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1、1,第五章 留數(shù)及其應(yīng)用,本章主要內(nèi)容：,1、孤立奇點及其分類 2、留數(shù)概念及其計算 3、留數(shù)在計算定積分中的應(yīng)用,2,1 孤立奇點,1、孤立奇點的分類,例如,3,x,y,o,這說明奇點未 必是孤立的.,4,注: 若函數(shù)的奇點個數(shù)有限，則每一奇點都是孤立奇點.,2、孤立奇點的分類,5,2.1 可去奇點：展式中不含z-z0 負(fù)冪項，即,特點?,“可去” 一詞的 解釋?,6,2.2 極點：展式中僅含有有限多個z-z0 負(fù)冪項，即,特點?,7,2.3 本性奇點：展式中含有無窮多個z-z0 負(fù)冪項,特點?,8,3、 函數(shù)在孤立奇點的性質(zhì),3.1z0為 f (z) 的可去奇點,性質(zhì)1若z0為 f (z)

2、 的孤立奇點，則下列條件等價：,9,3.2若z0為f (z)的m (m 1) 級極點，則,性質(zhì)2若z0為 f (z) 的孤立奇點，則下列條件等價 （都是m級極點的特征）：,10,例如：,z=1為f (z)的一個4級極點， z=i為f (z)的單極點.,注意在判斷孤立奇點類型時，不要一看到函數(shù)的表面形式就急于作出結(jié)論. 例如,利用洛朗展式容易知道，z=0分別是它們的單極點，可去奇點，二級極點.,11,性質(zhì)3若z0為f (z)的孤立奇點，則,z0為f (z)的極點的充要條件是,在判斷函數(shù)的極點時，請比較性質(zhì)2和性質(zhì)3.,4、 零點與極點的關(guān)系,12,證明:先證明必要性.,性質(zhì)4,13,例如：,必要性證畢.,充分性請自己完成.,結(jié)論：一個不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的.,14,性質(zhì)5,證明：,由于z0為f (z)的m 級零點，所以,15,在判斷函數(shù)的極點級數(shù)時，下列結(jié)論有時是非常有用的.,例如，,16,性質(zhì)6z0為 f (z) 的本性奇點,注：在求復(fù)變函數(shù)的極限時，也有同實函數(shù)類似 的羅必塔法則.,由性質(zhì)1和性質(zhì)3，得,17,5、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài),有時在考慮解析函數(shù)的孤立奇點時，將無窮 遠(yuǎn)點考慮在內(nèi)會給我們處理問題帶來極大方便.,定

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