 若FA F0.05 (df A , dfe )，則因素A對試驗

6、結果的影響不顯著，不用“*”號。,11,3.2 雙因素試驗的方差分析討論兩個因素對試驗結果有無顯著性影響的問題,3.2.1 雙因素無重復試驗的方差分析,設在某試驗中，有兩個因素A和B在變化： A有r 種水平A1，A2，Ar B有s 種水平B1，B2，Bs 在每一種組合水平（Ai，Bj）上做1次試驗; 試驗結果為xij（i=1，2，r；j = 1，2，s）; 所有xij相互獨立，且服從正態(tài)分布。,i 表示因素A對應的水平,j 表示因素B對應的水平,12,雙因素無重復試驗的方差分析的基本步驟：,（l）計算平均值,Ai水平時所有試驗值的算術平均值:,Bj水平時所有試驗值的算術平均值:,所有試驗值的總

7、平均值:,13,（2）計算離差平方和,總離差平方和：,式中： SSA為因素A引起的離差平方和:,SSB為因素B引起的離差平方和:,SSe為誤差平方和:,14,（3）計算自由度,總離差平方和SST的自由度為 ： dfT=dfAdfBdfe = n-1= rs-1,因素A離差平方和SSA的自由度為 : dfA = r-1,因素B離差平方和SSB的自由度為: dfB = s-1,誤差平方和SSe的自由度為: dfe = (r-1) (s-1),（4）計算均方 離差平方和/自由度,因素A的均方,因素B的均方,誤差的均方,15,(5) F檢驗,FA F(dfA, dfe)，認為因素A對試驗結果有顯著影響

8、, 否則認為沒有顯著影響。,服從自由度為(dfA, dfe)的F 分布,服從自由度為(dfB, dfe)的F 分布,FB F(dfB, dfe)，認為因素B對試驗結果有顯著影響, 否則認為沒有顯著影響。,16,(6) 列出方差分析表,若FA F0.01 (dfA，dfe)，則因素A的影響非常顯著， “*”,若F0.05 (dfA，dfe)FA F0.01 (dfA，dfe)，則因素A對試驗結果有顯著的影響，用一個“*”號表示,若FA F0.05 (df A , dfe )，則因素A的影響不顯著,17,3.2.2 雙因素重復試驗的方差分析 討論兩個因素有交互作用時對結果顯著影響的問題,交互作用因

9、素間的聯(lián)合作用稱為交互作用,例：考察氮、磷兩種肥料對水稻的增產(chǎn)效果,因素間沒有聯(lián)合作用相互獨立、獨立效應 因素間有聯(lián)合作用交互作用、交互效應： 交互效應獨立效應 稱加強作用、促進作用 交互效應獨立效應 稱減弱作用、衰減作用,18,雙因素重復試驗的基本問題,i 表示因素A對應的水平,j 表示因素B對應的水平,組合水平(Ai , Bj )上的第k 次試驗,19,雙因素等重復試驗的方差分析的基本步驟：,（l）計算平均值,組合水平（Ai，Bj）上的c 次試驗值的算術平均值:,Ai水平時所有試驗值的算術平均值:,Bj水平時所有試驗值的算術平均值:,所有試驗值的總平均值:,20,（2）計算離差平方和,總離差平方和：,SSA為A引起的離差平方和:,SSB為B引起的離差平方和:,SSe為誤差平方和:,SSAB為AB引起的離差平方和:,21,（3）計算自由度,（4）計算均方 離差平方和/自由度,因素A的均方,誤差的均方：,AB的均方,因素B的均方,22,(5) F檢驗,FA F(dfA, dfe)，認為因素A對試驗結果有顯著影響, 否則認為沒有顯著影響。,服從自由度為(dfA, dfe)的F 分布,服從自由度為(dfB, dfe)的F 分布,FB F(dfB, dfe)，認為因素B對試驗結果有顯著影響, 否則認為沒有顯著影響。,服從自由度為(dfAB, dfe)的F