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1,1、 留數(shù)的定義,2 留 數(shù),1.1 引入,2,3,1.2 定義1,4,注：,5,2、 留數(shù)定理,定理1,證明,6,由復(fù)合閉路定理得：,于是，得,留數(shù)定理非常重要，也為求積分提供了新方法！,7,求沿閉曲線c的積分，歸之為求在c中各孤立 奇點(diǎn)的留數(shù).,理論上講，只要知道將 f (z) 在 z0 鄰域內(nèi)的洛朗 級(jí)數(shù)，也就求出了f (z) 在該點(diǎn)處的留數(shù), 實(shí)際上， 展開(kāi)式有時(shí)候并不是很好求的.,以下就三類(lèi)孤立奇點(diǎn)進(jìn)行討論：,3、 留數(shù)的計(jì)算,8,定理2,9,證明: 由條件,得,10,注:,定理3,證明:,11,證畢.,12,例1,解:,13,例2,解:,14,例3,解:,15,例4,解:,16,例5,解:,另解:,17,另解: 由定理2 的推導(dǎo)過(guò)程知，在使用時(shí)，可將 m 取得比實(shí)際級(jí)數(shù)高，有時(shí)可使計(jì)算更簡(jiǎn)單.,例如取 m=6,18,4、 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù),定義2,注：,19,注意到：,再由無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)定義及留數(shù)定理，立即得到：,20,即,關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算,還有以下常用公式:,定理5,21,練習(xí),解:,故,22,1、 留數(shù)的定義 2、 留數(shù)定理 3、 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則,本講小結(jié),

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