1、基本不等式,這是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標會標根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。,思考：這會標中含有怎樣的幾何圖形？,思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系？,探究1,a,b,1、正方形ABCD的 面積S=,、四個直角三角形的 面積和S =,、S與S有什么 樣的不等關系？,探究：,S_S,問：那么它們有相等的情況嗎？,重要不等式： 一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有,當且僅當a=b時，等號成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,思考：你能給出不等式 的證明嗎？,證明：（作差法）,結(jié)論：一般地，對于任

2、意實數(shù)a、b，總有 當且僅當a=b時，等號成立,文字敘述為:,兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.,適用范圍：,a,bR,問題一,問題一,替換后得到：,即：,即：,你能用不等式的性質(zhì)直接推導這個不等式嗎？,問題二,證明：要證,只要證,要證，只要證,要證，只要證,顯然, 是成立的.當且僅當a=b時, 中的等號成立.,分析法,問題二,證明不等式：,特別地，若a0，b0，則,通常我們把上式寫作：,當且僅當a=b時取等號，這個不等式就叫做基本不等式.,基本不等式,在數(shù)學中，我們把 叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)， 叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；,文字敘述為： 兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).,適用范

3、圍：,a0,b0,你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?,問題三,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點C是AB上一點, AC=a, BC=b. 過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?,問題三,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,OD與CD的大小關系怎樣? OD_CD,如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點C是AB上一點, AC=a, BC=b. 過點C作垂直于AB的弦DE,連

4、接AD、BD、OD.,幾何意義：半徑不小于弦長的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,a=b,a=b,兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍,a,bR,a0,b0,填表比較：,注意從不同角度認識基本不等式,例1：(1)如圖,用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？,解：如圖設BC=x ，CD=y ，,則xy=100，籬笆的長為2(x+y)m.,當且僅當 時，等號成立,因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.,此時x=y=10.,x=y,A,B,D,C,若x、y皆為

5、正數(shù)， 則當xy的值是常數(shù)P時，當且僅當x=y時， x+y有最小值_.,例1：(2)如圖，用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？,解：如圖，設BC=x ，CD=y ，,則 2(x + y)= 36 , x + y =18,矩形菜園的面積為xy m2,得 xy 81,當且僅當x=y時，等號成立,因此，這個矩形的長、寬都為9m時， 菜園面積最大，最大面積是81m2,即x=y=9,A,B,D,C,若x、y皆為正數(shù)， 則當x+y的值是常數(shù)S時， 當且僅當x=y時， xy有最大值_；,各項皆為正數(shù)； 和或積為定值； 注意等號成立的條件.

6、,一“正” 二“定” 三“相等”,利用基本不等式求最值時，要注意,變式：如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？,解：設AB=x ，BC=242x ，,矩形花園的面積為x(242x) m2,因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時， 花園面積最大，最大面積是72m2,當x=6時，函數(shù)y取得最小值為72,變式：如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？,解：如圖，設BC=x ，CD=y ，,則籬笆的長為,矩形花園的面積為xy m2,A,B,D,C

7、,得 1442xy,當且僅當 時，等號成立,因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時， 花園面積最大，最大面積是72m2,即 xy 72,即x=12，y=6,x +2y= 24,x=2y,變式：如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？,解：如圖，設BC=x ，CD=y ，,則籬笆的長為,矩形花園的面積為xy m2,A,B,D,C,x + y不是 定值.,2,=24為,得 2xy 144,當且僅當 時，等號成立,因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時， 花園面積最大，最大面積是72m2,即 xy 72,即x=12，y=6

8、,x +2y= 24,x=2y,變式：如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？,分析：設AB=x ，BC=242x ，,A,B,D,C,變式：如圖，用一段長為24m 的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？,解：設AB=x ，BC=242x ，,矩形花園的面積為x(242x) m2,當且僅當2x=242x,即x=6時，等號成立,因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時， 花園面積最大，最大面積是72m2,(其中2x+(24-2x)=24 是定值),小結(jié)：,求最值時注意把握 “一正，二定，三相等”,2. 利用基本不等式求最值,1. 兩個重要的不等式,作 業(yè)